课时过关检测（二十三） 函数y=A sin (ωx+φ)的图象及应用

课时过关检测（二十三）

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

A级——基础达标

1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

解析：选A　令x＝0得y＝sin＝－，排除B、D项，由f ＝0，f ＝0，排除C项，故选A．

2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f 的值是(　　)

A．－　　　　　　　　　 B．

C．1 D．

解析：选D　由题意可知该函数的周期为，

∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x.

∴f ＝tan ＝.

3．(2021·安徽安庆模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图所示，则(　　)

A．ω＝3，φ＝ B．ω＝3，φ＝－

C．ω＝6，φ＝－ D．ω＝6，φ＝

解析：选A　由题图可得A＝1，·＝－，解得ω＝3.所以f(x)＝sin(3x＋φ)，

因为f(x)＝sin(3x＋φ)的图象过点，所以0＝sin，因为|φ|＜π，所以φ＝.故选A．

4．(2021·黄冈中学高三模拟)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)

A．－ B．－

C． D．

解析：选A　将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得到y＝sin＝sin的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则＋φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－，即f(x)＝sin.当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值，最小值为－.

5．(2021·福州市适应性考试)在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，g(x)＝sin，h(x)＝cos的部分图象如图所示，则(　　)

A．a为f(x)的图象，b为g(x)的图象，c为h(x)的图象

B．a为h(x)的图象，b为f(x)的图象，c为g(x)的图象

C．a为g(x)的图象，b为f(x)的图象，c为h(x)的图象

D．a为h(x)的图象，b为g(x)的图象，c为f(x)的图象

解析：选A　f(x)，g(x)，h(x)的最大值分别为，1,1，由于图象a的最大值最大，故a为f(x)的图象；g(x)，h(x)的最小正周期分别为π，2π，图象b的最小正周期比c小，故b为g(x)的图象，c为h(x)的图象．故选A．

6．(多选)(2021·哈尔滨市高考模拟)将函数f(x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有以下哪些性质(　　)

A．最大值为，图象关于直线x＝－对称

B．图象关于y轴对称

C．最小正周期为π

D．图象关于点成中心对称

解析：选BCD　将函数f(x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，

得到y＝cos－1＝cos(2x＋π)－1＝－cos 2x－1的图象；

再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－cos 2x的图象．

对于函数g(x)，它的最大值为，由于当x＝－时，g(x)＝，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x＝－ 对称，故A错误；

由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；

它的最小正周期为＝π，故C正确；

当x＝时，g(x)＝0，故函数的图象关于点成中心对称，故D正确．

7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)满足f ＝f ＝0，写出一个满足要求的函数f(x)的解析式        ．

解析：函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)满足f ＝f ＝0，则－＝，k∈Z，

不妨设k＝1，则－＝，

解得T＝，所以ω＝＝，

所以f(x)＝sin，

由f ＝0可得×＋φ＝kπ，k∈Z，

不妨取k＝1，代入可得φ＝，

所以f(x)＝sin.

答案：f(x)＝sin(答案不唯一)

8．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则为了得到曲线C1，首先要把C2上各点的横坐标变为原来的        倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移        个单位长度．(本题所填数字要求为正数)

解析：因为曲线C1：y＝cos x＝sin＝sin，

所以先将C2上各点的横坐标变为原来的＝＝2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线y＝sin向右平移个单位长度．

答案：2　

9．(2021·福州市适应性考试)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数y＝g(x)的图象．若g(x1)g(x2)＝－2，则|x1－x2|的最小值为        ．

解析：f(x)＝sin，所以g(x)＝sin，故g(x)的周期为π，且g(x)max＝，g(x)min＝－.因为g(x1)g(x2)＝－2，所以g(x1)＝－g(x2)＝，或g(x1)＝－g(x2)＝－，所以|x1－x2|＝＋kπ，k∈N，所以|x1－x2|min＝.

答案：

10．(2021·长沙一模)若f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ＞0)的图象关于直线x＝对称，且当φ取最小值时，存在x0∈，使得f(x0)＝a，则a的取值范围是        ．

解析：∵函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ＞0)的图象关于直线x＝对称，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z)，又φ＞0，∴当φ取最小值时，φ＝，f(x)＝2sin.∵x0∈，∴2x0＋∈，∴－＜f(x0)≤2，即a的取值范围是.

