数学七年级下册6.1 平方根教案设计

平方根 教案

算术平方根

一、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生刚学完《勾股定理》，通过本章第一节的学习，已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．

学生活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．

二、教学任务分析

本节课是义务教育课程标准实验教科书人教版七年级(下)第六章《实数》的第一节《平方根》．本节内容计3个课时，本节课是第1课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性，因此确定本节的教学目标如下：

①了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质．

②在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．

③让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．

三、教学过程设计

本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置．

本节课教学流程为：

第一环节：问题情境

方法一：问题导入

内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为的大的正方形，那么有，＝       ，2是有理数，而是无理数．在前面我们学过若，则叫的平方，反过来叫的什么呢？本节课我们一起来学习．

方法二：问题导入

内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：

          ，          ，          ，          ．

目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．

效果：能表示，，，；能求得，但不能求得，，的值．

说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二．

第二环节：初步探究

内容1：情境引出新概念

，，，，已知幂和指数，求底数，你能求出来吗？

目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．

效果：学生可以估算出，是1到2之间的数，是2到3之间的数但无法表示，，，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．

说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数，你能求出来吗？”

内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：

一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，记为“”，读作“根号”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即．

目的：对算术平方根概念的认识．

效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的．

内容3：简单运用  巩固概念

例1   求下列各数的算术平方根：

(1) 900； (2) 1；  (3) ；   (4) 14．

目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是．

效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．

答案：解：(1)因为，所以900的算术平方根是30，即；

(2)因为，所以1的算术平方根是1，即；

(3)因为，所以 的算术平方根是， 即；

         (4)14的算术平方根是．

内容4：回解课堂引入问题

，，，那么，，．

第三环节：深入探究

内容1：例2  自由下落物体的高度(米)与下落时间(秒)的关系为．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？

目的：用算术平方根的知识解决实际问题．

效果：学生多能利用等式的性质将进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．

解：将代入公式，得，所以正数(秒)．

即铁球到达地面需要2秒．

说明：强调实际问题是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的．

内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．

目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：中的是一个非负数，的算术平方根也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．

效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根．

第四环节：反馈练习

一、填空题：

1．若一个数的算术平方根是，那么这个数是          ；

2．的算术平方根是              ；

3．的算术平方根是              ；

4．若，则             ．

二、求下列各数的算术平方根：

     36，，15，0.64，，，．

三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？

答案：一、1．7；2．；3．；4．16；二、6；；；0.8；；；1．

三、解：由题意得 AC＝5.5米，BC＝4.5米，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得(米)．所以帐篷支撑竿的高是米．

目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.

效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评．

第五环节：学习小结

内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：

(1)算术平方根的概念，式子中的双重非负性：一是a≥0，二是≥0．

(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．

(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．

目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．

第六环节：作业布置

习题2.3

四、教学设计反思

1．细讲概念、强化训练

要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．

 “讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，”的“正数”，即被开方数是正的，由平方的意义，也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根是零.

“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的质和量，也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示.

“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.

2．发展思维、适度拓展

在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对的双重非负性的知识进行适当的拓展.

用计算器求一个数的算术平方根

一、学生起点分析

（本课适合有条件使用计算器的学校）

学生知识技能基础：学生在七年级上学期已经学习了《计算器的使用》，学会了使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，掌握了计算器的基本使用方法．

学生活动经验基础：学生在七年级上学期已经学过了使用计算器进行简单的有理数的计算并利用计算器进行了一定的探索活动，积累了一些活动经验．

二、教学任务分析

本节是义务教育课程标准人教版七年级下册第六章《实数》第一节，具体内容为：用计算器求平方根和立方根以及有关混合运算．经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力．

    为此，本课的教学目标是： 

1.会用计算器求算术平方根．

2.鼓励学生自己探索计算器的用法，经历运用计算器探求数学规律的活动，发展学生的探究能力和合情推理的能力．

3.在用计算器探索有关规律的过程中，体验数学的规律性，体验数学活动的创造性和趣味性，激发学习兴趣．

三、教学过程设计

  本课设计了六个环节：第一环节：情境引入；第二环节：学习使用计算器求算术平方根；第三环节：做一做；第四环节：议一议；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置

