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盐城市盐都区第一共同体2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）
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这是一份盐城市盐都区第一共同体2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了单选题．，填空题，解答题．等内容，欢迎下载使用。
盐城市盐都区第一共同体2021-2022学年八年级3月月考数学试题
一、单选题．
1. 某校举办了“送福迎新春，剪纸庆佳节”比赛．以下参赛作品中，是中心对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
2. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和为360° B. 二次函数图象经过点
C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7 D. 射击运动员射击一次，命中靶心
3. 长沙网红打卡点铜官窑古镇为迎接“五一”假期新增了骑马、威亚、卡丁车、低空飞行4项互动体验项目，并对部分游客所喜欢的项目进行调查问卷（每个游客均只选择一个喜欢的项目），统计如图，其中喜欢威亚的有80人，则本次调查的游客有（ ）人．
A. 120 B. 160 C. 300 D. 400
4. 如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点处，若，为（ ）
A. 36° B. 144° C. 108° D. 126°
5. 下列命题错误是（ ）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
6. 第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到A1；
第二次：作点A1关于x轴对称点A2；
第三次：将点A2绕点O逆时针旋转90°得到A3；
第四次：作点A3关于x轴的对称点A4…，
按照这样的规律，点A2021的坐标是（ ）
A. （﹣2，1） B. （﹣1，2） C. （﹣1，﹣2） D. （2，﹣1）
7. 如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转120°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积( )
A. 不变 B. 先增大再减小
C. 先减小再增大 D. 不断增大
8. 如图，在中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，，，都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
9. 为了解某市参加中考的32000名学生的体重情况，抽查了其中1600名学生的体重进行统计分析，则样本容量是____________．
10. 某班按课外阅读时间将学生分为3组，第1、2组的频率分别为0.2、0.5，则第3组的频率是 ___．
11. 一只不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到_____球的可能性最大（填球的颜色）．
12. 某农场引进一批新菜种，播种前在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：
试验的菜种数
500
1000
2000
10000
20000
发芽的频率
0.974
0.983
0.971
0.973
0.971
在与实验条件相同情况下，估计种一粒这样的菜种发芽的概率为___________．（精确到0.01）
13. 在平面直角坐标系中，O为原点，将点A（2，-3）绕点O逆时针旋转180°得点A′，则点A′的坐标为______．
14. 如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，，，，则面积为______．
15. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为________．
16. 如图，正方形ABCD的边长是9，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF＝4，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线段AE的长为_____．
三、解答题．
17. 某校数学兴趣小组为了解学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校随机抽取了n名学生进行调查，规定每人必须并且只能在以上给出的五类中选择一类
节目类型
人数
A
20
B
a
C
52
D
80
E
b
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）n＝ ，a＝ ，b＝ ．
（2）在扇形统计图中，求节目类型“C”所占的百分数．
（3）在扇形统计图中，求节目类型“D”所对应的扇形圆心角的度数．
18. 如图，已知，，是平面直角坐标系中三点．
（1）请你画出△ABC关于原点O对称△A1B1C1；
（2）请写出点A关于y轴对称的点A2的坐标： ．若将点A2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，直接写出h的取值范围： ．
19. 儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动．有一种游戏的规则如下：在一个装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，任意摸出一个球，摸到红球就得到一个玩具娃娃．已知参加这种游戏的儿童有4000人次，公园游戏场发放玩具娃娃800个．
（1）求参加此次活动得到玩具娃娃的频率；
（2）袋中约有多少个白球？
20. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形AECF是平行四边形．
21. 如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF、AD．求证：四边形BFCE是菱形．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，求AM的最小值．
23. 如图，已知矩形ABCD，且AD＞AB．
（1）仅用无刻度的直尺和圆规在矩形ABCD的边AD上找一点E，使EC平分∠BED；（不写作法，但要求保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DE的长．
24. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点H．
（1）求证：AD⊥EF；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由．
25. 【理解概念】
一组邻边相等，且这组邻边所夹内角的对角被对角线平分的四边形叫做等平四边形，这条对角线叫做等平对角线．
（1）下列四边形是等平四边形的是 ．（填序号）
①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．
【探索性质】
（2）如图①，在等平四边形中，，平分．若，则与有怎样的数量关系？说明理由．
【解决问题】
（3）如图②，四边形中，，．求证：四边形是等平四边形．
26. 在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，得到△BFE．
（1）点F恰好在AD上；
①如图1，若∠EBC＝15°，则∠DFE＝ ；
②如图2，过点F作FOCD交BE于点O，求证：四边形FOCE为菱形．
（2）如图3，E从C到D的运动过程中．
①∠ABF的角平分线交AD于点N，若BC=2AB，AB=2AN时，请写出DE与EC的数量关系，并说明理由；
②若AB＝4，BC＝7，∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M，E从C到D的过程中，直接写出M运动的路径长 ．
答案与解析
一、单选题．
1. 某校举办了“送福迎新春，剪纸庆佳节”比赛．以下参赛作品中，是中心对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：选项A，B，C中的图形不是中心对称图形，选项D中的图形是中心对称图形，
故选D
【点睛】本题考查的是中心对称图形的识别，中心对称图形的定义：把一个图形绕某点旋转后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形，掌握“中心对称图形的定义”是解本题的关键.
2. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和360° B. 二次函数图象经过点
C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7 D. 射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】D
【解析】
【分析】随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件(简称事件)．
【详解】A、三角形的内角和不可能是360°，是不可能事件；
B、二次函数不经过点（1，2），是不可能事件；
C、骰子不可能出现7点，是不可能事件；
D、射击运动员射击一次命中靶心是随机事件，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查随机事件的定义；可能发生也可能不发生才是随机事件．
3. 长沙网红打卡点铜官窑古镇为迎接“五一”假期新增了骑马、威亚、卡丁车、低空飞行4项互动体验项目，并对部分游客所喜欢的项目进行调查问卷（每个游客均只选择一个喜欢的项目），统计如图，其中喜欢威亚的有80人，则本次调查的游客有（ ）人．
A. 120 B. 160 C. 300 D. 400
【答案】D
【解析】
【分析】利用喜欢威亚的频数80除以喜欢威亚的频率20%，即可得到该校本次调查中，共调查了多少名游客．
【详解】解：本次调查的总人数为80÷20%=400（人），
故选：D．
【点睛】本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
4. 如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点处，若，为（ ）
A. 36° B. 144° C. 108° D. 126°
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再根据三角形内角和定理可得．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=18°，
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-36°-18°=126°；
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．
5. 下列命题错误的是（ ）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定逐项分析即可得．
【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，此项符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定是解题关键．
6. 第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到A1；
第二次：作点A1关于x轴的对称点A2；
第三次：将点A2绕点O逆时针旋转90°得到A3；
第四次：作点A3关于x轴的对称点A4…，
按照这样的规律，点A2021的坐标是（ ）
A. （﹣2，1） B. （﹣1，2） C. （﹣1，﹣2） D. （2，﹣1）
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分别求得点A1（-1，2），A2（-1，-2），A3（2，-1），进而发现规律，可知4次一循环，得到点A2021的坐标与A1相同，即可求解．
【详解】解：由题意，A1（-1，2），A2（-1，-2），A3（2，-1），A4（2，1），…，
4次一循环，2021÷4=505…1，
∴点A2021的坐标与A1相同，
∴点A2021的坐标（-1，2），
故选：B．
【点睛】本题考查旋转变换，规律型问题，解题的关键是找到规律．
7. 如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转120°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积( )
A. 不变 B. 先增大再减小
C. 先减小再增大 D. 不断增大
【答案】A
【解析】
【分析】由正方形的性质得到OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOM=∠CON，证明△OBM≌△OCN（ASA），得到两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积=，由此得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD和OEFG都是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=∠EOG=90°，∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠BOM=∠CON，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴，
∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积=，
故选：A．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理及正方形的性质是解题的关键．
8. 如图，在中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，，，都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据判断出，用等边三角形的性质计算∠DFE＝150°，再通过证明、证明四边形AEFD是平行四边形，作出DF边上的高求面积．
【详解】，，，，
，
，
，
故①正确；
，都是等边三角形，
，
故③正确；
，都是等边三角形，
，，
，
在与中，
，都是等边三角形，
，，
，
在与中，
四边形AEFD是平行四边形；
故②正确．
如图所示，过A作于点G，则，
，
，
；
故④错误．
综上所述，正确的选项为3个．
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟练将各性质定理综合运用．
二、填空题
9. 为了解某市参加中考的32000名学生的体重情况，抽查了其中1600名学生的体重进行统计分析，则样本容量是____________．
【答案】1600
【解析】
【分析】根据样本容量则是指样本中个体的数目，可得答案．
【详解】解：为了解某市参加中考的32000名学生的体重情况，抽查了其中1600名学生的体重进行统计分析．样本容量是1600，
故答案为：1600．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
10. 某班按课外阅读时间将学生分为3组，第1、2组的频率分别为0.2、0.5，则第3组的频率是 ___．
【答案】0.3
【解析】
【分析】利用1减去第1、2组的频率即可得出第3组的频率．
【详解】解：1-0.2-0.5=0.3，
∴第3组的频率是0.3；
故答案为：0.3
【点睛】本题考查了频率，熟练掌握频率的定义和各小组的频率之和为1是解题的关键．
11. 一只不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到_____球的可能性最大（填球的颜色）．
【答案】红
【解析】
【分析】哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大，据此求解即可．
【详解】解：因为红球数量最多，所以摸到红球的可能性最大
故答案为：红．
【点睛】考查了可能性大小的知识，解题的关键是了解“哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大”，难度不大．
12. 某农场引进一批新菜种，播种前在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：
试验的菜种数
500
1000
2000
10000
20000
发芽的频率
0.974
0.983
0.971
0.973
0.971
在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的菜种发芽的概率为___________．（精确到0.01）
【答案】
【解析】
【分析】根据大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得．
【详解】解：在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，试验种子数量越多，用于估计概率越准确，
因为试验的菜种数20000最多，
所以估计种一粒这样的菜种发芽的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，关键要清楚：在大量重复试验时，可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率．
