初中数学冀教版七年级下册8.5 乘法公式精品课件ppt

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用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．(m+a)(n+b)= mn+mb+na+ab
如果(x+a)(x+b)中的a、b 再有某种特殊关系，又将得到什么特殊结果呢？这就是从本课起要学习的内容.
如果m=n，且都用x 表示，那么上式就成为： (x+a)(x+b)= x 2+ (a+b)+ab这是上一节学习的一种特殊多项式的乘法—— 两个相同字母的二项式的乘积.
1. 计算：(1) (x+1)(x－1)=_______.(2) (a+2)(a－2)=_______.(3) (2x+1)(2x－1)=________.(4) (a+b)(a－b)=________.
2. 上面四个式子中，两个乘式之间有什么特点？3. 乘积合并同类项后是几项式？这个多项式有什么特点？
(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做平方差公式.
计算：(1) (2x+y )(2x－y )；(2) (3) (－5a+3b)(－5a－3b) .
(1) (2x+y )(2x－y )= (2x )2－y 2=4x 2－y 2 .
(2)(3) (－5a+3b)(－5a－3b) =(－5a)2－(3b)2=25a 2－9b 2
本题运用转化思想求解．将不符合平方差公式形式的式子化为符合平方差公式形式的式子，常见转化方法有位置变化、符号变化、系数变化、指数变化等．易错警示：用公式时，当a、b表示的不是单独数字或字母时，要用括号括起来．
计算：(1)(x－2)(x＋2) ； (2)(x＋2y )(x－2y ) ；(3)(3m＋2n)(3m－2n) ； (4)(4a＋3b)(3b－4a).
(1)(x－2)(x＋2)＝x 2－4.(2)(x＋2y )(x－2y )＝x 2－(2y )2＝x 2－4y 2.(3)(3m＋2n)(3m－2n)＝(3m)2－(2n)2＝9m 2－4n 2.(4)(4a＋3b)(3b－4a)＝(3b)2－(4a)2＝9b 2－16a 2.
下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来.(1)(－m－2n)(m－2n)＝m 2－2n 2(2)(－a＋b)(－a－b)＝－a 2－b 2.
(1)不正确，应为(－m－2n)(m－2n)＝－(m＋2n)(m－2n)＝－[m 2－(2n)2]＝4n 2－m 2.(2)不正确，应为(－a＋b)(－a－b)＝－(b－a)(b＋a) ＝－(b 2－a 2)＝a 2－b 2.　
平方差公式(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2中的a，b (　　)A．是数或单个字母 B．是单项式C．是多项式 D．是单项式或多项式下列计算能运用平方差公式的是(　　)A．(m＋n)(－m－n)B．(2x＋3)(3x－2)C．(5a 2－b 2c)(bc 2＋5a 2)D.
(1)公式特点：公式左边是两个二项式相乘，这两项中 有一项相同，另一项互为相反数；等号的右边是乘 式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方).(2)在运用公式时，要分清哪个数相当于公式中的a，哪 个数相当于公式中的b，不要混淆．(3)公式中的a与b可以是具体的数，也可以是单项式或 多项式．(4)平方差公式可以逆用，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
先化简，再求值：(2x－y )(y＋2x )－(2y＋x )·(2y－x )，其中x＝1，y＝2.
先利用平方差公式将原式化简合并，再将字母的值代入求值．
原式＝(2x－y )(2x＋y )－(2y＋x )(2y－x )＝(2x )2－y 2－[(2y )2－x 2]＝4x 2－y 2－(4y 2－x 2)＝4x 2－y 2－4y 2＋x 2＝5x 2－5y 2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝5－20＝－15.
解答本类题的关键是先利用平方差公式将原式化简，同时有同类项的要合并同类项，再将字母的值代入即可得到解决．
计算：(1)(3x＋4)(3x－4) ；(2)(3a－4b)(－4b－3a) ；(3) ；(4) .
(1)(3x＋4)(3x－4)＝(3x )2－42＝9x 2－16.　(2)(3a－4b)(－4b－3a)＝(－4b)2－(3a)2＝16b 2－9a 2.(3) (4)
解下列方程： (1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1 ；(2)2(x＋3)(3－x )＋2x＋2x 2＝20.
(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1，4x 2＋x－(4x 2－9)＝1，4x 2＋x－4x 2＋9＝1，x＋9＝1，x＝－8.
(2)2(x＋3)(3－x)＋2x＋2x 2＝20，2(9－x 2)＋2x＋2x 2＝20，18－2x 2＋2x＋2x 2＝20，2x＋18＝20，2x＝2，x＝1.
已知a＋b＝3，a－b＝1，则a 2－b 2的值为________．下列运算正确的是(　　)A．x 3＋x 5＝x 8 B．x 2·x 5＝x 10C．(x＋1)(x－1)＝x 2－1 D．(2x )5＝2x 5
下列计算正确的是(　　)A．b 3·b 3＝2b 3B．(a＋2)(a－2)＝a 2－4C．(ab2)3＝ab 6D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b
下列计算正确的是(　　)A．2a 3＋3a 3＝5a 6B．(x 5)3＝x 8C．－2m (m－3)＝－2m 2－6mD．(－3a－2)(－3a＋2)＝9a 2－4若(2x＋3y )(mx－ny )＝9y 2－4x 2，则(　　)A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝3
若x，y 满足|x＋y＋5|＋(x－y－9)2＝0，则x 2－y 2的值为(　　)A．14 B．－14 C．45 D．－45
如图①，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a＞b)，把剩下部分沿虚线剪开拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是(　　)A．a 2＋b 2＝(a＋b)(a－b)B．a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)C．(a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2D．(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2
利用平方差公式简便计算
运用平方差公式计算：(1)2 014×2 016－2 0152；(2)1.03×0.97；(3)40 ×39 .