答案：

11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

解：(1)依题意得A＝5，

周期T＝4＝π，∴ω＝＝2.

故f(x)＝5sin(2x＋φ)，

又图象过点P，∴5sin＝0，

由已知可得＋φ＝kπ，k∈Z，

∵|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝5sin.

(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

12．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3，且f ＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．

解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，

所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx

＝sin ωx－cos ωx＝

＝sin.

因为f ＝0，所以－＝kπ，k∈Z.

故ω＝6k＋2，k∈Z.

又0<ω<3，所以ω＝2.

(2)由(1)得f(x)＝sin，

所以g(x)＝sin＝sin.

因为x∈，所以x－∈，

当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.

B级——综合应用

13．(多选)如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则下列选项正确的是(　　)

A．y＝g(x)是奇函数

B．函数g(x)的图象的对称轴是直线x＝kπ＋(k∈Z)

C．函数g(x)的图象的对称中心是(k∈Z)

D．函数g(x)的单调递减区间为(k∈Z)　

解析：选AD　依题意可得A＝2，＝＋＝，故T＝π，ω＝2.f＝2sin＝2sin＝0，因为0＜φ＜，所以φ＝，故f(x)＝2sin.将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin 2x的图象，函数g(x)＝2sin 2x是奇函数，故A项正确；函数g(x)的图象的对称轴是直线x＝＋(k∈Z)，故B项不正确；函数g(x)的图象的对称中心是(k∈Z)，故C项不正确；函数g(x)＝2sin 2x的单调递减区间为(k∈Z)，故D项正确．故选A、D.

14．如图，将绘有函数f(x)＝sin(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的空间距离为，则ω＝        ，f(－1)＝        .

解析：由题设并结合图形可知

AB＝ ＝

＝ ＝，得＝4，则ω＝，

所以函数f(x)＝sin，

所以f(－1)＝sin＝sin＝.

答案：　

15．(2021·衡阳市第一中学高三月考)在①f(x)的图象关于直线x＝对称；②f(x)的图象关于点对称；③f(x)在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由．

已知函数f(x)＝4sin＋a(ω∈N*)的最小正周期不小于，且        ，是否存在正实数a，使得函数f(x)在上有最大值3?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解：由于函数f(x)的最小正周期不小于，

所以≥，所以1≤ω≤6，ω∈N*.

若选择①，即f(x)的图象关于直线x＝对称，则有ω＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝k＋(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝3，ω＝4.

此时，f(x)＝4sin＋a.

由x∈，得4x＋∈，因此当4x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值4＋a，令4＋a＝3，解得a＝－1，不符合题意．

故不存在正实数a，使得函数f(x)在上有最大值3；

若选择②，即f(x)的图象关于点对称，则有ω＋＝kπ(k∈Z)，

解得ω＝k－(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝1，ω＝3.

此时，f(x)＝4sin＋a.

由x∈，得3x＋∈，因此当3x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值4sin ＋a＝＋＋a，令＋＋a＝3，解得a＝3－－，不符合题意．

故不存在正实数a，使得函数f(x)在上有最大值3；

若选择③，即f(x)在上单调递增，则有(k∈Z)，

解得(k∈Z)，

由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝0，ω＝1.

此时，f(x)＝4sin＋a.

由x∈，得x＋∈，因此当x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2＋a，令2＋a＝3，解得a＝3－2，符合题意．

故存在正实数a＝3－2，使得函数f(x)在上有最大值3.

C级——迁移创新

16.(2021·广州市阶段训练)如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点，OB⊥OA，P是圆上的动点，点P关于直线OB的对称点为P′，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将|－|表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为(　　)

解析：选A　根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则P(cos x，sin x)，P′(－cos x，sin x)，所以＝(cos x，sin x)，＝(－cos x，sin x)，所以－＝(2cos x,0)，所以f(x)＝|－|＝|2cos x|，所以f(x)＝由余弦函数的图象知A正确，故选A．