13. 在平面直角坐标系中，O为原点，将点A（2，-3）绕点O逆时针旋转180°得点A′，则点A′的坐标为______．
【答案】（-2，3）
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标，纵坐标互为相反数，可得结论．
【详解】解：∵将点A（2，-3）绕点O逆时针旋转180°得点A'，
∴A，A′关于原点对称，
∴点A'的坐标为（-2，3）．
故答案为：（-2，3）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
14. 如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，，，，则的面积为______．
【答案】27
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得到BC=，OA=，勾股定理求出AB，利用面积公式计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=，OA=，
在△ABC中，，AC=OA+OC=12，
∴，
∴的面积=，
故答案为：27．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理求线段长，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
15. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果．
【详解】解：连接DE．
∵BE的长度固定，
∴要使△PBE的周长最小只需要PB+PE的长度最小即可，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴P′D=P′B，
∴PB+PE的最小长度为DE的长，
∵菱形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∠DAB=60°，
∴△BCD是等边三角形，
又∵菱形ABCD的边长为2，
∴BD=2，BE=1，DE=，
∴△PBE的最小周长=DE+BE=+1，
故答案为：+1．
【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
16. 如图，正方形ABCD的边长是9，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF＝4，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线段AE的长为_____．
【答案】2或8
【解析】
【分析】分两种情况：①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，得出DE＝D′E，求出DF＝D′F＝CD﹣CF＝5，CD′＝，得出BD'＝BC﹣CD'＝6，设AE＝x，则BE＝9﹣x，在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当D′落线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，解法同①．
【详解】解：分两种情况：①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是9，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，
∵CF＝4，
∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，
∴CD′＝，
∴BD'＝BC﹣CD'＝6，
设AE＝x，则BE＝9﹣x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝(9﹣x)2+62，
∴92+x2＝(9﹣x)2+62，
解得：x＝2，
即AE＝2；
②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是9，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，
∵CF＝4，
∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，CD′＝，
∴BD'＝BC+CD'＝12，
设AE＝x，则BE＝9﹣x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝(9﹣x)2+122，
∴92+x2＝(9﹣x)2+122，
解得：x＝8，即AE＝8；
综上所述，线段AE的长为2或8；
故答案为：2或8．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，注意分类讨论．
三、解答题．
17. 某校数学兴趣小组为了解学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校随机抽取了n名学生进行调查，规定每人必须并且只能在以上给出的五类中选择一类
节目类型
人数
A
20
B
a
C
52
D
80
E
b
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）n＝ ，a＝ ，b＝ ．
（2）在扇形统计图中，求节目类型“C”所占的百分数．
（3）在扇形统计图中，求节目类型“D”所对应的扇形圆心角的度数．
【答案】（1）200，40，8
（2）26% （3）144°
【解析】
【分析】（1）从统计表中可得到A人数为20人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的10%，可求出调查人数n的值；再用n乘以B所占百分比可得a的值；用n减去其他类型的人数，可得b的值；
（2）根据百分比=所占人数÷总人数可得答案；
（3）根据圆心角度数=360°×所占百分比，计算即可．
【小问1详解】
由统计表可知，喜爱A类节目的学生有20人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的10%，
本次抽样调查的学生总数n=20÷10%=200（人），
a=200×20%=40，
b=200-（20+40+52+80）=8．
故答案为：200，40，8；
【小问2详解】
节目类型“C”所占的百分数是：×100%=26%；
【小问3详解】
节目类型“D”所对应的扇形圆心角的度数是：360°×=144°．
【点睛】本题考查统计表、扇形统计图等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18. 如图，已知，，是平面直角坐标系中三点．
（1）请你画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）请写出点A关于y轴对称的点A2的坐标： ．若将点A2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，直接写出h的取值范围： ．
【答案】（1）见解析 （2）（2，-3）； 4.5
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）确定点A2的位置，再根据网格结构写出h的取值范围即可．
【小问1详解】
（1）如图所示，A1B1C1即为所求；
【小问2详解】
如图，A2的坐标（2，-3）；中点的纵坐标为，的纵坐标为3，
若将点A2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，
h的取值范围是4.5
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握网格结构的特点准确找出对应点的位置是解题的关键．
19. 儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动．有一种游戏的规则如下：在一个装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，任意摸出一个球，摸到红球就得到一个玩具娃娃．已知参加这种游戏的儿童有4000人次，公园游戏场发放玩具娃娃800个．
（1）求参加此次活动得到玩具娃娃的频率；
（2）袋中约有多少个白球？
【答案】（1）0.2 （2）袋中约有32个白球
【解析】
【分析】（1）根据概率的频率定义进行计算即可；
（2）设袋中共有m个球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答．
【小问1详解】
解：参加此次活动得到玩具娃娃的频率是=0.2；
【小问2详解】
解：设袋中共有m个球，则摸到红球的概率P（红球）=，
则=0.2，
解得：m=40，
所以白球接近40-8=32个．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
20. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由证明即可；
（2）由（1）知，，则，即可得出结论．
【小问1详解】
