2021-2022学年辽宁省抚顺市抚顺县高级中学校高一下学期3月月考数学试题（含答案解析）

2021-2022学年辽宁省抚顺市抚顺县高级中学校高一下学期3月月考数学试题

1.  下列各命题中，正确的是(    )

A. 若，则或
B.  若，，则
C. 长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D. 若，则

2.  已知，则和同向的单位向量是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  设向量，且向量与共线，则锐角的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在平行四边形ABCD中，，则必有(    )

A. 四边形ABCD是矩形 B. 或
C.  D. 四边形ABCD是正方形

5.  已知点O为坐标原点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限.记且，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  函数的值域是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知和点M满足若存在实数m使得成立，则(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

8.  在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值等于(    )

A. 1 B.  C.  D.

9.  若角的终边过点，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  下列转化结果正确的是(    )

A. 化成弧度是
B. 化成度是
C. 化成弧度是
D. 化成度是

11.  是边长为2的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论不正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如果是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角(    )

A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

13.  ，，从小到大的顺序是__________.

14.  若，则__________.

15.  在中，已知D是AB边上一点，若，，则__________.

16.  已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则扇形的半径为__________，圆心角所对的弧长为__________.

17.  在中，若，，

求的三内角．

18.  已知，

当k为何值时，与共线?

若，且A，B，C三点共线，求m的值.

19.  已知是第三象限角，且

化简；

若，求的值.

20.  如图，在平行四边形ABCD的边AD上取点F，使得，K是直线AC与BF的交点，求证：

21.  已知是关于x的方程的一个实根，且是第三象限角，求的值；

已知，且，求的值.

22.  《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”如图阴影部分所示是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.

当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田如图阴影部分所示的面积；

已知如图该扇形圆心角是，半径为r，若该扇形周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形面积最大？

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查向量的模，向量的平行，相等向量，属于基础题.
根据向量的知识逐一判断各选项即可.

【解答】

解：若，则，，所以A错误；

若，显然，，但错误，所以B错误；

平行向量分同向和反向两种情况，故C正确；

由于向量不能比较大小，所以D错误；
故选

2.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查单位向量，向量平行关系的坐标表示，属于基础题.
利用和同向的单位向量是求解即可.

【解答】

解：因为，所以和同向的单位向量是

故选

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题．
根据非零向量共线的坐标表示求解即可.

【解答】

解：因为，且与共线，

所以，

即，又为锐角，

所以，

故选

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查向量在平面几何中的应用，属于基础题．
在平行四边形中，根据向量加法、减法的运算法则可判断其对角线的关系，然后可知.或者两边平方，根据数量积为0可判断四边形形状.

【解答】

解：由ABCD构成四边形可知，BC错误；在平行四边形ABCD中，，，由题知，即平行四边形的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，A正确；易知四边形ABCD不一定是正方形，故D错误.

故选

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系的应用，属于基础题．
根据给定条件判定所在象限并求出，再利用诱导公式化简计算即得.

【解答】

解：依题意，是第二象限角，而，则，

所以

故选

6.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的正负性、分类讨论思想、数学运算能力，属于一般题.
因为角x的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角x终边在第一、第二、第三、第四象限时，根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域.

【解答】

解：由题意可知：角x的终边不能落在坐标轴上，

当角x终边在第一象限时，

当角x终边在第二象限时，

当角x终边在第三象限时，

当角x终边在第四象限时，
因此函数的值域为，
故选

7.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量的基本定理，属于简单题.
利用平面向量在同一基底下分解式唯一，通过向量的线性运算，从出发，确定

【解答】

解：因为和点M满足，
所以
又，

故，
故选

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系．考查了学生综合分析推理和基本的运算能力．
求出每个直角三角形的长直角边，短直角边的长，推出小正方形的边长，先利用小正方形的面积求得的值，判断出求得的值，然后求得利用配方法求得的进而求得，利用平方差公式把展开后，把和的值代入即可求得答案．

【解答】

解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为，短直角边为，
小正方形的边长为，
小正方形的面积是，
，
又为直角三角形中较小的锐角，
，
，   
又，
，
，
即，
，


故选：

9.【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题考查任意角的三角函数的定义，考查三角函数值的符号，是基础题．
由已知判断可得，，，然后逐一分析四个选项得答案．

【解答】

解：角的终边过点，则为第三象限角，
可得，，，
则，，，
故选

10.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查角度制与弧度制的互化，属于基础题.
根据角度制和弧度制互化公式进行逐一判断即可.

