2021-2022学年河北省石家庄四十四中高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案解析）

2021-2022学年河北省石家庄四十四中高一（下）月考数学试卷（6月份）

1.  已知总体容量为108，若用随机数表法抽取一个容量为10的样本，下列对总体的编号正确的是(    )

A. 1，2，…，108 B. 01，02，…，108
C. 00，01，…，107 D. 001，002，…，108

2.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为(    )

A. 3 B. 2 C. 5 D. 9

4.  已知、是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是(    )

A. 如果，，那么
B. 如果，，那么
C. 如果，，，那么
D. 如果，直线m与所成的角和直线n与所成的角相等，那么

5.  在中，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球O的表面积等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，某几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，E为BC的中点，则在原几何体中，异面直线AE与CD所成角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知菱形ABCD边长为1，，对角线AC与BD交于点O，将菱形ABCD沿对角线BD折成平面角为的二面角，若，则折后点O到直线AC距离的最值为(    )

A. 最小值为，最大值为 B. 最小值为，最大值为
C. 最小值为，最大值为 D. 最小值为，最大值为

9.  下列说法正确的是(    )

A. 四棱柱的所有面均为平行四边形
B. 长方体不一定是正四棱柱
C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D. 棱台的侧棱延长后必交于一点

10.  内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

11.  已知向量，，则(    )

A. 与向量方向相同的单位向量是
B.
C. 向量在向量上的投影向量是
D.
 

12.  已知直三棱柱中，，，点D是棱AC的中点，点O是线段的中点，点P是线段上的动点，则下列说法正确的是(    )

A. 当点P运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为
B. 无论点P在上怎么运动，都有
C. 当点P运动到中点时，才有与相交于一点，记为Q，且
D. 当点P在上运动时，直线与AB所成角可以是

13.  已知向量，，若，则__________.

14.  记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则__________.

15.  在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则ac的最小值为__________.

16.  “牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体如图如图所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，其中APC与BPD为相互垂直且全等的半椭圆面，它们的中心为O，OP为用平行于底面ABCD的平面去截“四脚帐篷”所得的截面图形为______；当平面经过OP的中点时，截面图形的面积为______.
 

17.  已知复数，其中，i为虚数单位．
若z为实数，求m的值；
若z为纯虚数，求的虚部．

18.  已知向量，向量为单位向量，向量与的夹角为
若向量与向量共线，求；
若与垂直，求

19.  如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，E为侧棱PD的中点.

求证：平面ACE；
若平面ABE与侧棱PC交于点F，且，求四棱锥的体积.

20.  在①，，且，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答.
已知中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，
求A的值；
若，的面积是，点M是BC的中点，求AM的长度.

21.  已知向量，，函数
求函数的最大值；
若函数与x轴的三个连续交点的横坐标构成以为公差的等差数列，的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，求周长的取值范围．

22.  在梯形ABCD中，，E是线段AB上一点，，，，，把沿CE折起至，连接SA，SD，使得平面平面
证明：平面SCD；
求异面直线AE与SC所成角的大小；
求点A到平面SCE的距离．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：用随机数表法选取样本时，样本的编号位数要一致，
故总体容量为108，用随机数表法抽取一个容量为10的样本，对总体的编号为001，002，…，
故选：
利用随机数表法选取样本时，样本的编号位数要一致，即可判断得到答案．
本题考查了简单随机抽样，主要考查了随机数表法的应用，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】

解：，


故选：

3.【答案】D 

【解析】解：根据分层抽样的定义可得：，
解得
故选：
根据分层抽样的定义建立比例关系即可．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．
 

4.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查空间中直线与直线的位置关系、线面垂直的性质、线面平行的性质、面面垂直的判定、面面平行的性质，属于基础题．
由线面平行的性质定理结合空间中直线与直线的位置关系即可判断A；
由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理即可判断B；
由面面垂直的判定定理结合空间中直线与直线的位置关系即可判断C；
由直线与平面所成角的概念和面面平行的性质定理即可判断

【解答】

解：如果，，那么或m与n相交或m与n异面，故A错误；
如果，则m与平行于的所有直线垂直，又，那么，故B正确；
如果，，则或，又，那么或与相交，故C错误；
如果，且直线m与所成的角和直线n与所成的角相等，则m、n与平面成等角，
那么或m与n相交或m与n异面，故D错误．
故选：

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的内角和定理，诱导公式，二倍角的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用余弦定理可求AB的值，可得，利用三角形的内角和定理可求，利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解的值．

【解答】

解：，，，

，
，可得，
，
则
故选：

6.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查球的切、接问题，球的表面积，属于中档题．
利用已知条件求出圆锥的母线长和底面半径，根据勾股定理求出球O的半径，即可求出球O的表面积．