解：证明：四边形是平行四边形，
，，，
又，分别是，的中点，
，，
，，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．
21. 如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF、AD．求证：四边形BFCE是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理得到四边形BFCE是平行四边形，根据直角三角形的性质得到BE=CE，于是得到四边形BFCE是菱形．
【详解】证明：∵D是边BC的中点，
∴BD=CD，
∵DF=ED，
∴四边形BFCE是平行四边形，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边AC的中点，
∴BE=CE，
∴四边形BFCE是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质定理是解题的关键．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，求AM的最小值．
【答案】AM的最小值为2.4．
【解析】
【分析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF=AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【详解】解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC==10，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，EF与AP互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为AP的中点，
∴AM=AP，
∵AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP=AB×ACBC=6×810=4.8，
∴AP最短时，AP=4.8，
∴当AM最短时，AM=AP=2.4．
即AM的最小值为2.4．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出AP是解决问题的关键．
23. 如图，已知矩形ABCD，且AD＞AB．
（1）仅用无刻度的直尺和圆规在矩形ABCD的边AD上找一点E，使EC平分∠BED；（不写作法，但要求保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DE的长．
【答案】（1）见解析 （2）DE=2
【解析】
【分析】（1）以B点为圆心，BC为半径画弧交AD于E，连接BE、CE，则∠BEC=∠BCE，再根据平行线的性质得到∠BCE=∠DEC，从而可判断EC平分∠BED；
（2）根据勾股定理可得AE的长，从而得DE的长．
【小问1详解】
解：（1）如图，点E为所作；
以B点为圆心，BC为半径画弧交AD于E，连接BE、CE，
∠BEC=∠BCE，
∠BCE=∠DEC，
∠BCE=∠BEC
EC平分∠BED；
【小问2详解】
由（1）和矩形的性质可得：BC=BE=AD=10，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE==8，
∴DE=10-8=2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
24. 如图，AD是△ABC角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点H．
（1）求证：AD⊥EF；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据AAS证明△AED≌△AFD，进而利用全等三角形的性质可得，，根据线段垂直平分线的判定即可得证；
（2）根据正方形的判定解答即可．
【小问1详解】
证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，，
∴AD是线段EF的垂直平分线，
∴AD⊥EF；
【小问2详解】
解：△ABC满足∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形，
理由：∵∠AED=∠AFD=∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AE=AF，
∴矩形AEDF是正方形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是根据AAS证明△AED≌△AFD解答．
25. 【理解概念】
一组邻边相等，且这组邻边所夹内角的对角被对角线平分的四边形叫做等平四边形，这条对角线叫做等平对角线．
（1）下列四边形是等平四边形的是 ．（填序号）
①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．
【探索性质】
（2）如图①，在等平四边形中，，平分．若，则与有怎样的数量关系？说明理由．
【解决问题】
（3）如图②，四边形中，，．求证：四边形是等平四边形．
【答案】（1）②④；（2）∠B+∠ADC=180°；理由见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据”等平四边形“的定义，结合菱形和正方形的性质即可判断菱形和正方形都是等平四边形；
（2）过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD交AD的延长线于F，可证得Rt△CBE≌Rt△CDF（HL），即可得出答案；
（3）过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD交AD的延长线于F，可证得△CBE≌△CDF（AAS），再运用角平分线的判定定理即可证得结论．
【详解】解：（1）∵菱形和正方形都具有四边相等，对角线平分每一组对角的性质，
∴菱形和正方形都是等平四边形，
故答案为：②④；
（2）∠B+∠ADC=180°．理由如下：
如图①，过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD交AD的延长线于F，
∵AC平分∠BAD．CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵∠CEB=∠F=90°，BC=DC，
∴Rt△CBE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠B+∠ADC=180°；
（3）如图②，过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD交AD的延长线于F，
则∠CEB=∠CEA=∠F=90°，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BAD+∠BCD+∠B+∠ADC=360°，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠CDF，
在△CBE和△CDF中，
，
∴△CBE≌△CDF（AAS），
∴CE=CF，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠CAB=∠CAD，
∴AC平分∠BAD，
∵BC=DC，
∴四边形ABCD等平四边形．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形、菱形、矩形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定等知识，熟练掌握全等三角形判定和性质、角平分线性质和判定，理解并运用新定义是解题关键．
26. 在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，得到△BFE．
（1）点F恰好在AD上；
①如图1，若∠EBC＝15°，则∠DFE＝ ；
②如图2，过点F作FOCD交BE于点O，求证：四边形FOCE为菱形．
（2）如图3，E从C到D的运动过程中．
①∠ABF的角平分线交AD于点N，若BC=2AB，AB=2AN时，请写出DE与EC的数量关系，并说明理由；
②若AB＝4，BC＝7，∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M，E从C到D的过程中，直接写出M运动的路径长 ．
【答案】（1）①∠DEF=60°；②见解析
（2）①DE= EC，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）①由翻折知∠FBC=30°，再根据平行线的性质得∠AFB=∠FBC=30°，从而得出答案；
②理由平行线的性质和翻折的性质可知OF=EF，从而得出OF=CE，证明四边形FOCE是平行四边形，再根据CE=EF，即可证明结论；
（2）①延长DG，使DG=CD，过点G作GH⊥BA，交BA的延长线于H，延长BN交HG于M，则四边形BCGH是正方形，设AN=x，则AB=2x，BC=4x，HM=2x，设DE=y，则CE=EF=2x-y，在Rt△MEG中，由勾股定理得，（2x）2+（2x+y）2=（4x-y）2，从而得出x与y的关系，进而解决问题；
