扬州市江都区邵樊片2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份扬州市江都区邵樊片2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
扬州市江都区邵樊片2021-2022学年八年级3月月考数学试题
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1. 最近北京2022年冬奥会的吉祥物“冰墩墩”成为了互联网的“顶流”，他呆萌的形象受到了人们的青睐，结合你所学知识，能够通过如图平移得到的选项是（　　）

A. B. C. D.
2. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A. 考察某市市民保护海洋的意识 B. 了解一批手机电池的使用寿命
C. 调查某品牌食品的色素含量是否超标 D. 了解全班学生参加社会实践活动的情况
3. 今年某市有3万名学生参加了关于“你喜爱的一项体育运动”的问卷调查，从中抽取3000名学生的调查结果进行统计分析，以下说法错误的是（　　）
A. 3万名学生的问卷调查结果是总体 B. 3000名学生的问卷调查结果是样本
C. 3000名学生是样本容量 D. 每一名学生的问卷调查结果是个体
4. 下列成语描述的事件是随机事件的是（ ）
A. 海枯石烂 B. 画饼充饥 C. 瓜熟蒂落 D. 守株待兔
5. 以下条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A. 一组对边平行，另一组对边相等
B. 一组对边平行，一组对角相等
C. 一组对边相等，一组对角相等
D. 一组对边平行，一组邻角互补
6. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（　　）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 13
7. 如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（　　）

A 8 B. 9
C. 12 D. 15
8. 如图，点P为▱ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD，若△APB的面积为18，△APD的面积为5，则△APC的面积为（　　）

A. 10 B. 13 C. 18 D. 20
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
9. 若要制作统计图来反映某品牌奶粉中蛋白质、钙、维生素糖和其他物质含量的百分比，最适当的统计图是_________统计图．（填“折线”、“条形”或“扇形”）
10. 一个样本有个数据：，，，，，，，，，，如果组距为，则应分成______组．
11. 有60个数据，共分成4组，第1、2组的频数分别为25、19，第4组的频率是，则第3组的频数是______．
12. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设___________ ．
13. 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝18，则△BOC的周长为 _____．

14. 在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4），则顶点D的坐标是 _____．
15. 如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为___________

16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF．若∠A＝30°，BC＝3，CF＝4，则CD＝_____．

17. 如图，△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝2，D在BC上，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得AP，则CP的最小值为_____．

18. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为_______.

三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19. 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．

（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形；
（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点，请画出平移后的；
（3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心坐标为 　 　．
20. 新冠肺炎疫情期间，我市防空指挥部想领会自8月1日至8月底各学校教职工介入志愿服务的情况，在全市各学校中随机调查了部分介入志愿者服务的教职工，对他们的志愿服务时间（小时）进行统计，A：0＜x≤30；B：30＜x≤60；C：60＜x≤90；D：90＜x≤120；整理并绘制成两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

（1）这次被抽取的教职工共有 　　人，扇形统计图中，“D：90＜x≤120”所占圆心角的度数是 　　°；
（2）请你将条形统计图补充完整，并在图上标明相应的数据；
（3）若该市共有3000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职工大约有多少人？
21. 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
63
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.63
0.62
0.593
a
0.601
0.599
b

（1）计算：　 　；　 　；
（2）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　；（精确到0.1）
（3）求不透明的盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
22. 在四边形ABCD中，有下列条件：①AB∥CD，②∠A＝∠C，③AD＝BC，④∠B＝∠D．从中选择两个条件能够使四边形ABCD成为平行四边形（不添加任何辅助线），请写出所有符合组合：（用序号表示）
（1）　 　；
（2）选择其中一种组合进行证明．
23. 如图，点E、F在线段BC上，AB＝CD，BE＝CF且∠B＝∠C．

（1）求证：△ABF≌△DCE；
（2）请猜想四边形AEDF的形状，并加以证明．
24. 中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注，为此某记者随机调查了某区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成：D．反对）．并将调查结果绘制成折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题．