【解答】

解：因为，所以选项A正确；

因为，所以选项B不正确；

因为，所以选项C不正确；

因为，所以选项D正确，

故选

11.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查向量的模，向量的数量积，属于一般题.
求出，可判断A选项；求出的值，可判断CD选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.

【解答】

解：对于A选项，，故，A错；

对于BC选项，，B错C错；

对于D选项，，

所以，，故，D对.

故选

12.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查象限角，属于基础题．
先写出角的范围，再除以3，从而求出角的范围，分析即得解．

【解答】

解：是第三象限的角，则，，

所以，；

当，，在第一象限；

当，，在第三象限；

当，，在第四象限；

所以可以是第一、第三、或第四象限角．

故选

13.【答案】或，， 

【解析】

【分析】

本题考查利用正弦函数、正切函数的单调性比较大小，属于基础题．
由于，可得范围，即可得出．

【解答】

解：由题得，

由于，所以，

由于，所以，

所以，

故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数基本关系，是基础题

【解答】

解析由已知得，

，

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的线性运算，属于基础题.
根据题意画出图形，结合图形，用向量与表示出即可.

【解答】

解：中，D是AB边上一点，，，如图所示，

①，

，②；

①+②得，，；

故答案为

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查扇形的弧长公式，属于基础题．
设圆的半径为r，根据圆心角与弦长、半径关系求r，再由弧长公式求圆心角所对的弧长.

【解答】

解：如图：设，，过点O作，C为垂足，

并延长OC交于D，则 

 中，半径，

从而弧长为 ，

故答案为；

17.【答案】解：由已知，得得：，即

当时，，又A、B是三角形内角，

，，

当时，又A、B是三角形内角，

，，不合题意．

综上知，，，

【解析】本题考查由三角函数值求角，考查诱导公式、同角三角函数基本关系的应用，属于基础题.
利用诱导公式、同角三角函数的基本关系整理已知等式，得，分类讨论可得答案．
 

18.【答案】解：，
 

因为与共线，
所以，
即，得

因为A，B，C三点共线，
所以存在实数使得，

即，
所以解得

【解析】本题考查平面向量共线的充要条件，属于基础题.
求出，的坐标，利用共线的条件，即可求出结果；
利用存在实数使得，即可求出结果；
 

19.【答案】解：为第三象限角，则

，所以，，

由已知可得，解得，则

【解析】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题.
直接利用诱导公式可化简；

利用同角三角函数的基本关系可求得的值，即可得出的值.

20.【答案】证明：设，由于四边形ABCD为平行四边形，

则又，

所以

由于三点共线，所以，

即，故

【解析】本题考查向量加法的几何意义以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
根据向量共线以及加法的几何意义得，再根据平面向量基本定理推论得，解得结果.
 

21.【答案】解：是关于x的方程的一个实根，且是第三象限角，

或舍去，

由题设，，解得，

【解析】本题考查同角三角函数的基本关系以及诱导公式，属于基础题.
由已知方程求，利用同角三角函数的基本关系将转化为由表示的式子，由此可求其值.
由条件结合求，，由此求结果.
 

22.【答案】解：由题意，如下图示，令扇形的半径为R，，

，即，得，

弧田面积，而，

由题意知：的长为，即该扇形周长，而扇形面积，

，当且仅当时等号成立.

当时，该扇形面积最大.

【解析】本题考查弧长及扇形面积，利用基本不等式求最值，属于一般题.
令扇形的半径为R，由定义知求R，进而由弧田面积，即可求其面积；

由题意得，扇形面积，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时的值即可.