②过点M作HGAD，交CD延长线于G，BA延长线于H，作MK⊥AD于K，可证明四边形BCGH为正方形，则MK=3，当点E与D重合时，DG=3，设HM=m，则GM=7-m，MD=4+m，在Rt△MDG中，由勾股定理得，（4+m）2=32+（7-m）2，解方程即可．
【小问1详解】
解：（1）①∵将△BCE沿BE翻折，得到△BFE，
∴∠EBC=∠FBE=15°，∠BFE=∠BCE=90°，
∴∠FBC=30°，
∵ADBC，
∴∠AFB=∠FBC=30°，
∴∠DFE=180°-∠AFB-∠BFE=60°，
故答案为：60°；
②∵将△BCE沿BE翻折，得到△BFE，
∴CE=FE，∠CEB=∠FEB，
∵FOCE，
∴∠FOE=∠CEO，
∴∠FOE=∠FEO，
∴OF=EF，
∴OF=CE，
∴四边形OCEF是平行四边形，
∵CE=EF，
∴四边形OCEF是菱形；
【小问2详解】
①CE=2DE，理由如下：延长DG，使DG=CD，过点G作GH⊥BA，交BA的延长线于H，延长BN交HG于M，
则四边形BCGH是正方形，
∵BC=2AB，AB=2AN，
∴设AN=x，则AB=2x，BC=4x，HM=2x，
∵BH=BC=BF，BM=BM，
∴Rt△HBM≌Rt△FBM（HL），
∴HM=MF=2x，
设DE=y，则CE=EF=2x-y，
在Rt△MEG中，由勾股定理得，
（2x）2+（2x+y）2=（4x-y）2，
解得y=x，
∴DE=x，CE=x，
∴CE=2DE；
②过点M作HGAD，交CD延长线于G，BA延长线于H，作MK⊥AD于K，
则四边形BCGH为矩形，
∵BM平分∠HBF，
∴∠HBM=∠FBM，
∵∠BHM=∠BFM，BM=BM，
∴△HBM≌△FBM（AAS），
∴HB=BF，
∵BC=BF，
∴BH=BC，
∴四边形BCGH为正方形，
∴MK=3，
当点E与D重合时，DG=3，
设HM=m，则GM=7-m，MD=4+m，
在Rt△MDG中，由勾股定理得，
（4+m）2=32+（7-m）2，
解得m=，
∴GM=7-=，
∴当点E从C到D的过程中，点M的运动路径是线段MG，长度为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了是四边形综合，矩形的性质，翻折的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程并熟练掌握基本几何模型是解题的关键．
盐城市盐都区第一共同体2021-2022学年八年级3月月考数学试题
一、单选题．
1. 某校举办了“送福迎新春，剪纸庆佳节”比赛．以下参赛作品中，是中心对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
2. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和为360° B. 二次函数图象经过点
C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7 D. 射击运动员射击一次，命中靶心
3. 长沙网红打卡点铜官窑古镇为迎接“五一”假期新增了骑马、威亚、卡丁车、低空飞行4项互动体验项目，并对部分游客所喜欢的项目进行调查问卷（每个游客均只选择一个喜欢的项目），统计如图，其中喜欢威亚的有80人，则本次调查的游客有（ ）人．
A. 120 B. 160 C. 300 D. 400
4. 如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点处，若，为（ ）
A. 36° B. 144° C. 108° D. 126°
5. 下列命题错误是（ ）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
6. 第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到A1；
第二次：作点A1关于x轴对称点A2；
第三次：将点A2绕点O逆时针旋转90°得到A3；
第四次：作点A3关于x轴的对称点A4…，
按照这样的规律，点A2021的坐标是（ ）
A. （﹣2，1） B. （﹣1，2） C. （﹣1，﹣2） D. （2，﹣1）
7. 如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转120°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积( )
A. 不变 B. 先增大再减小
C. 先减小再增大 D. 不断增大
8. 如图，在中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，，，都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
9. 为了解某市参加中考的32000名学生的体重情况，抽查了其中1600名学生的体重进行统计分析，则样本容量是____________．
10. 某班按课外阅读时间将学生分为3组，第1、2组的频率分别为0.2、0.5，则第3组的频率是 ___．
11. 一只不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到_____球的可能性最大（填球的颜色）．
12. 某农场引进一批新菜种，播种前在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：
试验的菜种数
500
1000
2000
10000
20000
发芽的频率
0.974
0.983
0.971
0.973
0.971
在与实验条件相同情况下，估计种一粒这样的菜种发芽的概率为___________．（精确到0.01）
13. 在平面直角坐标系中，O为原点，将点A（2，-3）绕点O逆时针旋转180°得点A′，则点A′的坐标为______．
14. 如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，，，，则面积为______．
15. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为________．
16. 如图，正方形ABCD的边长是9，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF＝4，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线段AE的长为_____．
三、解答题．
17. 某校数学兴趣小组为了解学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校随机抽取了n名学生进行调查，规定每人必须并且只能在以上给出的五类中选择一类
节目类型
人数
A
20
B
a
C
52
D
80
E
b
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）n＝ ，a＝ ，b＝ ．
（2）在扇形统计图中，求节目类型“C”所占的百分数．
（3）在扇形统计图中，求节目类型“D”所对应的扇形圆心角的度数．
18. 如图，已知，，是平面直角坐标系中三点．
（1）请你画出△ABC关于原点O对称△A1B1C1；
（2）请写出点A关于y轴对称的点A2的坐标： ．若将点A2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，直接写出h的取值范围： ．
19. 儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动．有一种游戏的规则如下：在一个装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，任意摸出一个球，摸到红球就得到一个玩具娃娃．已知参加这种游戏的儿童有4000人次，公园游戏场发放玩具娃娃800个．
（1）求参加此次活动得到玩具娃娃的频率；
（2）袋中约有多少个白球？
20. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形AECF是平行四边形．
21. 如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF、AD．求证：四边形BFCE是菱形．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，求AM的最小值．
23. 如图，已知矩形ABCD，且AD＞AB．
（1）仅用无刻度的直尺和圆规在矩形ABCD的边AD上找一点E，使EC平分∠BED；（不写作法，但要求保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DE的长．
24. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点H．
（1）求证：AD⊥EF；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由．
25. 【理解概念】