【解答】

解：设圆锥的母线为l，
因为圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，
所以，所以圆锥的母线，
因为圆锥的底面周长为，所以圆锥的底面半径，
所以圆锥的高，
设球的半径为R，则，
即，解得，
所以球O的表面积为
故选：

7.【答案】B 

【解析】解：因几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，于是得原几何体是正三棱锥，
其中DA，DB，DC两两垂直，且，取BD中点F，连接EF，AF，如图，

因E为BC的中点，则有，因此，是异面直线AE与CD所成角或其补角，
令，则，中，，
正中，，于是有：，即，
所以异面直线AE与CD所成角的余弦值为
故选：
将给定展开图还原成三棱锥，取BD中点F，借助几何法求出异面直线所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成的角，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查二面角和求正弦函数的最值，属于中档题．
由二面角的定义可得，，由题意结合解三角形求出点O到AC的距离关于的表达式，结合正弦函数的性质求出点O到直线AC距离的最值．

【解答】

解：因为四边形ABCD为菱形，所以，，
所以即为二面角的平面角，
所以，，
因为菱形ABCD的边长为1，，
所以，
所以点O到AC的距离，
当时，d取得最大值，
当时，d取得最小值
综上所述：点O到直线AC距离的最小值为，最大值为
故选：

9.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题主要考查了棱锥，棱柱，棱台的结构特征，是基础题．
根据棱锥，棱柱，棱台的结构特征可判断各选项的正误．

【解答】

解：对于选项A：四棱柱的底面不一定是平行四边形，故选项A错误，
对于选项B：长、宽、高均不相等的长方体不是正四棱柱，故选项B正确，
对于选项C：底面是正多边形，但侧棱长不相等的棱锥不是正棱锥，故选项C错误，
对于选项D：由棱台的性质可知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故选项D正确，
故选：

10.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理同角平方关系及和差角公式，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
由已知结合二倍角公式及正弦定理进行化简，然后结合同角基本关系及两角和的余弦公式及三角形面积公式可求．

【解答】

解：因为，
所以，
由正弦定理得
又，，
所以，，
又，所以，
，
所以，
故选：

11.【答案】ABD 

【解析】解：向量，，
与向量方向相同的单位向量是，正确；
又，正确；
又向量在向量上的投影向量是，错误；
又，正确，
故选：
根据向量的数乘运算，向量的模，向量垂直定理坐标运算，投影向量的定义即可求解．
本题考查向量的数乘运算，向量的模，向量垂直定理坐标运算，投影向量的定义，属基础题．
 

12.【答案】AB 

【解析】

【分析】

本题考查直线与平面所成的角、线面垂直的判定与性质、异面直线所成角，属于中档题．
构造线面角，由已知条件求出的值即可判断A；
利用线面垂直的判定与性质定理证明，即可判断B；
由中线的性质可得，即可判断C；
由直线的平行关系构造线线角为，结合动点P分析角度取值范围，即可判断

【解答】

解：在直三棱柱中，，
对于A，当点P运动到线段的中点时，则点E为棱的中点，连接、EP，如图所示，

因为点P、E分别为线段、的中点，所以，且，
因为平面，所以平面，
所以直线与平面所成的角的正切值，
因为，，所以，故A正确；
对于B，连接交于点E，连接，如图所示，

因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
又，，、平面，所以平面，
又平面，所以，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以，
同理可证，又，、平面，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
对于C，点P运动到线段的中点时，即在中，，均为中线，

所以点Q为中线的交点，即Q为的重心，
所以，故C错误；
对于D，因为，所以直线与直线AB所成的角为与所成的角或补角，
当点P在线段上运动时，

当P与点B或重合时，取得最大值为，
当P在的中点时，取得最小值为，
所以不可能是，故D错误．
故选：

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
利用向量的坐标运算求得，再由，可得，即可求解的值．

【解答】

解：因为向量，，
则，
又，
所以，
解得
故答案为：

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．
由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．

【解答】

解：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，
，
又，负值舍
故答案为：

15.【答案】12 

【解析】

【分析】

由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可求，进而可得B的值，利用正弦定理化简已知等式可得，又由余弦定理，基本不等式即可求解．
本题考查正弦定理，余弦定理以及三角恒等变换的公式的应用，考查基本不等式的应用，本题把变形为是关键，属中档题．

【解答】

解：因为，
由正弦定理可得，
又，
所以，
，可得，
，
由，可得，
因为，
所以，所以，
又由余弦定理有，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立．
故答案为：