（1）此次抽样调查中，共调查了 名中学生家长；
（2）扇形统计图中，表示A类型的扇形圆心角的度数为 ．
（3）先求出C类型的人数，然后将图1中的折线图补充完整．
（4）根据抽样调查结果，请你估计该区18000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？
25. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于О点，于E点，于F．

（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若，，，求的面积．
26. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分．
我们可以证明这个结论．
已知：如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
求证：OA＝OC，OB＝OD．

请根据教材中的分析，结合图①，写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的完整的证明过程．

（1）证明：
【性质应用】
（2）如图②，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F，求证：OE＝OF
（3）连结AF，若EF⊥AC，△ABF周长是15，则▱ABCD的周长是______．
27. （1）问题发现：

如图1，△ACB和△DCE均等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：
①线段AD、BE之间的数量关系是______；
②∠AEB的度数为______°．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点 A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．
（3）探究发现：
图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
28. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线PA是一次函数y＝x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y＝﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．

（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；
（2）若四边形PQOB面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

答案与解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1. 最近北京2022年冬奥会的吉祥物“冰墩墩”成为了互联网的“顶流”，他呆萌的形象受到了人们的青睐，结合你所学知识，能够通过如图平移得到的选项是（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察所给选项，利用平移的定义可以直接得出答案．
【详解】解：根据平移的定义，将所给图形沿一个方向移动，只可以得到C选项的图形，A，B，D选项通过旋转可以得到．
故选C．
【点睛】本题考查平移的定义：平移就是在一个平面内，将一个图形向某一方向移动，这种图形的运动称为平移，熟练掌握定义是解题的关键．
2. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A. 考察某市市民保护海洋的意识 B. 了解一批手机电池的使用寿命
C. 调查某品牌食品的色素含量是否超标 D. 了解全班学生参加社会实践活动的情况
【答案】D
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【详解】解：A、考察某市市民保护海洋的意识，适合采用抽样调查方式；
B、了解一批手机电池的使用寿命，适合采用抽样调查方式；
C、调查某品牌食品的色素含量是否超标，适合采用抽样调查方式；
D、了解全班学生参加社会实践活动的情况，适合采用全面调查方式；
故选：D．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3. 今年某市有3万名学生参加了关于“你喜爱的一项体育运动”的问卷调查，从中抽取3000名学生的调查结果进行统计分析，以下说法错误的是（　　）
A. 3万名学生的问卷调查结果是总体 B. 3000名学生的问卷调查结果是样本
C. 3000名学生是样本容量 D. 每一名学生的问卷调查结果是个体
【答案】C
【解析】
【分析】根据总体，样本，个体，样本容量的概念，逐一判断选项，即可．
【详解】A.3万名学生的问卷调查结果是总体，说法正确，故A不合题意；
B.3000名学生的问卷调查结果是样本，说法正确，故B不合题意；
C.3000是样本容量，故C符合题意；
D.每一名学生的问卷调查结果是个体，说法正确，故D不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了总体，样本，个体，样本容量的概念，熟练掌握概念是解题的关键．
4. 下列成语描述的事件是随机事件的是（ ）
A. 海枯石烂 B. 画饼充饥 C. 瓜熟蒂落 D. 守株待兔
【答案】D
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
【详解】解：A、海枯石烂是不可能事件，故此选项不符合题意；
B、画饼充饥是不可能事件，故此选项不符合题意；
C、瓜熟蒂落是必然事件，故此选项不符合题意；
D、守株待兔是随机事件，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5. 以下条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A. 一组对边平行，另一组对边相等
B. 一组对边平行，一组对角相等
C. 一组对边相等，一组对角相等
D. 一组对边平行，一组邻角互补
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定条件对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中一组对边平行，另一组对边相等，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故不符合题意；
B中一组对边平行，一组对角相等，如图，令，∠A＝∠C，可判定四边形ABCD为平行四边形，

理由如下：∵，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C＝180°，
又∵∠A＝∠C，
∴∠D＝∠B，
∴∠A+∠B=∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
C中一组对边相等，一组对角相等，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故不符合题意；
D中一组对边平行，一组邻角互补，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的判定．
6. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（　　）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，证得△ABO≌△MBO（ASA），再证明四边形AMCF是平行四边形，，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB+180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF平行四边形，
∴CF＝AM＝8，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
7. 如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（　　）

