高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第二章 函数3 函数的单调性和最值复习练习题

课时作业(十六)　函数的单调性和最值

1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(　　)

A．y＝2x＋1　　B．y＝3x2＋1

C．y＝        D．y＝2x2＋x＋1

答案：C　

解析：由增函数的图象特征，易知选C．

2．函数f(x)在定义域M内为增函数，且f(x)＞0，则下列函数在M内不是增函数的是(　　)

A．y＝4＋3f(x)        B．y＝[f(x)]2

C．y＝3＋        D．y＝2－

答案：C　

解析：f(x)为增函数，且f(x)＞0，则为减函数，则y＝3＋为减函数．故应选C．

3．函数f(x)＝的单调性为(　　)

A．在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数

B．在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数

C．在(－∞，0)，[0，＋∞)上是增函数

D．不能判断单调性

答案：C　

解析：当x≥0时，f(x)＝x2＋1为增函数；

当x＜0时，f(x)＝－x2为增函数．

故应选C．

4．已知f(x)，g(x)定义在同一区间上，且f(x)是增函数，g(x)是减函数，g(x)≠0，则在该区间上(　　)

A．f(x)＋g(x)为减函数

B．f(x)－g(x)为增函数

C．f(x)·g(x)为减函数

D．为增函数

答案：B　

解析：由已知f(x)为增函数，－g(x)也是增函数，

∴f(x)＋[－g(x)]＝f(x)－g(x)是增函数．

故应选B．

5．已知f(x)＝－1，则f(x)的最小值是(　　)

A．0        B．－1

C．1        D．不存在

答案：B　

解析：f(x)＝－1在x∈[0，＋∞)上单调递增，

∴当x＝0时，f(x)取得最小值－1.

故应选B．

6．设函数f(x)在R上为减函数，则下列各式成立的是(　　)

A．f(a)>f(2a)        B．f(a2)<f(a)

C．f(a2＋a)<f(a)     D．f(a2＋1)<f(a)

答案：D　

解析：因为a2＋1－a＝2＋>0，所以a2＋1>a，若函数f(x)在R上为减函数，则有f(a2＋1)<f(a)．

7．下列说法正确的有________．(只填序号)

①若x1，x2∈I，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；

②函数y＝x2在R上是增函数；

③函数y＝－在定义域上是增函数；

④y＝的单调区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．

答案：④　

解析：①不正确，因为x1，x2必须是I上的任意两个值；②不正确，y＝x2在R上不具有单调性；③不正确，y＝－在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是增函数；④正确．

8．已知f(x)＝ax2＋3ax＋a2－1(a<0)，则f(3)，f(－3)，f从小到大的顺序为________．

答案：f(3)＜f＜f(－3)　

解析：f(x)的增区间为，单调递减区间为，由对称性知f(－3)＝f(0)．

9．定义在R上的函数f(x)，对于任意两个不等于0的实数a，b，总有<0成立，则必有f(x)是________．(填“增函数”或“减函数”)

答案：减函数　

解析：由增函数和减函数的定义知是减函数．

10．若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a，b的取值范围是________．

答案：a＞0，且b≤0　

解析：对于函数f(x)＝a|x－b|＋2，

当x≥b时，f(x)＝a(x－b)＋2＝ax－ab＋2(x≥b)；

当x＜b时，f(x)＝a(b－x)＋2＝－ax＋ab＋2(x＜b)．

∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，

∴只有当x≥b，f(x)＝ax－ab＋2才有可能满足，此时a＞0，又由x≥b和x≥0，得b≤0，

∴a＞0，且b≤0.

11．求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是增函数．

证明：设任意两个值x1，x2，且x1<x2＜0，则x2－x1>0，x1x2>0，

因为f(x2)－f(x1)＝－

＝－＝>0，

所以f(x1)<f(x2)，

故f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是增函数．

12．已知函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(x)<0(x>0)，试判断F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性并证明．

解：F(x)在(0，＋∞)上为减函数．证明如下：

任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x2－x1>0.

∵F(x2)－F(x1)＝－＝，

又y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且x2－x1>0，

∴f(x2)－f(x1)>0，

即f(x2)>f(x1)，

∴f(x1)－f(x2)<0，

而f(x1)<0，f(x2)<0，

∴f(x1)f(x2)>0，

∴F(x2)－F(x1)<0，

∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数．

13．已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．

(1)如果函数y＝x＋(x>0)在(0,4]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数，求b的值；

(2)设常数c∈[1,4]，求函数f(x)＝x＋(1≤x≤2)的最大值和最小值．

解：(1)由已知得＝4，∴b＝4.

(2)∵c∈[1,4]，∴∈[1,2]，

于是，当x＝时，函数f(x)＝x＋取得最小值2.

f(1)－f(2)＝.

当1≤c≤2时，函数f(x)的最大值是f(2)＝2＋；

当2≤c≤4时，函数f(x)的最大值是f(1)＝1＋c.

14．定义在R上的函数y＝f(x)[f(0)≠0]，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意a，b∈R有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．

(1)证明：f(0)＝1；

(2)证明：对任意x∈R有f(x)＞0；

(3)证明：f(x)是R上的增函数；

(4)若f(x)·f(2x－1)＞1，求x的取值范围．

(1)证明：令a＝b＝0，则

f(0)＝f(0)·f(0)．

因为f(0)≠0，所以f(0)＝1.

(2)证明：令a＝－b＝x，则

f(0)＝f(x)·f(－x)＝1.

当x＞0时，f(x)＞1，

所以－x＜0，f(－x)＝∈(0,1)．

即当x＝0时，f(0)＝1；

当x＞0时，f(x)＞1；

当x＜0时，0＜f(x)＜1.

所以对任意x∈R，都有f(x)＞0.

(3)证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

则x2－x1＞0.

f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1)．

因为x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＞1.

因为x∈R时，f(x)＞0，

所以f(x1)＞0，所以f(x2－x1)·f(x1)＞f(x1)，

所以f(x2)＞f(x1)，

所以f(x)是R上的增函数．

(4)解：由f(x)·f(2x－1)＞1，f(0)＝1，

得f(x＋2x－1)＞f(0)，即f(3x－1)＞f(0)．

因为f(x)是R上的增函数，所以3x－1＞0，解得x>，

即x的取值范围为.