教学准备：每位学生一个计算器，并按计算器的类型分小组

目的：便于使用相同计算器的学生进行讨论，共同学习

第一环节： 情境引入

提出问题：你能计算吗？

进而明晰：对于小数、分数或一些较大的整数的开方运算，我们可以用计算器来计算．

目的：导入新课．

第二环节：学习使用计算器求算术平方根

内容：要求学生仔细阅读计算器使用说明书，找到关于开方运算的说明，并按说明书上的范例操作，然后与组内成员进行讨论，回答下列问题：

1．开方运算要用到键           和键             ．

2．对于开平方运算，按键顺序为：

3．用计算器计算：

（1）    （2）  （3）  

目的：明确使用计算器进行开方运算的按键顺序，并进行实际操作．

说明：学生在阅读了各自的计算器使用说明书后，在计算器上尝试操作，再在小组中交流成功或失败的经验，便于学生更快更好地掌握使用计算器进行开方运算的方法．

学生在小组内自我纠错，自我更正，教师需要在教室里巡视关注学生学习活动的开展情况，提供相应的帮助．

由于我校计算器是同一型号，授课时可以请学生示范开方运算的按键顺序，学生能很快掌握．

第三环节：做一做

内容：利用计算器，求下列各式的值（结果保留4个有效数字）：

（1）          （2）      

此环节可以开展比一比看谁算得快的活动．

目的：熟悉用计算器进行开方运算．

效果：有了上个环节的铺垫，此环节操作很顺利．

第四环节：议一议

内容：（1）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？

（2）改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似规律．

学生操作后，在小组内讨论形成结果，再进行全班交流．

（3）任意找一个非零数，利用计算器对它不断进行开立方运算，你发现了什么？

学生操作后，在小组内讨论形成结果，再进行全班交流．

目的：熟悉使用计算器求算术平方根的技能，并在探求数学规律的活动，发展合情推理的能力．

效果：枯燥的运算，竟然蕴含这规律，较好地激发了学生的兴趣，增强了学生的求知欲．

第五环节：课堂小结

内容：今天我们学习了如何使用计算器进行开方运算，你能叙述如何使用计算器进行开方运算吗？

目的：回顾使用计算器进行开方运算的步骤．

效果：学生所学知识得以巩固．

第六环节：布置作业

内容：习题 2.7

四、教学设计反思

根据新课标的评价理念，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，这一节的内容，学生可以通过自己阅读计算器的使用说明书学会操作步骤，所以采用了学生自学、小组内交流的学习方式．学习效果较好．

附：板书设计

平方根

一、学生起点分析

学生在七年级上册学习 “棋盘上的故事”就认识了一种运算 “乘方”，并能熟练计算任何一个数的平方．知道正数的平方是正数，负数的平方是正数，0的平方是0． 在七年级下册第六章《实数》的第一课时学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法，已能求非负数的算术平方根．那么这一课时进一步学习平方根．本节也为后面学习 “立方根”做基础．

二、教学任务分析

       本节安排了两个课时完成．第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力．本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用．并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导－探索－类比－发现”中发展学习数学的能力．为此，本节课的教学目标是

①了解平方根、 开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系．

②进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系．

③经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学

知识的应用能力．

教学重点是

①了解平方根、开平方的概念．

②了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的

算术平方根和平方根．

③了解平方根与算术平方根的区别与联系．

教学难点是

①平方根与算术平方根的区别和联系．

②负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算．

三、教学过程设计:

本节课采用引导、探究、类比相结合的教学方法，设计了六个教学环节 第一环节 复习旧知 引入新知；第二环节 形成概念，辨析概念；第三环节 例题和巩固练习；第四环节 课堂小结；第五环节 思维拓展；第六环节 布置作业．

第一环节 复习旧知 引入新知

内容:方法一   复习引入

1．什么叫算术平方根?

3的平方等于9，那么9的算术平方根就是   3  ．

　的平方等于   ，那么  的算术平方根就是______________．

　展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_  7_米． 

2．到目前为止，我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？

乘方有没有逆运算?

　　  平方与算术平方根之间的关系？

已知折叠着的正方形ABCD面积为1，则边长为__1___．将它扩展，若面积变为原来的2倍，那么它的边长为______；若面积变为原来的3倍，则边长为_________；若面积变为原来的n倍，则边长为________．

方法二  复习引入

问题 平方等于9，，49的数还有吗？ 

目的: 这一环节主要是复习旧知识和提出问题，由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识．熟悉它们的互化关系．并把上节课的思考题制作成Flash情景引入，增加动画效果．

效果 借助多媒体吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣．

说明 数学知识源于生活，并服务于我们的生活．这两种方法通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣，并让他们产生解决问题的强烈愿望．

第二环节 : 新课学习

内容 （一）探究新知

填空

   3=(9 )                

