宿迁市沭阳县2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

宿迁市沭阳县2021-2022学年八年级3月月考数学试题

一、选择题（共8小题，每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置）

1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )

A.  B.

C.  D.

2. 下列事件是随机事件的是    (    )

A. 太阳绕着地球转 B. 小明骑车经过某个十字路口时遇到红灯

C. 地球上海洋面积大于陆地面积     D. 李刚的生日是2月30日

3. 下列说法错误的是（    ）

A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

4. 如图，在RtABC中，∠BAC=90°，将ABC绕点A顺时针旋转90°后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点，连接．若，则∠B的大小是（    ）

A. 32° B. 69° C. 77° D. 87°

5. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(　　)

A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直

6. 如图，在中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数等于（　）

A. 45° B. 55° C. 65° D. 75°

7. 如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC长为(　　)

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

8. 将五个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为(    )

A 2 B. 4 C. 6 D. 8

二、填空题（共10小题）

9. 调查某种家用电器的使用寿命，合适的调查方法是______．

10. 将一批数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频率是0.23，第二组与第四组的频率之和是0.52，那么第三组的频率是___．

11. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为__．

12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=________．

13. 一个盒子中只装有白色小球．为了估计盒中白色小球的数量，小明将形状、大小、材质都相同的红色小球 1000个放入盒中，摇匀后任意取出 100 个，发现红色小球有4 个，那么可以估计出白小球的个数为_______．

14. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B=______

15. 在“Wishyousuccess”中，任选一个字母，这个字母为“s”的概率为_____．

16. 如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为__．

17. 矩形两条对角线所夹的锐角为，较短的边长为12，则对角线长为______．

18. 如图，在边长为6的正方形ABCD内作，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将绕点A顺时针旋转90°得到，若，则BE的长为__________．

三、解答题（本大题有10小题，解答时应写出文字说明或演算步骤）

19. 在世界环境日（6月5日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分学生的成绩作为样本，按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表．

测试成绩统计表

根据统计图表提供的信息，解答下列问题：

（1）表中________，________，________；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校有2400名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有多少人？

20. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：

（1）完成上表；

（2）“摸到白球”的概率的估计值是　    （精确到0.1）；

（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？

21. 如图，在四边形ABCD中，ABCD，BC⊥CD，垂足为点C，E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．

（1）写出图中的一对全等三角形       ；

（2）若AB＝4，BC＝5，CD＝6．求的面积．

22 如图，已知△ABC中，∠ABC=90°．

（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）

①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；

②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD=OB；

③连接DA、DC．

（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

23. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F．求证：DE=DF．

24. 如图，对角线AC，BD相交于点O，过点O作，分别交AB，DC于点E、F，连接AF、CE．

（1）若，求EF的长；

（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．

25. 如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形EGFH是平行四边形．

26. 如图，在矩形中，点在上，于点，连结．求证：．

27. 如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．

（1）求证：D是BC的中点．

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是正方形，并说明理由．

28. 如图1，在菱形中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合．

（1）求的度数；

（2）如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与菱形的两边，相交于点E，F．

①试探究，的数量关系，并证明你的结论；

②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值．

答案与解析

一、选择题（共8小题，每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置）

1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、既不是轴对称图形，也又是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：A．

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2. 下列事件是随机事件的是    (    )

A. 太阳绕着地球转 B. 小明骑车经过某个十字路口时遇到红灯

C. 地球上海洋面积大于陆地面积     D. 李刚的生日是2月30日

【答案】B

【解析】

【详解】试题解析：A、太阳绕着地球转，一定不会发生，是不可能事件，不符合题意；

B、小明骑车经过某个十字路口时遇到红灯，可能发生，也可能不发生，是随机事件，符合题意；

C、地球上海洋面积大于陆地面积，是必然事件，不符合题意；

D、李刚的生日是2月30日，一定不会发生，是不可能事件，不符合题意．

故选B．

考点：随机事件．

3. 下列说法错误的是（    ）

A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

【答案】D

【解析】

【分析】根据平行四边形的判定定理进行分析即可．

【详解】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；

B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；

C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；

D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；

故选：D．

【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

4. 如图，在RtABC中，∠BAC=90°，将ABC绕点A顺时针旋转90°后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点，连接．若，则∠B的大小是（    ）

A. 32° B. 69° C. 77° D. 87°

【答案】C

【解析】

【分析】根据旋转的性质可得，进而可得，根据求得，进而根据直角三角形两个锐角互余求得，进而即可求解．

【详解】解：∵将ABC绕点A顺时针旋转90°后得到

∴，，

，

，

，

∠BAC=90°，

,

，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握旋转的性质是解题的关键．

5. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(　　)

A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；

平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；

∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．

故选D．

考点：菱形的性质；平行四边形的性质．

6. 如图，在中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数等于（　）

A. 45° B. 55° C. 65° D. 75°

【答案】A

【解析】

【分析】根据平行四边形对角相等，求出∠BCD，再根据邻补角的定义求出∠MCD即可．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠BCD=135°，

∴∠MCD=180°－∠BCD

=180°－135°

=45°．

故选A．

【点睛】本题考查平行四边形的性质、邻补角定义等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形性质，属于基础题，中考常考题型．

7. 如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为(　　)

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.

