高中北师大版 (2019)第一章 预备知识3 不等式3.2 基本不等式第2课时学案

这是一份高中北师大版 (2019)第一章 预备知识3 不等式3.2 基本不等式第2课时学案，共7页。


某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？
[问题] 实例中问题的实质是什么？如何求解？



知识点 基本不等式与最值
当x，y均为正数时，下面的命题均成立：
(1)若x＋y＝s (s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值eq \a\vs4\al(\f(s2,4))；
(2)若xy＝p (p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值 2eq \r(p)．
eq \a\vs4\al()
利用基本不等式求最值时要牢记一正、二定、三相等：
(1)一正：各项必须为正；
(2)二定：各项之和或各项之积为定值；
(3)三相等：必须验证取等号时条件是否具备．
1．已知x＞0，则eq \f(9,x)＋x的最小值为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：选A ∵x＞0，∴eq \f(9,x)＋x≥2eq \r(x·\f(9,x))＝6，当且仅当x＝eq \f(9,x)，即x＝3时，等号成立，此时取得最小值6.
2．已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________．
解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(1－x)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x＋（1－x）,2)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)，当且仅当x＝1－x，即x＝eq \f(1,2)时“＝”成立，即当x＝eq \f(1,2)时，x(1－x)取得最大值eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4) eq \f(1,2)
[例1] (链接教科书第30页练习1题)(1)已知x＜eq \f(5,4)，求y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值；
(2)已知0＜x＜eq \f(1,2)，求y＝eq \f(1,2)x(1－2x)的最大值；
(3)当x＞0时，求函数y＝eq \f(2x,x2＋1)的最大值．
[解] (1)∵x＜eq \f(5,4)，∴5－4x＞0，
∴y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵0＜x＜eq \f(1,2)，∴1－2x＞0，
∴y＝eq \f(1,4)×2x(1－2x)≤eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋1－2x,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16)，∴当且仅当2x＝1－2xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜x＜\f(1,2)))，即x＝eq \f(1,4)时，ymax＝eq \f(1,16).
(3)因为x＞0，所以eq \f(2x,x2＋1)＝eq \f(2,x＋\f(1,x))≤eq \f(2,2)＝1，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号．故函数y＝eq \f(2x,x2＋1)的最大值为1.
eq \a\vs4\al()
利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配．
(1)拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件；
(2)并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值；
(3)配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．
[跟踪训练]
1．3x2＋eq \f(6,x2＋1)的最小值是( )
A．3eq \r(2)－3 B．3
C．6eq \r(2) D．6eq \r(2)－3
解析：选D 3x2＋eq \f(6,x2＋1)＝3(x2＋1)＋eq \f(6,x2＋1)－3≥2eq \r(3（x2＋1）·\f(6,x2＋1))－3＝2eq \r(18)－3＝6eq \r(2)－3，当且仅当x2＝eq \r(2)－1时等号成立，故选D.
2．已知a＞0，b＞0，则4a＋b＋eq \f(1,\r(ab))的最小值是( )
A．2 B．2eq \r(2)
C．4 D．5
解析：选C ∵a＞0，b＞0，∴4a＋b＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(4ab)＋eq \f(1,\r(ab))＝4eq \r(ab)＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(4\r(ab)·\f(1,\r(ab)))＝4，
当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＝b，,4\r(ab)＝\f(1,\r(ab))，))即a＝eq \f(1,4)，b＝1时，等号成立，此时4a＋b＋eq \f(1,\r(ab))取得最小值4.
[例2] (链接教科书第30页习题A组7题)已知x＞0，y＞0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．
[解] ∵x＞0，y＞0，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，
∴x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)
＝eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)＋10≥6＋10＝16，
当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16.
[母题探究]
1．(变条件)本例条件变为“x＞0，y＞0，2x＋8y＝xy”，其余不变，求x＋y的最小值．
解：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0，y＝eq \f(2x,x－8)，
∴x＋y＝x＋eq \f(2x,x－8)＝x＋eq \f(（2x－16）＋16,x－8)
＝(x－8)＋eq \f(16,x－8)＋10
≥2 eq \r(（x－8）×\f(16,x－8))＋10＝18.
当且仅当x－8＝eq \f(16,x－8)，即x＝12时，等号成立，
∴x＋y的最小值是18.
2．(变条件，变设问)本例条件变为“x＋y＝1，x＞0，y＞0”，试求eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)的最小值．
解：由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))
＝10＋eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)≥10＋2eq \r(9)＝16，
当且仅当9x2＝y2即y＝3x，
得x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(3,4)时，取“＝”，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)的最小值为16.
