备战2023数学新中考二轮复习重难突破（广东专用）专题08 一次函数及其应用

重点分析

一、 一次函数的概念

1．概念： 若两个变量x，y间的关系式可以表示成形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.

（1）一次函数的定义域是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.

（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.

注意：判断一个等式是否是一次函数先要化简

（3）当b=0，k≠0时，y= kx仍是一次函数.(正比例函数)

（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.

二、一次函数的图象

由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．

由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-，0）.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.

三、一次函数性质

1. 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质

（1）k的正、负决定直线的倾斜方向；

①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；

②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．

（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；

（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；

①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；

②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．

（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；

（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．

2、点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系

（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；

（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．

例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．

3、确定正比例函数及一次函数表达式的条件

（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．

（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．

四、 一次函数与方程、不等式

1. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系

    一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解．

2. 坐标轴的函数表达式

    函数关系式x=0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式x=0表示；函数关系式y=0的图像是x轴，反之，x轴可以用函数关系式y=0表示．

3. 一次函数与二元一次方程组的关系

    一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．

4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解

 （1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2．

 （2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2．

  （3）二元一次方程组有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．

5. 待定系数法

先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．

用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入

（1）设函数表达式为y=kx+b；

（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；

（3）求出k与b的值；

（4）将k、b的之带入y=kx+b，得到函数表达式。

例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．

解：设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0），

由题意可知，

              解        ∴此函数的关系式为y=．

难点点拨

1．常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响．

①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；

当b=0时，直线经过原点；

当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．

②当k，b异号时，即-＞0时，直线与x轴正半轴相交；

当b=0时，即-=0时，直线经过原点；

当k，b同号时，即-﹤0时，直线与x轴负半轴相交．

③当k＞0，b＞0时，图象经过第一、二、三象限；

当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；

当b＞0，b＜0时，图象经过第一、三、四象限；

当k﹤0，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；

当k﹤0，b=0时，图象经过第二、四象限；

当k＜0，b＜0时，图象经过第二、三、四象限．

2．直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系．

直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)

当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b；

当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b．

3． 直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系．

①k1≠k2y1与y2相交；

②y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；

③y1与y2平行；          ④y1与y2重合.

真题演练

1．（2020·广东广州·中考真题）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（  ）.

A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个

2．（2020·广东广州·中考真题）一次函数的图象过点，，，则（  ）

A． B． C． D．

3．（2021·广东深圳·中考真题）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如下表所示：

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？

4．（2020·广东广州市中考）若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）

A．b＜0    B．    C．    D．

5．（2020·广东省中考）把函数向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是(    )

A． B． C． D．

6．（2020·广东茂名市模拟）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A．    B．    C．    D．

7．（2020·广东梅州市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜120°)得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E．设CD＋DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致(　　)

A． B． C． D．

8．（2020·广东省深圳市模拟）如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为　　

A． B．

C． D．

9．（2020·广东省模拟）从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k＝mn，则正比例函数y＝kx的图象经过第三、第一象限的概率是_____．

10．（2020·广东广州市模拟）如图所示，已知：点 ，点 ，点 ，在 内依次作等边三角形，使一边在 轴上，另一个顶点在 边上，作出的等边三角形分别是第 个 ，第 个 ，第 个 ， ，则第 个等边三角形的边长等于 ________.

11．（2020·广东省潮州市模拟）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．

（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？

（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

12．（2020·广东深圳市中考）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．

（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？

（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？

13．（2020·广东茂名市中考）某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：

（1）贲经理查看计划书时发现：A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍，若顾客用720元恰好可购买A类图书12本和B类图书22本，请求出A、B两类图书每本的标价．

（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A类图书每本标价降低4元销售，B类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？

14．（2020·广东广州市中考）已知

（1）化简P；

（2）若点（a，b）在一次函数的图像上，求P的值。

15．（2020·广东省深圳市中考）有两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，发电厂比发电厂多发40度电，焚烧20吨垃圾比焚烧30吨垃圾少1800度电.