故选B.

点睛：此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段，根据等量代换可求解.

8. 将五个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为(    )

A 2 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】连接AP、AN，点A是正方形的对角线的交点，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得PAF≌△NAE，进而可得四边形AENF的面积等于△NAP的面积，同理可得答案．

【详解】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交

则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，

∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，

∴∠PAF=∠NAE，

∴△PAF≌△NAE，

∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，

而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，

∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．

故选B．

【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．

二、填空题（共10小题）

9. 调查某种家用电器的使用寿命，合适的调查方法是______．

【答案】抽样调查

【解析】

【分析】利用抽样调查和全面调查的特点即可作出判断．

【详解】解：因为要普查的话，破坏性较大，所以应用抽样调查．

故答案为：抽样调查．

【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

10. 将一批数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频率是0.23，第二组与第四组的频率之和是0.52，那么第三组的频率是___．

【答案】0.25

【解析】

【分析】根据频率的意义，各个小组的频率之和是1，可得第三组的频率是1-0.23-0.52，再计算即可．

【详解】∵各个小组的频率之和是1，第一组的频率是0.23，第二与第四组的频率之和是0.52，
∴第三组的频率是1-0.23-0.52=0.25；
故答案为：0.25．

【点睛】本题考查了频率的意义，用到的知识点是各个小组的频率之和是1，关键是根据各个小组的频率之和是1和已知条件列出算式．

11. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为__．

【答案】17

【解析】

【分析】由平行四边形的性质分别求解，从而可得答案．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8，BD＝12，AC＝6，

∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝6，BC＝AD＝8，

∴△OBC的周长＝OB+OC+BC＝3+6+8＝17．

故答案为：17．

【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质求解三角形的周长是解题的关键．

12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=________．

【答案】.

【解析】

【分析】直接利用菱形的性质得出BO=3，CO=4，AC⊥BD，进而利用勾股定理以及直角三角形面积求法得出答案．

【详解】∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，

在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，

∴BC=，

∵OE⊥BC，

∴OE•BC=OB•OC，

∴OE=．

13. 一个盒子中只装有白色小球．为了估计盒中白色小球的数量，小明将形状、大小、材质都相同的红色小球 1000个放入盒中，摇匀后任意取出 100 个，发现红色小球有4 个，那么可以估计出白小球的个数为_______．

【答案】24000个．

【解析】

【分析】利用红球的概率可得到分式方程，求解即可．

【详解】解：设白球个数有x个则由题意知

解得x=24000

经检验x=24000是原方程的解．

故估计白球有个数为24000个

故答案为：24000个．

【点睛】本题考查用样本估计总体．解分式方程．

14. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B=______

【答案】114

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC= ∠1，再由三角形内角和定理求出∠B即可．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°.
故答案为114°．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数．

15. 在“Wishyousuccess”中，任选一个字母，这个字母为“s”的概率为_____．

【答案】

【解析】

分析】根据概率公式进行计算即可．

【详解】解：任选一个字母，这个字母为“s”的概率为：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

16. 如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为__．

【答案】110°

【解析】

【详解】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠CAB=20°，因BE⊥AB，可得∠EBA=90°，所以∠2=∠EBA+∠CAB=90°+20°=110°．

17. 矩形的两条对角线所夹的锐角为，较短的边长为12，则对角线长为______．

【答案】24

【解析】

【分析】根据矩形对角线相等且互相平分性质和题中条件得△AOB为等边三角形，即可得到矩形对角线一半长，进而求解即可．

【详解】解：如图所示，

∵四边形ABCD是矩形，AC，BD是对角线，

∴AC=BD，OA＝OB＝OD＝OC＝BD＝AC，

在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA＝OB＝AB＝12，

∴AC=BD＝2OB＝2×12＝24，

即对角线长24．

故答案为：24．

【点睛】本题考查了矩形的性质，比较简单，解题的关键是掌握矩形的性质和等边三角形的判定．

18. 如图，在边长为6的正方形ABCD内作，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将绕点A顺时针旋转90°得到，若，则BE的长为__________．

