2021-2022学年辽宁省葫芦岛市协作校高一（下）第一次联考数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年辽宁省葫芦岛市协作校高一（下）第一次联考数学试卷

1.  设，则在复平面内z对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  若三角形的三边长度分别为2，2021，2022，则该三角形的形状是(    )

A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定

3.  已知向量与的夹角为，，则在上投影的数量为(    )

A. 1 B. 2 C.  D.

4.  为了得到函数的图象，只需将函数的图象(    )

A. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度
B. 所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
D. 向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

5.  在某次骑行活动中，小李沿一条水平的公路向北偏北方向骑行．当骑行到某处时，他看见某地标建筑恰好在其正西方向，距其100米的地方．继续骑行2分钟后，他看见该地标建筑在其西南方向，则小李骑行的速度是(    )

A. 50米/分钟 B. 100米/分钟 C. 米/分钟 D. 米/分钟

6.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾，如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若，则(    )

A. 4 B. 8 C.  D. 16

8.  已知函数，若方程的两个解为，，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知复数，则(    )

A. z的实部是
B. z的虚部是
C. z的共轭复数为
D.

10.  关于非零向量，，，下列结论正确的是(    )

A.
B.
C. 若，则
D. 若，则

11.  笛卡尔在信中用一个能画出心形曲线的方程向公主表达爱意的故事广为流传，其实能画出心型曲线的方程有很多种．如图所示的心形曲线，其方程为，设点A的坐标满足此方程，记OA与x轴的非负半轴所成的角为，则当时，的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，互不相同的点…，均满足，记，且，若点均在同一函数的图象上，则下列满足条件的可能是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

13.  若，，则______.

14.  已知向量，，，则______.

15.  已知函数在上单调递增，则的取值范围为______.

16.  在锐角中，，，则面积的取值范围是______.

17.  已知函数
求的值；
求的最小正周期、最大值、最小值及单调递增区间．

18.  如图，在中，，，，点D在线段AB上．
若，求的值；
若，求CD的长度．

19.  已知单位向量，，满足
求与夹角的余弦值；
求

20.  已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
求角B；
若外接圆的周长为，求周长的最大值．

21.  已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
若函数在上有两个零点，求m的取值范围．

22.  某城市一扇形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该扇形空地建设公园．经过测量，扇形空地的半径为600m，在其中圈出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区，且
求扇形空地的面积；
求矩形场地CDEF的最大面积．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：，
在复平面内z对应的点的坐标为，位于第二象限．
故选：
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：由题意长度为2022的边所对的角最大，
设该角为，
则，
可得为钝角，
故该三角形为钝角三角形．
故选：
由题意长度为2022的边所对的角最大，设该角为，由余弦定理可得，可得为钝角，即可判断三角形的形状．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：依题意，在上投影的数量为
故选：
直接利用投影公式计算即可．
本题考查投影的计算，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：为了得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
即可得到．
故选：
直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：根据题意作出图形，可得，，，

在中，由正弦定理可得，即，解得，
所以小李骑行的速度是米/分钟．
故选：
由正弦定理可得，可得AC，可求速度．
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，属基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：，可得，

故选：
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式，转化求解即可．
本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：依题意，，则
故选：
根据题意，利用数量积公式直接计算即可．
本题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：因为时，函数取得最大值，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的一条对称轴方程为，
方程的两个解为，，
所以
故
故选：
利用正弦函数的单调性以及对称性，转化求解即可．
本题考查正弦函数的简单性质的应用，是基础题．
 

9.【答案】ACD 

【解析】解：复数，
的实部是，虚部是，z的共轭复数为，
故选：
利用复数的运算法则、实部与虚部的定义、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出结论．
本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

10.【答案】BD 

【解析】解：对于A，由于向量与的方向不一定相同，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由于与的方向不一定相同，故C错误；
对于D，由于，则，故D正确．
故选：
根据平面向量数量积的性质逐项分析判断即可．
本题考查平面向量数量积的性质及其运算，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
 

