2021-2022学年河北省保定市某校高一（下）月考数学试卷

这是一份2021-2022学年河北省保定市某校高一（下）月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 命题：“∀x>0,2lnx+2x>0”的否定是（ ）
A.∀x>0,2lnx+2x<0B.∀x>0,2lnx+2x≤0
C.∃x>0，2lnx+2x≤0D.∃x>0，2lnx+2x<0

2. 集合M=1,2,3，集合N=3,4，全集I=1,2,3,4,5，则M∪∁IN=()
A.1,2,4B.1,2,3,5C.1,2,4,5D.I

3. −660∘=（ ）
A.−133π radB.−256π radC.−113π radD.−236π rad

4. 已知csπ−θ=25，则cs−θ=（ ）
A.−215B.−25C.25D.215

5. 若函数fx=2x+a⋅2−x−x为R上的奇函数，则实数a的值为（ ）
A.−1B.−2C.1D.2

6. 函数fx=lg22x⋅lg24x的最小值为（ ）
A.1B.13C.−12D.−14

7. 已知a>0,b>0，且满足2a+b=ab，则a+b的最小值为（ ）
A.2B.3C.3+22D.32+2

8. 已知函数fx=lgax,00且a≠1），则实数a的取值范围为（ ）
A.1,2B.[2,22）C.1,3D.[2,3）
二、多选题

已知a>b>1a>0，则（ ）
A.b>1B.a>1C.a>1bD.a+b>2a

下列说法正确的是（ ）
A.sin25∘的值与cs65∘的值相等
B.sin23∘的值比sinπ8的值大
C.sin316∘cs188∘tan189∘的值为正数
D.关于x的不等式csx≥32的解集为x|2kπ−π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z

已知θ为锐角，角α的终边上有一点M−sinθ,csθ，x轴的正半轴和以坐标原点O为圆心的单位圆的交点为N，则（ ）
A.若α∈0,2π，则α=π2+θ
B.劣弧MN的长度为π2+θ
C.劣弧MN所对的扇形OMN的面积为α2
D.sinα+sinθ>1

若fx=x+1x,gx=lgx+2，则（ ）
A.函数fx为奇函数
B.当x1,x2∈0,+∞时，fx1+fx22≤fx1+x22
C.当x1,x2∈0,+∞时，gx1+gx22≤gx1+x22
D.函数hx=fx−gx有两个零点
三、填空题

函数f(x)=tan(πx−π4)的定义域为

已知tanα=−15，则sin2α+sinαcsαcs2α+2sinαcsα=________.

已知a=lg23,b=lg411,c=213，则a，b，c的大小关系是________．（用“>”连接）

已知函数fx=|lnx−1|,x>1x2+2x+1,x≤1,若关于x的方程fx=mm≠1有4个解，分别为x1,x2,x3,x4，其中x1四、解答题

计算下列各式的值：
(1)(m−13n23)5m−1n22×n2m13+2712513+2−e2，其中m，n均为正数，e为自然对数的底数；

(2)2lg23+lg89⋅lg316+lgaa+lga1+lg33，其中a>0且a≠1.

已知sinα+csα=m.
(1)若m=2，求tanα的值；

(2)若tan2α+1tan2α=103，且α∈0,π4，求实数m的值．

已知函数fx=3sinωx−π6的最小正周期为π，其中ω>0.
(1)求ω的值；

(2)当x∈−π4,π4时，求函数fx的单调区间；

(3)求函数fx在区间0,π2上的值域．

已知fx是幂函数，gx是指数函数，且满足f2=g2，g5=2f4.
(1)求函数fx,gx的解析式；

(2)若A=y|y=fg(x)−1fgx+1，B=y|y=gfx−1gfx+1，请判断“m∈A”是“m∈B”的什么条件？（“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．

如图，欲在山林一侧建矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道各宽2m，苗圃与通道之间由栅栏隔开．