【答案】2

【解析】

【分析】根据旋转的性质可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF=BG，∠DAF=∠BAG，然后根据已知条件证明△EAG≌△EAF，设，在中，由勾股定理可以求出BE的长．

【详解】解：由旋转可知，△ADF≌△ABG，

∴，∠DAF=∠BAG，

∵∠DAB=90°，∠EAF=45°，

∴∠DAF+∠EAB=45°，

∴∠BAG+∠EAB=45°，

∴∠EAF=∠EAG，

在△EAG和△EAF中，

，

∴△EAG≌△EAF(SAS)，

∴GE=FE，

设，则，，

∴，

∵CD=6，DF=3，

∴，

∵∠C=90°，

∴在中，，即，

解得，，即BE=2．

故答案为：2．

【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解题．

三、解答题（本大题有10小题，解答时应写出文字说明或演算步骤）

19. 在世界环境日（6月5日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分学生的成绩作为样本，按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表．

测试成绩统计表

根据统计图表提供的信息，解答下列问题：

（1）表中________，________，________；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校有2400名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有多少人？

【答案】（1）0.25，54，120；（2）见解析；（3）1680人

【解析】

【分析】（1）依据频率=，先用不合格的人数除以不合格的频率即可得到总频数（人数），再依次求出、；
（2）根据（1）良好人数即可补全条形统计图；
（3）全校2400名乘以“优秀”和“良好”两个等级的频率和即可得到结论．

【详解】解：（1）样本的总频数（人数）（人），

其中：“优秀”等次频率，

“良好”等次的频数（人）．

故答案为：0.25，54，120；

（2）如下图；

（3）试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生=（人）．

答：测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有1680人．

【点睛】本题考查了频率统计表和条形统计图，读懂统计图，掌握“频率=”是解决问题的关键．

20. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：

（1）完成上表；

（2）“摸到白球”的概率的估计值是　    （精确到0.1）；

（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？

【答案】（1）0.59，0.58；（2）0.6；（3）黑球8个，白球12个．

【解析】

【分析】（1）将m和n的值分别代入求解即可得出答案；

（2）根据表中数据，取平均值即可得出答案；

（3）根据总数和摸到白球的概率求出白球的个数，再用总数减去白球的个数，即可得出答案.

【详解】（1）填表如下：

（2）“摸到白球”的概率的估计值是0.60；

（3）由（2）摸到白球的概率为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数＝20×0.6＝12（个），黑球20﹣12＝8（个）．

答：黑球8个，白球12个．

【点睛】本题考查的是数据统计，难度系数较低，解题关键是用样本概率估计总体概率.

21. 如图，在四边形ABCD中，ABCD，BC⊥CD，垂足为点C，E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．

（1）写出图中的一对全等三角形       ；

（2）若AB＝4，BC＝5，CD＝6．求的面积．

【答案】（1）；   

（2）25．

【解析】

【分析】（1）根据全等三角形的判定即可求出答案；

（2）根据全等三角形的性质可得：，进一步可求出，再利用三角形面积公式求出．

【小问1详解】

解：∵ABCD，

∴，

∵E是AD的中点，

∴，

在和中，

∴，

故答案为：，

【小问2详解】

解：∵，

∴，

∵BC＝5，CD＝6，

∴，

∴．

【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形面积公式，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质．

22. 如图，已知△ABC中，∠ABC=90°．

（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）

①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；

②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD=OB；

③连接DA、DC．

（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

【答案】（1）作图见解析；（2）四边形ABCD是矩形，理由见解析．

【解析】

【分析】（1）①利用线段垂直平分线作法得出即可；

②利用射线的作法得出D点位置；

③连接DA、DC即可求解；

（2）利用直角三角形斜边与其边上中线的关系进而得出AO=CO=BO=DO，进而得出答案．

【详解】解：（1）①如图所示：

②如图所示：

③如图所示：

（2）四边形ABCD是矩形，

理由：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC边上的中线，

∴BO=AC，

∵BO=DO，AO=CO，

∴AO=CO=BO=DO，

∴四边形ABCD是矩形．

【点睛】本题考查作图—基本作图；矩形的判定．

23. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F．求证：DE=DF．

【答案】见解析

【解析】

【详解】试题分析：根据正方形的性质可得AD=DC，∠A=∠DCF=90°，再根据DE⊥DF得出∠1=∠2，从而说明三角形ADE和△CDF全等.