eq \a\vs4\al()
1．常值代换法求最值的方法步骤
常值代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
2．若常值代换法不适用于条件最值，则对条件变形，直接使用基本不等式，建立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值．
[跟踪训练]
1．已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋eq \f(1,x)＋y＋eq \f(1,y)的最小值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C p＝x＋eq \f(x＋y,x)＋y＋eq \f(x＋y,y)＝3＋eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥3＋2＝5，当且仅当x＝y＝eq \f(1,2)时等号成立．
2．若a＞0，且a＋b＝0，则a－eq \f(1,b)＋1的最小值为________．
解析：由a＋b＝0，且a＞0，得b＝－a，－eq \f(1,b)＝eq \f(1,a)＞0，
所以a－eq \f(1,b)＋1＝a＋eq \f(1,a)＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号．
答案：3
[例3] (链接教科书第29页例5)某房地产开发公司计划在一小区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园的人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示)．
(1)若设休闲区的长A1B1和宽B1C1的比值为x(x＞1)，求公园ABCD所占面积y(单位：m2)关于x的表达式；
(2)要使公园ABCD所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
[解] (1)设休闲区的宽为a m，则其长为ax m，由a2x＝4 000，得a＝eq \f(20\r(10),\r(x)).
所以y＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x＋20)·eq \f(20\r(10),\r(x))＋160
＝80eq \r(10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(x)＋\f(5,\r(x))))＋4 160(x＞1)．
(2)y≥80eq \r(10)×2eq \r(2\r(x)×\f(5,\r(x)))＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，
当且仅当2eq \r(x)＝eq \f(5,\r(x))，即x＝eq \f(5,2)时取等号，此时a＝40，ax＝100.
所以要使公园ABCD所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100 m，宽40 m.
eq \a\vs4\al()
求实际问题中最值的4步骤
(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式；
(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性；
(4)正确写出答案．
[跟踪训练]
某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲区域(如图)，它的平面图如图所示，其中由两个全等的矩形ABCD和EFGH构成的十字型区域的面积为200 m2.现计划在正方形MNPO上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.
(1)设该休闲区域的总造价为S元，AD边的长为x m，试建立S关于x的函数关系式；
(2)至少要投入多少元，才能建造这个休闲区域？
解：(1)设DO＝y，则x2＋4xy＝200，即y＝eq \f(200－x2,4x).
所以S＝4 200x2＋210×4xy＋80×4×eq \f(1,2)y2＝38 000＋4 000x2＋eq \f(400 000,x2)(0＜x＜10eq \r(2))．
(2)S＝38 000＋4 000x2＋eq \f(400 000,x2)≥38 000＋2eq \r(16×108)＝118 000，当且仅当4 000x2＝eq \f(400 000,x2)，即x＝eq \r(10)时，等号成立，此时S取得最小值，为118 000.
因此，计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲区域．
1．(多选)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)( )
A．取得最值时a＝eq \f(2,3) B．最大值是5
C．取得最值时b＝eq \f(2,3) D．最小值是eq \f(9,2)
解析：选AD 因为a＋b＝2，令y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝eq \f(a＋b,2a)＋eq \f(2a＋2b,b)＝eq \f(1,2)＋eq \f(b,2a)＋eq \f(2a,b)＋2≥eq \f(5,2)＋2eq \r(\f(b,2a)·\f(2a,b))＝eq \f(9,2)，当且仅当eq \f(b,2a)＝eq \f(2a,b)，且a＋b＝2，即a＝eq \f(2,3)，b＝eq \f(4,3)时，取“＝”．
2．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，且eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，则x＋2y的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选D ∵x＞0，y＞0，且eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝4＋eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)≥4＋2eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，当且仅当eq \f(4y,x)＝eq \f(x,y)，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，即x＝4，y＝2时等号成立．
3.eq \f(x2＋8,x－1)(x＞1)的最小值为________．
解析：令y＝eq \f(x2＋8,x－1)，则y＝eq \f(（x2－1）＋9,x－1)＝x＋1＋eq \f(9,x－1)＝(x－1)＋eq \f(9,x－1)＋2≥2eq \r(（x－1）·\f(9,x－1))＋2＝2×3＋2＝8，当且仅当x－1＝eq \f(9,x－1)，即x＝4时等号成立．
故eq \f(x2＋8,x－1)(x＞1)的最小值为8.
答案：8
4．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为eq \f(y,x)＝18－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))，且x>0，故eq \f(y,x)≤18－2eq \r(25)＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：5 8
利用基本不等式求最值
利用基本不等式求条件最值
基本不等式在实际中的应用