11.【答案】AC 

【解析】解：设点，则，，
代入曲线方程，可得，
即，则，
当时，有，即；
当时，有，即
综上所述，或
故选：
设点，则，，代入曲线方程，分类求解，则答案可求．
本题考查曲线与方程的概念，考查已知三角函数值求角，考查运算求解能力，是基础题，
 

12.【答案】AD 

【解析】解：由题意可得点在单位圆上．，
则，关于对称，，，，，
，的横坐标相同，在同一函数的图象上，A满足条件．
，则，关于对称，，，，，，，，
，的横坐标相同，不可能在同一函数图象上，故B错误；
，则，关于对称，，，，，
，重合，与不同点矛盾，故C错误；
，则，关于对称，，关于对称，
所以，即，点的横坐标都不相同，作出图形，

经验证可知D正确．
故选：
结合三角函数的定义以及诱导公式确定正确选项．
本题考查平面向量的运算，考查三角函数的定义、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
根据两角差的正切公式，即可得解．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角差的正切公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，解得
故答案为：
根据题意，建立关于的方程，解出即可．
本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由于函数的单调递增区间满足：；
整理得；
由于函数在在上单调递增；
故；
整理得：，
当时，故
故答案为：
直接利用函数的关系式的性质和正弦型函数的单调递增区间的关系及和区间的子集关系求出的取值范围．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：在锐角中，，，，所以，则
，故B的取值范围是，
因为，由正弦定理可得
故
故答案为：
推出A的范围，B的范围，利用正弦定理结合已知条件，求解三角形的面积，推出结果即可．
本题考查三角形中的几何计算，正弦定理以及三角形的面积的求法，是中档题．
 

17.【答案】解：已知函数，
所以
由函数的关系式的最小正周期为，
的最大值为1，最小值为
令，，
解得，
故的单调递增区间为 

【解析】直接利用函数的关系式求出函数的值；
利用正弦型函数的性质求出函数的最值和函数的单调区间．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式，三角函数的值，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：在中，在中，，，，点D在线段AB上．
由余弦定理可得，所以
在中，由正弦定理可得，解得
因为，所以
在中，由余弦定理可得，所以 

【解析】利用余弦定理求解B，利用正弦定理求解即可．
求解BD，然后利用余弦定理求解即可．
本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，是中档题．
 

19.【答案】解：由两边平方可得，
；
由两边平方可得，
，
 

【解析】对两边平方即可求出的值，然后即可求出的值；
对两边平方即可求出的值，然后即可求出的值．
本题考查了单位向量的定义，向量夹角的余弦公式，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：，
由正弦定理化简可得，
，
为三角形内角，，
，
的外接圆周长为，
故外接圆半径为，
，
由正弦定理可得，可得，
由余弦定理，可得，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，此时的周长的最大值为 

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由正弦定理化简已知等式可得，利用余弦定理可得，结合范围，可求B的值．
由正弦定理可得b，由余弦定理，基本不等式可求的范围，进而可求的周长的最大值．
 

21.【答案】解：根据函数的部分图象可得，，
由于点在函数图象上，
所以，
结合图象可得，，
又因为，
所以
将点的坐标代入解析式可得，
结合图象可得，，则，，
又因为，
所以，
故
当时，，
令，函数在上单调递增，在上单调递减，，，
若函数在上有两个不相等的实数根，
故m的取值范围为 

【解析】由函数图象可得A，将点的坐标代入，结合范围，可求，将点的坐标代入，结合图象可得，，则，，又，可求的值，即可得解函数解析式．
由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得的值域，根据正弦函数的性质即可求解．
本题考查由的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为，，
所以扇形面积；
如图，设弧的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF，

 设，则，

故矩形面积
所以当，即时，矩形场地CDEF的面积取得最大值，且最大值为 

【解析】根据扇形面积公式计算即可；
设，利用三角函数表示出矩形面积，再利用三角恒等变换求最大值即可．
本题考查了扇形的面积公式、三角恒等变换及求三角函数的最值，属于中档题．