一组邻边相等，且这组邻边所夹内角的对角被对角线平分的四边形叫做等平四边形，这条对角线叫做等平对角线．
（1）下列四边形是等平四边形的是 ．（填序号）
①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．
【探索性质】
（2）如图①，在等平四边形中，，平分．若，则与有怎样的数量关系？说明理由．
【解决问题】
（3）如图②，四边形中，，．求证：四边形是等平四边形．
26. 在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，得到△BFE．
（1）点F恰好在AD上；
①如图1，若∠EBC＝15°，则∠DFE＝ ；
②如图2，过点F作FOCD交BE于点O，求证：四边形FOCE为菱形．
（2）如图3，E从C到D的运动过程中．
①∠ABF的角平分线交AD于点N，若BC=2AB，AB=2AN时，请写出DE与EC的数量关系，并说明理由；
②若AB＝4，BC＝7，∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M，E从C到D的过程中，直接写出M运动的路径长 ．
答案与解析
一、单选题．
1. 某校举办了“送福迎新春，剪纸庆佳节”比赛．以下参赛作品中，是中心对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：选项A，B，C中的图形不是中心对称图形，选项D中的图形是中心对称图形，
故选D
【点睛】本题考查的是中心对称图形的识别，中心对称图形的定义：把一个图形绕某点旋转后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形，掌握“中心对称图形的定义”是解本题的关键.
2. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和360° B. 二次函数图象经过点
C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7 D. 射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】D
【解析】
【分析】随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件(简称事件)．
【详解】A、三角形的内角和不可能是360°，是不可能事件；
B、二次函数不经过点（1，2），是不可能事件；
C、骰子不可能出现7点，是不可能事件；
D、射击运动员射击一次命中靶心是随机事件，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查随机事件的定义；可能发生也可能不发生才是随机事件．
3. 长沙网红打卡点铜官窑古镇为迎接“五一”假期新增了骑马、威亚、卡丁车、低空飞行4项互动体验项目，并对部分游客所喜欢的项目进行调查问卷（每个游客均只选择一个喜欢的项目），统计如图，其中喜欢威亚的有80人，则本次调查的游客有（ ）人．
A. 120 B. 160 C. 300 D. 400
【答案】D
【解析】
【分析】利用喜欢威亚的频数80除以喜欢威亚的频率20%，即可得到该校本次调查中，共调查了多少名游客．
【详解】解：本次调查的总人数为80÷20%=400（人），
故选：D．
【点睛】本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
4. 如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点处，若，为（ ）
A. 36° B. 144° C. 108° D. 126°
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再根据三角形内角和定理可得．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=18°，
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-36°-18°=126°；
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．
5. 下列命题错误的是（ ）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定逐项分析即可得．
【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，此项符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定是解题关键．
6. 第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到A1；
第二次：作点A1关于x轴的对称点A2；
第三次：将点A2绕点O逆时针旋转90°得到A3；
第四次：作点A3关于x轴的对称点A4…，
按照这样的规律，点A2021的坐标是（ ）
A. （﹣2，1） B. （﹣1，2） C. （﹣1，﹣2） D. （2，﹣1）
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分别求得点A1（-1，2），A2（-1，-2），A3（2，-1），进而发现规律，可知4次一循环，得到点A2021的坐标与A1相同，即可求解．
【详解】解：由题意，A1（-1，2），A2（-1，-2），A3（2，-1），A4（2，1），…，
4次一循环，2021÷4=505…1，
∴点A2021的坐标与A1相同，
∴点A2021的坐标（-1，2），
故选：B．
【点睛】本题考查旋转变换，规律型问题，解题的关键是找到规律．
7. 如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转120°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积( )
A. 不变 B. 先增大再减小
C. 先减小再增大 D. 不断增大
【答案】A
【解析】
【分析】由正方形的性质得到OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOM=∠CON，证明△OBM≌△OCN（ASA），得到两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积=，由此得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD和OEFG都是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=∠EOG=90°，∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠BOM=∠CON，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴，
∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积=，
故选：A．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理及正方形的性质是解题的关键．
8. 如图，在中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，，，都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据判断出，用等边三角形的性质计算∠DFE＝150°，再通过证明、证明四边形AEFD是平行四边形，作出DF边上的高求面积．
【详解】，，，，
，
，
，
故①正确；
，都是等边三角形，
，
故③正确；
，都是等边三角形，
，，
，
在与中，
，都是等边三角形，
，，
，
在与中，
四边形AEFD是平行四边形；
故②正确．
如图所示，过A作于点G，则，
，
，
；
故④错误．
综上所述，正确的选项为3个．
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟练将各性质定理综合运用．
二、填空题
9. 为了解某市参加中考的32000名学生的体重情况，抽查了其中1600名学生的体重进行统计分析，则样本容量是____________．
【答案】1600
【解析】
【分析】根据样本容量则是指样本中个体的数目，可得答案．
【详解】解：为了解某市参加中考的32000名学生的体重情况，抽查了其中1600名学生的体重进行统计分析．样本容量是1600，
故答案为：1600．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
10. 某班按课外阅读时间将学生分为3组，第1、2组的频率分别为0.2、0.5，则第3组的频率是 ___．
【答案】0.3
【解析】
【分析】利用1减去第1、2组的频率即可得出第3组的频率．
【详解】解：1-0.2-0.5=0.3，
∴第3组的频率是0.3；
故答案为：0.3
【点睛】本题考查了频率，熟练掌握频率的定义和各小组的频率之和为1是解题的关键．