(1)若苗圃面积5000m2，求栅栏总长的最小值；

(2)若苗圃带通道占地总面积为5000m2，求苗圃面积的最大值．

已知函数fx=lg24x+1+ax是偶函数．
(1)求实数a的值；

(2)若函数gx=22x+2−2x+m⋅2f(x)的最小值为−3，求实数m的值；

(3)当k为何值时，讨论关于x的方程fx−1+kfx−1−4k+2k2+k=0的根的个数．（请写出详细解答过程）
参考答案与试题解析
2021-2022学年河北省保定市某校高一（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
全称命题与特称命题
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
命题：“∀x>0,2lnx+2x>0”的否定是∃x>0，2lnx+2x≤0
故选C
2.
【答案】
B
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
根据集合运算的定义计算．
【解答】
由题意CIN=1,2,5,故M∪CIN=1,2,3,5．
3.
【答案】
C
【考点】
弧度与角度的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：−660∘=60∘−720∘=π3−4π=−113π
4.
【答案】
B
【考点】
诱导公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由csπ−θ=−csθ，有csθ=−25,cs−θ=csθ=−25
5.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由f0=1+a=0，得a=−1，经检验可知a=−1
6.
【答案】
D
【考点】
对数及其运算
对数函数的值域与最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由fx=lg2x+1lg2x+2=lg2x2+3lg2x+2=lg2x+322−14≥−14
7.
【答案】
C
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
2a+b=ab⇒1a+2b=1，
故a+b=a+b1a+2b=3+ba+2ab≥3+22，
当且仅当a=2+1,b=2+2时取$`` = "$
8.
【答案】
D
【考点】
分段函数的应用
函数单调性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题意必有a>1,3−a>0,可得1还有lga4≤43−a+10a−22，整理为6a−lga4−10≥0．
令gx=6x−lgx4−101由函数y=−1lnxx>1为增函数，可得函数gx为增函数，
又由g2=12−ln4ln2−10=0，
可得不等式6a−lga4−10≥0中a的取值范围为a≥2，
由上知，实数a的取值范围为2≤a<3
二、多选题
【答案】
B,C,D
【考点】
不等式比较两数大小
【解析】
此题暂无解析
【解答】
a=2,b=23，满足条件，故A错误;a>1a⇒a2>1⇒a>1，故B正确；
由b>1a得a>1b，故C正确；由 a>1ab>1a 有a+b>2a，故D正确．
【答案】
A,B,C
【考点】
诱导公式
正弦函数的单调性
余弦函数的图象
余弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
对于选项A，由sinπ2−θ=csθ可知选项A正确；
对于选项B，由sinπ8=sin22.5∘及正弦函数的单调性可知B选项正确；
对于选项C，由sin316∘<0,cs188∘<0,tan189∘>0，可知C选项正确；
对于选项D，由余弦函数的图象及csπ6=32，
可知关于x的不等式csx≥32的解集为x|2kπ−π6≤x≤2kπ+π6,k∈Z，
故D选项错误．
【答案】
A,B,D
【考点】
同角三角函数间的基本关系
弧长公式
扇形面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A:−sinθ,csθ=−csπ2−θ,sinπ2−θ=csπ−π2−θ,sinπ−(π2−θ=csπ2+θ,sinπ2+θ，故α=π2+θ
B：劣弧MN的长度为π2+θ，故B正确；
C：只有当0<α<2π时，扇形OMN的面积为S=12×1×α=α2，故C不正确；
D:sinα+sinθ=sinπ2+θ+sinθ=sinθ+csθ,
∵ θ为锐角，故sinθ+csθ2=sin2θ+cs2θ+2sinθcsθ>1⇒sinθ+csθ>1
【答案】
A,C,D
【考点】
函数单调性的判断与证明
函数奇偶性的判断