在(1)中，2 014与2 016都与2 015相差1，即2 014＝2 015－1，2 016＝2 015＋1；在(2)中1.03与0.97都与1相差0.03，即1.03＝1＋0.03，0.97＝1－0.03；在(3)中40 与39 都与40相差 ，即40 ＝40＋ ，39 ＝40－ ，因此可运用平方差公式进行计算．
(1)原式＝(2 015－1)(2 015＋1)－2 0152 ＝2 0152－1－2 0152＝－1；(2)原式＝(1＋0.03)(1－0.03)＝12－0.032 ＝1－0.000 9＝0.999 1；(3)原式＝
本题运用了转化思想求解．运用平方差公式计算两数乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将两个数与这个平均数进行比较，变形成两数的和与两数的差的积的形式，再用平方差公式可求解.
用平方差公式计算 ：(1)998×1 002； (2)395×405.
(1)998×1 002＝(1 000－2)×(1 000＋2)＝1 0002－22＝1 000 000－4＝999 996.(2)395×405＝(400－5)×(400＋5)＝4002－52＝160 000－25＝159 975.
用平方差公式计算 ：(1)99×101； (2)39.8×40.2.
(1)99×101＝(100－1)×(100＋1)＝1002－1＝10 000－1＝9 999.(2)39.8×40.2＝(40－0.2)×(40＋0.2)＝402－0.22＝1 600－0.04＝1 599.96.
(1)用简便方法计算： 19×21=______；29×31=______；39×41=______；49×51=______.(2)你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来.
(2)(2n－1)(2n＋1)＝4n 2－1(n 为正整数)．
运用平方差公式计算：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1).
(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)＝(24－1)(24＋1)＝28－1＝256－1＝255.
计算2 0182－2 017×2 019的结果是(　　)A．1　 　　B．－1　　　C．2　 　　D．－2
计算：(1)499×501； (2)60 ×59 ；(3)99×101×10 001.
(1)499×501＝(500－1)×(500＋1)＝5002－12＝250 000－1＝249 999.(2)60 ×59 ＝ ＝602－＝3 600－ ＝3 599 .
(3)99×101×10 001＝(100－1)×(100＋1)×10 001＝(1002－1)×10 001＝9 999×10 001＝(10 000－1)×(10 000＋1)＝10 0002－1＝99 999 999.
下列运算正确的是(　　)A．(a－2b)(a－2b)＝a 2－4b 2B．(－a＋2b)(a－2b)＝－a 2＋4b 2C．(a＋2b)(－a＋2b)＝a 2－4b 2D．(－a－2b)(－a＋2b)＝a 2－4b 2
易错点：对平方差公式的特征理解不透而出错.
下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(　　)A．(2a＋b)(－2a＋b) B．(a＋2)(2＋a)C．(－a＋b)(a－b) D．(a＋b 2)(a 2－b)
如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为(　　)A．a 2＋4　　　　　B．2a 2＋4aC．3a 2－4a－4 D．4a 2－a－2
先化简，再求值：(2＋x )(2－x )＋(x－1) (x＋5)，其中x＝ .
原式＝4－x 2＋x 2＋4x－5＝4x－1，当x＝ 时，原式＝6－1＝5.
已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求a 2－b 2的值．
把b－c＝2，a＋c＝14相加得：a＋b＝16，所以a 2－b 2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
已知2a 2＋3a－6＝0，求式子3a (2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．
原式＝6a 2＋3a－4a 2＋1＝2a 2＋3a＋1，因为2a 2＋3a－6＝0，所以2a 2＋3a＝6.所以原式＝7.
探究活动：(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是________(写成两数平方差的形式)；(2)若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形如图②，面积是_______________ (写成多项式乘法的形式)；(3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式____________________________．
(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2
知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：(1)计算：(a＋b－2c )(a＋b＋2c )；(2)若4x 2－9y 2＝10，4x＋6y＝4，求2x－3y 的值．
(1)(a＋b－2c )(a＋b＋2c )＝(a＋b)2－4c 2 ＝a 2＋2ab＋b 2－4c 2.(2)因为4x 2－9y 2＝10，所以(2x＋3y )(2x－3y )＝10，又因为4x＋6y＝4，即2x＋3y＝2，所以2x－3y＝5.
先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)＝(24－1)(24＋1)＝28－1.问题：计算：(1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)…(364＋1)－ ；(2)
(1) 观察下列各式的规律：(a－b)(a＋b)＝a 2－b 2；(a－b)(a 2＋ab＋b 2)＝a 3－b 3；(a－b)(a 3＋a 2b＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4；…可得到(a－b)(a 2 016＋a 2 015 b＋…＋ab 2 015＋b 2 016)＝ .(2)猜想：(a－b)(a n－1＋a n－2 b＋…＋ab n－2 ＋b n－1 )＝________ (其中n 为正整数，且n≥2)．(3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.
a 2 017－b 2 017
(3) 29－28＋27－…＋23－22＋2＝ [2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋…＋21×(－1)8＋(－1)9＋1]＝ [2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋…＋21×(－1)8＋(－1)9]＋1＝ (210－1)＋1＝342.