A. 8 B. 9
C. 12 D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】过点P作平行四边形PGBD，EPHC，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可．
【详解】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，

由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，
四边形PGBD，EPHC是平行四边形，
∴PG＝BD，PE＝HC，
∵△ABC是等边三角形，PF∥AC，PD∥AB，
∴△PFG，△PDH是等边三角形，
∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，
又∵△ABC的周长为24，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，根据等边三角形的性质作辅助线构造平行四边形是解题的关键．
8. 如图，点P为▱ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD，若△APB的面积为18，△APD的面积为5，则△APC的面积为（　　）

A. 10 B. 13 C. 18 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，表示出已知三角形的面积，然后作差，再根据平行四边形的性质即可解答本题．
【详解】解：DC与AP交于点E，设点P到DC的距离为，DC和AB之间的距离为，
∵，，

∴，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∴，
即，
∴，
即△APC的面积是13，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形的面积公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
9. 若要制作统计图来反映某品牌奶粉中蛋白质、钙、维生素糖和其他物质含量的百分比，最适当的统计图是_________统计图．（填“折线”、“条形”或“扇形”）
【答案】扇形
【解析】
【分析】根据三种统计图所反映的数据的特征，进行选择即可．
【详解】解：要反映某种品牌奶粉中蛋白质，钙，维生素，糖和其它物质的含量的百分比，需选用扇形统计图．
故答案为：扇形．
【点睛】本题考查扇形统计图的特征，掌握扇形统计图反映各个部分占整体的百分比是正确判断的前提．此题根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断．
10. 一个样本有个数据：，，，，，，，，，，如果组距为，则应分成______组．
【答案】5
【解析】
【分析】极差除以组距，取不小于该值的最小的整数．
【详解】这组数据的最大值为53，最小值为47，则极差为：53-47=6，
所以，取5组，
故答案为:5．
【点睛】本题考查了频数（率）分布表，涉及给数据分组，计算出极差是解题的关键．极差：一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差．
11. 有60个数据，共分成4组，第1、2组的频数分别为25、19，第4组的频率是，则第3组的频数是______．
【答案】7
【解析】
【分析】直接利用表格得出频数÷总数=频率，进而得出答案．
【详解】解：∵有60个数据，共分成4组，第4组的频率是0.15，
∴第4组的频数是：60×0.15=9，
故第3组频数是：60-25-19-9=7．
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了频数与频率，正确得出第4组的频率是解题关键．
12. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设___________ ．
【答案】一个三角形中有两个角是直角
【解析】
【分析】根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．
【详解】用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角．
故答案为一个三角形中有两个角是直角．
【点睛】此题考查反证法，解题关键在于掌握其证明过程．
13. 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝18，则△BOC的周长为 _____．

【答案】15
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC＋BD＝18，
∴OB＋OC＝9，
∴△BOC的周长＝BC＋OB＋OC＝6＋9＝15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，属于中考常考题型．
14. 在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4），则顶点D的坐标是 _____．
【答案】（5，2）
【解析】
【分析】按照字母顺序将点表示在坐标系中，根据平行四边形的性质即可求得的坐标．
【详解】解：如图：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4），
∴顶点D的坐标为（5，2）．
故答案为：（5，2）．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．
15. 如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为___________

【答案】21°.
【解析】
【分析】由直角三角形斜边中线的性质得DE＝AE＝EF，进而可得DC＝DE，设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，进而可得∠DCE＝∠DEC＝2x，再根据平行线的性质可得 ∠ACB＝∠DAE＝x，再根据∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，即可求得答案.
【详解】∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴DE＝AE＝EF，
∴∠DAE=∠ADE，
又∵AE＝EF＝CD，
∴DC＝DE，
∴∠DEC=∠DCE，
设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，
则∠DCE＝∠DEC＝2x，
又AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAE＝x，
由∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，
得：x+2x＝63°，
解得：x＝21°，
∴∠ADE=21°，
故答案为21°.
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行四边形的性质等，正确把握相关性质是解题的关键.
16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF．若∠A＝30°，BC＝3，CF＝4，则CD＝_____．