函数零点的判定定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
对于A选项，由f−x=−x−1x=−fx，可知A选项正确；
对于B选项，由f(x1)+f(x2)2−f(x1+x22)=(x1+1x1)+(x2+1x2)2−（x1+x22+2x1+x2）=
12(1x1+1x2)−2x1+x2=x1+x22x1x2−2x1+x2=(x1+x2)2−4x1x22x1x2(x1+x2)=x1−x222x1x2x1+x2≥0 ，
有f(x1)+f(x2)2≥f(x1+x22)，可知B选项错误；
对于C选项，由gx1+x22−gx1+gx22=lgx1+x22+2−lgx1+2+lgx2+22
=1gx1+x22−12lgx1x2=lgx1+x22x1x2≥lg2x1x22x1x2=0，
有gx1+x22≥gx1+gx22，可知C选项正确；
对于D选项，hx=x+1x−lgx−2，由h1=0,h2=2+12−lg2−2=12−lg2=lg10−lg2>lg2−lg2=0,h(32)=32+23−2−lg32=16[1−lg(32)6]=16×1−lg72964＜16×1−lg64064=0，
由上可知函数hx至少有两个零点，又由fx=gx，
根据函数fx和gx的图象可知，函数hx有且仅有两个零点．
三、填空题
【答案】
x|x≠k+34,k∈Z
【考点】
正切函数的定义域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
令 πx−π4≠kπ+π2,k∈Z，可得x≠k+34 ,k∈Z．故函数fx的定义域为x|x≠k+34,k∈Z
【答案】
−415
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
tanα=−15,sin2α+sinαcsαcs2α+2sinαcsα=tan2α+tanα1+2tanα=125−151−25=−415.
【答案】
b>a>c
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
a=lg23=lg4912lg28=27813>213=c，故b>a>c
【答案】
1,(−∞,−1)∪[53,+∞)
【考点】
函数的零点与方程根的关系
分段函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由x11x1+1x2=x1+x2x1x2=−21−m2∈(−∞,−2)∪[23,+∞),又|ln(x3−1)|=|ln(x4−1)|⇒ln(x3−1)=−ln(x4−1)⇒x3−1x4−1=1⇒1x3+1x4=1，故所求值范围是−∞,−1∪[53,+∞)
四、解答题
【答案】
解：(1)原式=m−53n103m−2n4×n23m13+[35 )3]13+|2−e|
=m−53n4m−53n4+35+e−2
=1+35 +e−2
=e−25；
(2)原式=3+lg9lg8×lg16lg3+1+0+12lg33
=3+2lg33lg2×4lg2lg3+1+0+12
=83+92
=436．
【考点】
有理数指数幂的化简求值
对数的运算性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)原式=m−53n103m−2n4×n23m13+[35 )3]13+|2−e|
=m−53n4m−53n4+35+e−2
=1+35 +e−2
=e−25；
(2)原式=3+lg9lg8×lg16lg3+1+0+12lg33
=3+2lg33lg2×4lg2lg3+1+0+12
=83+92
=436．
【答案】
解：（1）sinα+csα=2⇒sinα+csα2=2=2sin2α+cs2α，⇒sinα−csα2=0⇒tanα=1．
（2）tan2α+1tan2α=103⇒tan4α−103tan2α+1=0⇒tan2α=3或13，
而α∈0,π4，故tan2α=13⇒α=π6，
∴ m=sinπ6+csπ6=1+32，
【考点】
同角三角函数间的基本关系
三角函数的化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）sinα+csα=2⇒sinα+csα2=2=2sin2α+cs2α，⇒sinα−csα2=0⇒tanα=1．
（2）tan2α+1tan2α=103⇒tan4α−103tan2α+1=0⇒tan2α=3或13，
而α∈0,π4，故tan2α=13⇒α=π6，
∴ m=sinπ6+csπ6=1+32，
【答案】
解：(1)由函数fx的最小正周期为π，有2πω=π，可得ω=2 .
(2)由(1)可知fx=3sin2x−π6,
当x∈−π4,π4时，有−π2≤2x≤π2,−2π3≤2x−π6≤π3 ．