（1）求焚烧1吨垃圾，和各发多少度电？

（2）两个发电厂共焚烧90吨垃圾，焚烧的垃圾不多于焚烧的垃圾的两倍，求厂和厂总发电量的最大值.

16．（2020·广东省深圳市中考）荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了2千克桂味和3千克糯米糍，共花费90元；后又购买了1千克桂味和2千克糯米糍，共花费55元．（每次两种荔枝的售价都不变）

（1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；

（2）如果还需购买两种荔枝共12千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的2倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低．

17．（2020·广东中考真题）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．

（1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？

（2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用．

18．（2020·广东省广州市模拟）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在同一条公路上，匀速行驶，相向而行，到两车相遇时停止.甲车行驶一段时间后，因故停车0.5小时，故障解除后，继续以原速向B地行驶，两车之间的路程y（千米）与出发后所用时间x(小时）之间的函数关系如图所示.

（1）求甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙.

（2）求m的值.

（3）若甲车没有故障停车，求可以提前多长时间两车相遇.

19．（2021·广东肇庆市·九年级一模）己知：和都是关于x、y的方程的解．

（1）求k、b的值；

（2）求直线与坐标轴围成的三角形的面积．

20．（2021·广东广州市·九年级二模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在直线上，，且．

（1）若点的坐标为，求点的坐标；

（2）若的面积比面积大12，当随着的增大而减小时，求自变量的取值范围；

（3）在（2）的条件下，点在的图象上，点在的图象上，求与的较大值（用表示），问有无最小值？若有，请求出该值；若无，请说明理由．

21．（2021·广东中山市·九年级一模）某商店销售10套童装和20套女装的利润为4000元，销售20套童装和10套女装的利润为3500元．

（1）求每套童装和每套女装的销售利润；

（2）该商店计划一次购进两种类型的服装共100套，其中女装的进货量不超过童装的2倍．那么该商店购进童装和女装各多少套，才能使销售利润最大？

22．（2021·广东佛山市·九年级二模）某地区在2020年开展脱贫攻坚的工作中大力种植有机蔬菜．某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图（2）所示（其中图（1）的图象是直线，图（2）的图象是抛物线）．

（1）求每千克蔬菜销售单价与销售月份之间的关系式；

（2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求出最大收益；

（3）求出一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？

23．（2021·深圳市南山外国语学校（集团）九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与正比例函数的图象交于点．

（1）求值：________，________；

（2）点为延长线上一点，以为直角边作等腰直角，直线与轴交于点，求点的坐标．

24．（2021·广东深圳市·九年级二模）端午节前夕，某超市用16800元购进A，B两种规格的粽子共600件，其中A种规格的进价为每件24元，B种规格的进价为每件36元．

（1）求购买的A，B两种规格的粽子各有多少件；

（2）已知1件A种规格的粽子和1件B种规格的粽子的利润和为20元，且A种规格的粽子利润率不超过50%．设此次销售活动完成后的总利润为w（元），1件A种规格的粽子的利润为a（元）（其中a＞0）．

①求w与a的关系式；

②求w的最大值．

25．（2021·广东汕尾市·九年级一模）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今年投资9000万元改装260辆型、型两款无人驾驶出租车投放市场．已知每辆型无人驾驶出租车的改装费用是50万元，每辆型无人驾驶出租车的改装费用是30万元．

（1）今年改装的型、型无人驾驶出租车各是多少辆？

（2）预计明年两种型号的无人驾驶出租车的改装费用都可下降20%，集团拟在明年再改装500辆两种型号的无人驾驶出租车，且要使型无人驾驶出租车的数量不多于型无人驾驶出租车数量的2倍，但要使投入的改装费用最少，那么要改装两种型号的无人驾驶出租车各多少辆？最少费用是多少万元？