11. 一只不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到_____球的可能性最大（填球的颜色）．
【答案】红
【解析】
【分析】哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大，据此求解即可．
【详解】解：因为红球数量最多，所以摸到红球的可能性最大
故答案为：红．
【点睛】考查了可能性大小的知识，解题的关键是了解“哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大”，难度不大．
12. 某农场引进一批新菜种，播种前在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：
试验的菜种数
500
1000
2000
10000
20000
发芽的频率
0.974
0.983
0.971
0.973
0.971
在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的菜种发芽的概率为___________．（精确到0.01）
【答案】
【解析】
【分析】根据大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得．
【详解】解：在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，试验种子数量越多，用于估计概率越准确，
因为试验的菜种数20000最多，
所以估计种一粒这样的菜种发芽的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，关键要清楚：在大量重复试验时，可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率．
13. 在平面直角坐标系中，O为原点，将点A（2，-3）绕点O逆时针旋转180°得点A′，则点A′的坐标为______．
【答案】（-2，3）
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标，纵坐标互为相反数，可得结论．
【详解】解：∵将点A（2，-3）绕点O逆时针旋转180°得点A'，
∴A，A′关于原点对称，
∴点A'的坐标为（-2，3）．
故答案为：（-2，3）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
14. 如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，，，，则的面积为______．
【答案】27
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得到BC=，OA=，勾股定理求出AB，利用面积公式计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=，OA=，
在△ABC中，，AC=OA+OC=12，
∴，
∴的面积=，
故答案为：27．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理求线段长，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
15. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果．
【详解】解：连接DE．
∵BE的长度固定，
∴要使△PBE的周长最小只需要PB+PE的长度最小即可，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴P′D=P′B，
∴PB+PE的最小长度为DE的长，
∵菱形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∠DAB=60°，
∴△BCD是等边三角形，
又∵菱形ABCD的边长为2，
∴BD=2，BE=1，DE=，
∴△PBE的最小周长=DE+BE=+1，
故答案为：+1．
【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
16. 如图，正方形ABCD的边长是9，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF＝4，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线段AE的长为_____．
【答案】2或8
【解析】
【分析】分两种情况：①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，得出DE＝D′E，求出DF＝D′F＝CD﹣CF＝5，CD′＝，得出BD'＝BC﹣CD'＝6，设AE＝x，则BE＝9﹣x，在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当D′落线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，解法同①．
【详解】解：分两种情况：①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是9，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，
∵CF＝4，
∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，
∴CD′＝，
∴BD'＝BC﹣CD'＝6，
设AE＝x，则BE＝9﹣x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝(9﹣x)2+62，
∴92+x2＝(9﹣x)2+62，
解得：x＝2，
即AE＝2；
②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是9，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，
∵CF＝4，
∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，CD′＝，
∴BD'＝BC+CD'＝12，
设AE＝x，则BE＝9﹣x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝(9﹣x)2+122，
∴92+x2＝(9﹣x)2+122，
解得：x＝8，即AE＝8；
综上所述，线段AE的长为2或8；
故答案为：2或8．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，注意分类讨论．
三、解答题．
17. 某校数学兴趣小组为了解学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校随机抽取了n名学生进行调查，规定每人必须并且只能在以上给出的五类中选择一类
节目类型
人数
A
20
B
a
C
52
D
80
E
b
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）n＝ ，a＝ ，b＝ ．
（2）在扇形统计图中，求节目类型“C”所占的百分数．
（3）在扇形统计图中，求节目类型“D”所对应的扇形圆心角的度数．
【答案】（1）200，40，8
（2）26% （3）144°
【解析】
【分析】（1）从统计表中可得到A人数为20人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的10%，可求出调查人数n的值；再用n乘以B所占百分比可得a的值；用n减去其他类型的人数，可得b的值；
（2）根据百分比=所占人数÷总人数可得答案；
（3）根据圆心角度数=360°×所占百分比，计算即可．
【小问1详解】
由统计表可知，喜爱A类节目的学生有20人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的10%，
本次抽样调查的学生总数n=20÷10%=200（人），
a=200×20%=40，
b=200-（20+40+52+80）=8．
故答案为：200，40，8；
【小问2详解】
节目类型“C”所占的百分数是：×100%=26%；
【小问3详解】
节目类型“D”所对应的扇形圆心角的度数是：360°×=144°．
【点睛】本题考查统计表、扇形统计图等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18. 如图，已知，，是平面直角坐标系中三点．
（1）请你画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）请写出点A关于y轴对称的点A2的坐标： ．若将点A2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，直接写出h的取值范围： ．
【答案】（1）见解析 （2）（2，-3）； 4.5
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）确定点A2的位置，再根据网格结构写出h的取值范围即可．
【小问1详解】
（1）如图所示，A1B1C1即为所求；
【小问2详解】