当−π2≤2x−π6≤π3时，可得−π6≤x≤π4 ．
故当x∈−π4,π4时，函数fx的减区间为[−π4,−π6)，增区间为−π6,π4.
(3)当x∈0,π2时，有0≤2x≤π,−π6≤2x−π6≤5π6，
可得−12≤sin2x−π6≤1 ，
有−32≤fx≤3，
故函数fx在区间0,π2上的值域为−32,3.
【考点】
三角函数的周期性及其求法
正弦函数的单调性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由函数fx的最小正周期为π，有2πω=π，可得ω=2 .
(2)由(1)可知fx=3sin2x−π6,
当x∈−π4,π4时，有−π2≤2x≤π2,−2π3≤2x−π6≤π3 ．
当−π2≤2x−π6≤π3时，可得−π6≤x≤π4 ．
故当x∈−π4,π4时，函数fx的减区间为[−π4,−π6)，增区间为−π6,π4.
(3)当x∈0,π2时，有0≤2x≤π,−π6≤2x−π6≤5π6，
可得−12≤sin2x−π6≤1 ，
有−32≤fx≤3，
故函数fx在区间0,π2上的值域为−32,3.
【答案】
解：（1）设fx=xa，gx=bx，则2a=b2b5=2⋅4a
则b5=2⋅4a=2⋅2a2=2⋅b4⇒b=2，代人2a=b2⇒a=2，
∴ fx=x2,gx=2x；
(2)由（1）知，fgx=2x2=4x,gfx=2x2 ，
当y=fgx−1fgx+1时，y=4x−14x+1，有y4x+1=4x−1，得4x=y+11−y，
又由4x>0，有y+11−y>0，得−1当y=g(f(x))−1g(f(x))+1时，y=2x2−12x2+1，有y2x2+1=2x2−1，得2x2=y+11−y，
又由2x2≥20=1，有y+11−y≥1，解得0≤y<1，故B=[0,1)．
由B⫋A，故"m∈A"是"m∈Bn"的必要不充分条件．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）设fx=xa，gx=bx，则2a=b2b5=2⋅4a
则b5=2⋅4a=2⋅2a2=2⋅b4⇒b=2，代人2a=b2⇒a=2，
∴ fx=x2,gx=2x；
(2)由（1）知，fgx=2x2=4x,gfx=2x2 ，
当y=fgx−1fgx+1时，y=4x−14x+1，有y4x+1=4x−1，得4x=y+11−y，
又由4x>0，有y+11−y>0，得−1当y=g(f(x))−1g(f(x))+1时，y=2x2−12x2+1，有y2x2+1=2x2−1，得2x2=y+11−y，
又由2x2≥20=1，有y+11−y≥1，解得0≤y<1，故B=[0,1)．
由B⫋A，故"m∈A"是"m∈Bn"的必要不充分条件．
【答案】
解：(1)设苗圃的两边长分别为a,b（如图），
则ab=5000,2a+b≥22ab=200 ，当且仅当ab=5000,2a=b,即a=50,b=100时取“=”，
故栅栏总长的最小值为200米．
(2)a+2b+4=5000⇒ab+4a+2b−4992=0 ．
而4a+2b≥28ab=42ab，故ab+42ab−4992≤0．
令ab=t，则t2+42t−4992≤0 ．
因式分解为t+522t−482≤0，
解得−522≤t≤482，
有ab≤482，ab≤4608，当且仅当b=2a,ab=482时取“=”，
故苗圃面积的最大值为4608平方米．
【考点】
函数模型的选择与应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设苗圃的两边长分别为a,b（如图），
则ab=5000,2a+b≥22ab=200 ，当且仅当ab=5000,2a=b,即a=50,b=100时取“=”，
故栅栏总长的最小值为200米．
(2)a+2b+4=5000⇒ab+4a+2b−4992=0 ．
而4a+2b≥28ab=42ab，故ab+42ab−4992≤0．
令ab=t，则t2+42t−4992≤0 ．
因式分解为t+522t−482≤0，
解得−522≤t≤482，
有ab≤482，ab≤4608，当且仅当b=2a,ab=482时取“=”，
故苗圃面积的最大值为4608平方米．
【答案】
解：（1）f(−x)=lg2(4−x+1)−ax=f(x)=lg2(4x+1)+ax⇒2ax+lg24x+1−lg24−x+1=0，
而lg24x+1−lg24−x+1=lg24x+14−x+1
=lg24x+1⋅4x4−x+1⋅4x=lg24x+1⋅4x4x+1=lg24x=2x，
∴ 2ax+2x=0⇒a=−1.
（2）fx=lg24x+1−x，
∴ 2f(x)=2lg2(4x+1)−x=4x+122=2x+2−x，
故函数gx=22x+2−2x+m2x+2−x的最小值为−3，