试题解析：∵四边形ABCD是正方形， ∴  AD=CD  ,∠A=∠DCF=90°

又∵DF⊥DE，  ∴∠1+∠3=∠2+∠3    ∴∠1=∠2

∴△DAE≌△DCE    ∴DE=DF

考点：(1)、正方形的性质；(2)、三角形全等判定

24. 如图，的对角线AC，BD相交于点O，过点O作，分别交AB，DC于点E、F，连接AF、CE．

（1）若，求EF的长；

（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．

【答案】（1）3；（2）菱形，理由见解析

【解析】

【分析】（1）只要证明即可得到结果；

（2）先判断四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直且平分证明是菱形，即可得到结论；

【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，

∴，OA=OC，

又∵，

∴，

在△AOE和△COF中，

，

∴．

∴FO=EO，

又∵，

∴．

故EF的长为3．

（2）由（1）可得，，四边形ABCD是平行四边形，

∴，FC∥AE，

∴四边形AECF是平行四边形，

又，OE=OF，OA=OC，

∴平行四边形AECF是菱形．

【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的性质应用，准确运用全等三角形的性质及菱形的判定是解题的关键．

25. 如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形EGFH是平行四边形．

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质得到AB//CD，AB= CD，根据平行线的性质得到∠GAE=∠HCF，得△AGE≌△CHF（SAS），根据全等三角形的性质得到GE= HF，∠AEG =∠CFH，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．

【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，AB＝CD，

∴∠GAE＝∠HCF，

∵点G，H分别是AB，CD的中点，

∴AG＝CH，

在△AGE和△CHF中，

，

∴△AGE≌△CHF（SAS），

∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH， 

∴∠GEF＝∠HFE，

∴GE//HF，

又∵GE＝HF，

∴四边形EGFH是平行四边形

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形判定与的性质是解题的关键．

26. 如图，在矩形中，点在上，于点，连结．求证：．

【答案】证明见解析．

【解析】

【分析】要证明DF＝DC，只需要根据条件证明△DFEC≌△DCE即可．

【详解】证明：∵DF⊥AE于F，   

∴∠DFE＝90°

在矩形ABCD中，∠C＝90°

∴∠DFE＝∠C

在矩形ABCD中，

∴∠ADE＝∠DEC  

∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED

∴∠AED＝∠DEC

又∵DE=DE，

∴△DFE≌△DCE ，

∴DF＝DC

27. 如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．

（1）求证：D是BC的中点．

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是正方形，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）若△ABC是等腰直角三角形时，四边形AFBD是正方形，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解；

（2）由（1）知AF平行等于BD，易证四边形AFBD是平行四边形，而AB=AC，AD是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB=90°，于是得到结论．

【详解】解：（1）∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DCE，

∵点E为AD的中点，

∴AE＝DE，

在△AEF和△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF＝CD，

∵AF＝BD，

∴CD＝BD，

∴D是BC的中点；

（2）若△ABC是等腰直角三角形时，四边形AFBD是正方形，理由如下：

∵△AEF≌△DEC，

∴AF＝CD，

∵AF＝BD，

∴CD＝BD；

∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴∠ADB＝90°，AD＝BD，

∴平行四边形AFBD是正方形．

【点睛】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．

28. 如图1，在菱形中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合．

（1）求的度数；

（2）如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与菱形的两边，相交于点E，F．

①试探究，的数量关系，并证明你的结论；

②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值．

【答案】（1）60°；（2）①CE＋CF=2，理由见详解；②的周长会发生改变，周长最小值=2+．

【解析】

【分析】（1）根据菱形的性质，可得∠BAD=120°，∠ABC=60°，进而即可求解；

（2）①先证明△ABC、△ACD都是等边三角形，再证明△BAE≌△CAF，可得BE＝CF，进而即可得到结论；②连接EF，可得是等边三角形，从而得周长=2+AE，即当AE最小时，周长最小，进而即可得到答案．

【详解】解：（1）在菱形中，，

∴∠BAD=120°，∠ABC=60°，

∴∠BAC=∠BAD=60°，即：=60°；

（2）①∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA．

∵∠B＝60°，

∴∠D＝60°，

∴△ABC、△ACD都是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACD＝∠B＝60°．

∵∠EAF＝=60°，

∴∠BAC＝∠EAF＝60°，

∴∠BAC−∠EAC＝∠EAF−∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF（ASA），

∴BE＝CF，

∴CE＋CF＝CE＋BE= BC=AB=2；

②连接EF，

∵△BAE≌△CAF，

∴AE=AF，

∵∠EAF=60°，

∴是等边三角形，

∴EF=AE，

∵周长=CE+CF+EF=2+EF=2+AE，

∴的周长会发生改变，当AE最小时，周长最小，

∵AE⊥BC时，AE最小=BE= ×AB=××2=，

∴周长最小值=2+．

【点睛】此题是四边形综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．正确作出辅助线，构造等边三角形是解题的关键．