16.【答案】正方形  3 

【解析】解：由题知底面ABCD是正方形，

平面APC与平面BPD为相互垂直且全等的半椭圆面，
平面与各半椭圆面的相交线段相等且垂直，截面为正方形，如图，
正方形即为平面与四脚帐篷所截的图形，面，
取的中点F，作平面PFO，则平面PFO与四脚帐篷的交线为一个圆，半径为，
，
当平面经过OP的中点，即时，，
正方形的边长为，
截面面积为
故答案为：正方形；
根据题设．平面与各半圆的相交线段相等且垂直，即可知截面形状，再由平面经过OP中点，计算平面与各半圆的相交线的长度，即可求截面面积．
本题考查正方体、圆柱体结构特征、截面图形、截面面积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：若z为实数，则，解得
由题意得解得，
，故，
的虚部为 

【解析】结合实数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合纯虚数和虚部的定义，即可求解．
本题主要考查纯虚数和虚部的定义，属于基础题．
 

18.【答案】解：由向量为单位向量，
则，
又向量，
所以，
因为向量与向量共线且向量与的夹角为，
当时，，
当时，，
综上可知：
当时，，
当时，，
因为与垂直，
所以，
所以，
即，
所以，
故 

【解析】由向量共线的运算可得：当时，，当时，，
由平面向量数量积运算及二倍角公式可得：，即，所以，得解．
本题考查了向量共线的运算、平面向量数量积运算及二倍角公式，属中档题．
 

19.【答案】证明：连接BD，设，则O为BD的中点，连接OE，
为PD的中点，O为BD的中点，，
又平面ACE，平面ACE，
平面ACE；
解：由ABCD是正方形，可得平面ABE，平面PCD，
设平面平面，，，而E为PD的中点，
则F为PC的中点，且，
在正方形ABCD中，且，，，
则四边形ABFE为梯形，
侧面底面ABCD，平面底面，平面ABCD，，
平面PAD，又平面PAD，可得，
而，，可得四边形ABFE为直角梯形．
，，
，
由平面PAD，平面PAD，得，从而，
在正三角形PAD中，E是PD的中点，则，
又，AE、平面ABFE，平面ABFE，
， 

【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，训练多面体体积的求法，属于中档题．
连接BD，设，连接OE，可得，由直线与平面平行的判定可得平面ACE；
证明四边形ABFE为梯形，进一步证明四边形ABFE为直角梯形，求其面积，再证明平面ABFE，可得，再由棱锥体积公式求解．
 

20.【答案】解：选①：由得，
得，得，
又，，所以，又，所以
②因为，
根据正弦定理得，
所以，
所以，
所以因为，所以，
又，所以
③因为，
所以，
所以
因为，，所以，所以，
又，所以
在中，由，，得
由的面积为，得，所以
因为M是BC的中点，所以，
从而，
所以 

【解析】选①时，利用向量的共线的应用求出结果；
选②时，利用正弦定理的应用求出结果；
选③时，利用三角函数关系式的变换的应用求出结果；
利用中线向量和三角形的面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，中线向量和三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

21.【答案】解：由，，
则，
则当，时，函数取最大值1；
由函数与x轴的三个连续交点的横坐标构成以为公差的等差数列，
则函数的周期为，
即，即，
即，
由，
则，
又，
则，
则，
又，
由正弦定理可得，
即，，
则，
又，
则
则
则周长的取值范围为 

【解析】先由平面向量数量积运算及三角恒等变换可得，再求最大值即可；
先由正弦定理及三角恒等变换可得，再求取值范围即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了三角恒等变换及正弦定理，属中档题．
 

22.【答案】证明：由题可得，又因为平面SCD，平面SCD，
所以平面SCD；
解：由可知，
异面直线AE与SC所成角就是直线CD与SC所成角，即为，
，，
四边形AECD时平行四边形，则，
，，
原图中连接DE，
，，，
在中，由余弦定理可得，，

平面平面AECD，平面平面，，平面AECD，
平面SCD，
平面SCD，，
在中，，
在中，²²²，，
异面直线AE与SC所成的角为；
由知，，，，CD、平面AECD，
平面AECD，
，
设点A到平面SCE的距离为，
，
，
 

【解析】本题考查了折叠中的线面平行、异面直线所成角，点到面的距离，考查学生数学运算、逻辑推理、直观想象的能力，属于难题．
根据条件结合线面平行的判定即可证明；
由图可得异面直线AE与SC所成角就是直线CD与SC所成角，结合原图连接DE，可得，进而可证得平面SCD，，则夹角为；
根据条件先求得，利用等积法即可求得点A到平面SCE的距离为