令2x+2−x=t，故ht=t2+mt−2t≥2的最小值为−3，
等价于−m2≤2,h2=2m+2=−3
或−m2>2,h−m2=−m24−2=−3
解得m=−52.
(3)由fx=lg24x+1−x=lg24x+12x=lg22x+12x，
令φx=2x+12xx≥0,x2>x1≥0，
有φx2−φx1=2x2+12x2−2x1+12x1=2x2−2x1+12x2−12​x1
=2x2−2x1+2x1−2x22x1+x2
=(2x2−2x1)(2x1+x2−1)2x1+x2，
由x2>x1≥0，有2x2−2x1>0，2x1+x2>20=1，可得φx2>φx1，可知函数φx为增函数，
故当x≥0时，函数fx单调递增，由函数fx为偶函数，可知函数fx的增区间为[0,+∞），减区间为−∞,0，
令n=fx−1，有n≥f0−1=lg22−1=0，
方程fx−1+k fx−1−4k]+2k2+k=0（记为方程1）可化为n+kn−4k+2k2+k=0，整理为n2−3kn−2k2+k=0（记为方程2），
Δ=9k2−4−2k2+k=17k2−4k，
①当Δ<0时，有0②当Δ=0时，k=0时，方程2的解为n=0，可得方程1仅有一个解为x=0；
k=417时，方程2的解为n=617，可得方程1有两个解：
③当Δ>0时，可得k>417或k<0，
1∘当方程2有零根时，k=12，此时方程2还有一根为n=32，可得此时方程1有三个解；
2∘当方程2有两负根时，x+x2=3k<0,x1x2=k−2k2>0可得 k<0,03∘当方程2有两正根时，x+x2=3k>0,x1x2=k−2k2>0可得0又由Δ>0，可得4174∘当方程2有一正根一负根时，x1x2=k−2k2<0，可得k>12或k<0，又由Δ>0，可得k>12或k<0，此时方程1有两个根，
由上知：当k=0时，方程1有一个根；
当0当k=417或k<0或k>12时，方程1有两个根；
当k=12时，方程1有三个根；
当417【考点】
函数解析式的求解及常用方法
已知函数极最值求参数问题
根的存在性及根的个数判断
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）f(−x)=lg2(4−x+1)−ax=f(x)=lg2(4x+1)+ax⇒2ax+lg24x+1−lg24−x+1=0，
而lg24x+1−lg24−x+1=lg24x+14−x+1
=lg24x+1⋅4x4−x+1⋅4x=lg24x+1⋅4x4x+1=lg24x=2x，
∴ 2ax+2x=0⇒a=−1.
（2）fx=lg24x+1−x，
∴ 2f(x)=2lg2(4x+1)−x=4x+122=2x+2−x，
故函数gx=22x+2−2x+m2x+2−x的最小值为−3，
令2x+2−x=t，故ht=t2+mt−2t≥2的最小值为−3，
等价于−m2≤2,h2=2m+2=−3
或−m2>2,h−m2=−m24−2=−3
解得m=−52.
(3)由fx=lg24x+1−x=lg24x+12x=lg22x+12x，
令φx=2x+12xx≥0,x2>x1≥0，
有φx2−φx1=2x2+12x2−2x1+12x1=2x2−2x1+12x2−12​x1
=2x2−2x1+2x1−2x22x1+x2
=(2x2−2x1)(2x1+x2−1)2x1+x2，
由x2>x1≥0，有2x2−2x1>0，2x1+x2>20=1，可得φx2>φx1，可知函数φx为增函数，
故当x≥0时，函数fx单调递增，由函数fx为偶函数，可知函数fx的增区间为[0,+∞），减区间为−∞,0，
令n=fx−1，有n≥f0−1=lg22−1=0，
方程fx−1+k[fx−1−4k]+2k2+k=0（记为方程1）可化为n+kn−4k+2k2+k=0，整理为n2−3kn−2k2+k=0（记为方程2），
Δ=9k2−4−2k2+k=17k2−4k，
①当Δ<0时，有0②当Δ=0时，k=0时，方程2的解为n=0，可得方程1仅有一个解为x=0；
k=417时，方程2的解为n=617，可得方程1有两个解：
③当Δ>0时，可得k>417或k<0，
1∘当方程2有零根时，k=12，此时方程2还有一根为n=32，可得此时方程1有三个解；
2∘当方程2有两负根时，x+x2=3k<0,x1x2=k−2k2>0可得 k<0,03∘当方程2有两正根时，x+x2=3k>0,x1x2=k−2k2>0可得0又由Δ>0，可得4174∘当方程2有一正根一负根时，x1x2=k−2k2<0，可得k>12或k<0，又由Δ>0，可得k>12或k<0，此时方程1有两个根，
由上知：当k=0时，方程1有一个根；
当0当k=417或k<0或k>12时，方程1有两个根；
当k=12时，方程1有三个根；
当417

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