【答案】
【解析】
【分析】先证明△ECF≌△EDB，得CF=DB=4，∠ECF=∠EDB，所以CF∥DB，则四边形BCFD是平行四边形，得DG∥BC，所以∠AGD=∠ACB=90°，而∠A=30°，BC=3，得AB=2BC=6，AD=2，DG=1，再根据勾股定理求出AG、AC的长，最后求出CD的长．
【详解】解：∵E为CD中点，
∴EC＝ED，
在△ECF和△EDB中，
，
∴△ECF≌△EDB（SAS），
∴CF＝DB＝4，∠ECF＝∠EDB，
∴CF∥DB，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DG∥BC，
∴∠AGD＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，BC＝3，
∴AB＝2BC＝6，
∴AD＝AB﹣DB＝6﹣4＝2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠DGC＝180°﹣∠AGD＝90°，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、解直角三角形等知识与方法，证明△ECF≌△EDB是解题的关键．
17. 如图，△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝2，D在BC上，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得AP，则CP的最小值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】取AB中点E，连接EC，ED，CP，先证明△AEC是等边三角形，得到AE＝AC，再证明△ADE≌△APC（SAS）得到DE＝CP，然后利用垂线段最短求出CP的最小值为，
【详解】解：如图，取AB中点E，连接EC，ED，CP，

∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝2，点E是AB中点，
∴，AE＝BE＝CE＝1，∠BAC＝60°，
∴△AEC是等边三角形，
∴AE＝AC，
∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得AP，
∴AD＝AP，∠DAP＝60°＝∠EAC，
∴∠EAD+∠DAC=∠DAC+∠CAP，
∴∠EAD＝∠CAP，
∴△ADE≌△APC（SAS），
∴DE＝CP，
∴当DE⊥BC时，DE有最小值，即CP有最小值，
∵∠B＝30°，DE⊥BC，
∴，
∴CP的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．
18. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为_______.

【答案】
【解析】
【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：

∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
，
∴△BAD ≌△CAD′(SAS)，
∴BD=CD′，
∠DAD′=90°，
由勾股定理得DD′=，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=
∴BD=CD′=，
故答案为：．

三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19. 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．

（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形；
（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点，请画出平移后的；
（3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 　 　．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）（2，1）
【解析】
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用点P与P′的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点A、B、C的对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）连接A1A2、B1B2、C1C2，它们的交点为对称中心．
【小问1详解】
如图所示，即为所求；
【小问2详解】
∵点P向右平移4个单位，向上平移4个单位得到点P′，
∴△ABC向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ，如图所示：
【小问3详解】
根据图象可知，连接、、后，它们交于点，且点的坐标为（2，1），所以和的对称中心的坐标为（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
20. 新冠肺炎疫情期间，我市防空指挥部想领会自8月1日至8月底各学校教职工介入志愿服务的情况，在全市各学校中随机调查了部分介入志愿者服务的教职工，对他们的志愿服务时间（小时）进行统计，A：0＜x≤30；B：30＜x≤60；C：60＜x≤90；D：90＜x≤120；整理并绘制成两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

（1）这次被抽取的教职工共有 　　人，扇形统计图中，“D：90＜x≤120”所占圆心角的度数是 　　°；
（2）请你将条形统计图补充完整，并在图上标明相应的数据；
（3）若该市共有3000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职工大约有多少人？
【答案】（1）200；72
（2）60，见解析 （3）1500
【解析】
【分析】（1）用A组的人数除以A组所占的比例即可得出总人数；用360°乘D组所占比例即可求出其所占圆心角的度数；
（2）用总人数分别减去其他组的人数，即可得出C组人数，进而补充条形统计图；
（3）利用样本估算总体列式解答即可．
【小问1详解】
解：这次被抽取的教职工共有：（人），“D：90