  (－3)=(9 )            (  )=9            0=0

　()=()　                 (不存在)=－4

  ()=() 

（二）形成概念(1)

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．而把正的平方根叫做a的算术平方根．

表达式为:若x=a，那么x叫做a的平方根． 记作  ．

例如:(±4) =16，则+4和－4都是16的平方根；即16的平方根是±4；4是16的算术平方根．

（三）探索平方与开平方的关系:

给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系．

（四）概念辨析

平方根与算术平方根的联系与区别

联系   1．包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．

2．只有非负数才有平方根和算术平方根．

3． 0的平方根是0，算术平方根也是0．

区别  1．个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．

2．表示法不同：平方根表示为   ，而算术平方根表示为．

目的 形成“平方根”的概念．在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系，辨析概念 “平方根”与 “算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系．

效果 由于遵循了从具体到抽象的过程，注重学生原有认知基础的回顾，并和原有的概

念进行了比较与辨析，因此，学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠．

说明 平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点，也是学生经常容易出错的地方．

对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握．

第三环节  例题和新知巩固

（一）例题示范

求下列各数的平方根:

(1)64；(2)；(3)  0.0004；(4)；(5) 11

解 （1），，；

（2），；

（3），；

    （4）， ；

（5）

目的 这是书上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达．能熟

练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数．

效果 通过对例题的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正

确的符号化语言．

（二）思考提升

1．      ，的算术平方根是_____，的平方根是_____；

2．    ，      ，     ，=_______；

3．=        ，           ．

（三）巩固练习

1 ．下列说法正确的是         

①②25的平方根是5；③－36的平方根是－6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8．

2．下列说法不正确的是(       ) ．

(A)0的平方根是0                      (B)的平方根是 

(C)非负数的平方根是互为相反数         (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数

3．已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（   ）．

    (A) a+1            (B)         (C)  +1          (D)

4．为何值，有意义？

答 因为，所以

     目的 围绕本节课的重点知识 （平方根）作适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解．

     效果 学生基本能顺利解决这些问题，并利用探索的规律进行规范的表达．

第四环节  课堂小结

内容 引导学生总结本课时的知识、方法．

目的 让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯．

效果 在老师的引导下学生自己总结本节课的知识、方法，如

平方根的概念 若，则x叫a的平方根，

平方根的个数 正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．

平方与开方之间的关系；

求平方根的方法 求一个数的平方根就是转化寻找哪个数平方等于这个数．

第五环节  提高训练

内容 1.的小数部分为a，的小数部分为b，求的值．

      2．已知实数a，b满足

①若a，b为的两边，求第三边c的取值范围；

②若a，b为的两边，第三边c等于5，求的面积．     

目的 安排了两道题，其中最后一题是用算术平方根的意义来解决三角形的问题，这一环节主要针对层次较好的学生提供的题．可供老师根据教学的实际情况灵活处理．

第六环节　作业布置

习题2．４

四、教学设计反思

本节课是八年级上册第二章《平方根》的第二课时．主要知识是平方根的学习和运用．教材是教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．

（一）注重概念的形成过程，让学生在概念的形成的过程中，逐步理解所学的概念．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很必要的．所以在学习平方根的概念时，对正数有两个平方根学生不太容易接受，往往丢掉负的平方根，因为这与他们以前的经验不符．对此，在平方根的引入时，可多提一些具体的问题．如“9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9．还有其他的数，它的平方也是9吗？”等等，旨在引起学生的思考，让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念．再让学生去讨论 一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？引导学生更深刻地理解平方根的概念，然后通过具体的求平方根的练习，巩固新学的概念．

（二）鼓励学生进行探究和交流  本节课为学生提供了有趣而富有数学含义的问题，让学生进行充分的探索和交流．如 把正方形的面积不断的扩大为2倍、3倍、n倍，来引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动，从中感受学习平方根的必要性．

（三）设计之中多处运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系．类比概念 “平方根”和“算术平方根”的区别和联系，“平方”和“开平方”运算．

（四）根据学生实际，灵活使用教材

教材上只安排了一道例题和几个想一想，为了让学生对新知巩固，我增加了部分练习题，围绕“平方根”这一知识点进行各种题型的变式练习．当然，选题要有层次，有梯度．老师们在进行教学时可以根据学生的实际情况作适当的取舍．

（五）建议

    根据知识结构的逻辑关系与学生的认知规律，建议教材在内容安排上平方根置于算术平方根之前．

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