如图，A2的坐标（2，-3）；中点的纵坐标为，的纵坐标为3，
若将点A2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，
h的取值范围是4.5
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握网格结构的特点准确找出对应点的位置是解题的关键．
19. 儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动．有一种游戏的规则如下：在一个装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，任意摸出一个球，摸到红球就得到一个玩具娃娃．已知参加这种游戏的儿童有4000人次，公园游戏场发放玩具娃娃800个．
（1）求参加此次活动得到玩具娃娃的频率；
（2）袋中约有多少个白球？
【答案】（1）0.2 （2）袋中约有32个白球
【解析】
【分析】（1）根据概率的频率定义进行计算即可；
（2）设袋中共有m个球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答．
【小问1详解】
解：参加此次活动得到玩具娃娃的频率是=0.2；
【小问2详解】
解：设袋中共有m个球，则摸到红球的概率P（红球）=，
则=0.2，
解得：m=40，
所以白球接近40-8=32个．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
20. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由证明即可；
（2）由（1）知，，则，即可得出结论．
【小问1详解】
解：证明：四边形是平行四边形，
，，，
又，分别是，的中点，
，，
，，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．
21. 如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF、AD．求证：四边形BFCE是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理得到四边形BFCE是平行四边形，根据直角三角形的性质得到BE=CE，于是得到四边形BFCE是菱形．
【详解】证明：∵D是边BC的中点，
∴BD=CD，
∵DF=ED，
∴四边形BFCE是平行四边形，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边AC的中点，
∴BE=CE，
∴四边形BFCE是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质定理是解题的关键．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，求AM的最小值．
【答案】AM的最小值为2.4．
【解析】
【分析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF=AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【详解】解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC==10，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，EF与AP互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为AP的中点，
∴AM=AP，
∵AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP=AB×ACBC=6×810=4.8，
∴AP最短时，AP=4.8，
∴当AM最短时，AM=AP=2.4．
即AM的最小值为2.4．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出AP是解决问题的关键．
23. 如图，已知矩形ABCD，且AD＞AB．
（1）仅用无刻度的直尺和圆规在矩形ABCD的边AD上找一点E，使EC平分∠BED；（不写作法，但要求保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DE的长．
【答案】（1）见解析 （2）DE=2
【解析】
【分析】（1）以B点为圆心，BC为半径画弧交AD于E，连接BE、CE，则∠BEC=∠BCE，再根据平行线的性质得到∠BCE=∠DEC，从而可判断EC平分∠BED；
（2）根据勾股定理可得AE的长，从而得DE的长．
【小问1详解】
解：（1）如图，点E为所作；
以B点为圆心，BC为半径画弧交AD于E，连接BE、CE，
∠BEC=∠BCE，
∠BCE=∠DEC，
∠BCE=∠BEC
EC平分∠BED；
【小问2详解】
由（1）和矩形的性质可得：BC=BE=AD=10，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE==8，
∴DE=10-8=2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
24. 如图，AD是△ABC角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点H．
（1）求证：AD⊥EF；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据AAS证明△AED≌△AFD，进而利用全等三角形的性质可得，，根据线段垂直平分线的判定即可得证；
（2）根据正方形的判定解答即可．
【小问1详解】
证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，，
∴AD是线段EF的垂直平分线，
∴AD⊥EF；
【小问2详解】
解：△ABC满足∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形，
理由：∵∠AED=∠AFD=∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AE=AF，
∴矩形AEDF是正方形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是根据AAS证明△AED≌△AFD解答．
25. 【理解概念】
一组邻边相等，且这组邻边所夹内角的对角被对角线平分的四边形叫做等平四边形，这条对角线叫做等平对角线．
（1）下列四边形是等平四边形的是 ．（填序号）
①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．
【探索性质】
（2）如图①，在等平四边形中，，平分．若，则与有怎样的数量关系？说明理由．
【解决问题】
（3）如图②，四边形中，，．求证：四边形是等平四边形．
【答案】（1）②④；（2）∠B+∠ADC=180°；理由见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据”等平四边形“的定义，结合菱形和正方形的性质即可判断菱形和正方形都是等平四边形；
（2）过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD交AD的延长线于F，可证得Rt△CBE≌Rt△CDF（HL），即可得出答案；
（3）过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD交AD的延长线于F，可证得△CBE≌△CDF（AAS），再运用角平分线的判定定理即可证得结论．
【详解】解：（1）∵菱形和正方形都具有四边相等，对角线平分每一组对角的性质，
∴菱形和正方形都是等平四边形，
故答案为：②④；
（2）∠B+∠ADC=180°．理由如下：
如图①，过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD交AD的延长线于F，
∵AC平分∠BAD．CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵∠CEB=∠F=90°，BC=DC，
∴Rt△CBE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠B+∠ADC=180°；
（3）如图②，过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD交AD的延长线于F，
则∠CEB=∠CEA=∠F=90°，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BAD+∠BCD+∠B+∠ADC=360°，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠CDF，
在△CBE和△CDF中，
，
∴△CBE≌△CDF（AAS），
∴CE=CF，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠CAB=∠CAD，
∴AC平分∠BAD，
∵BC=DC，
∴四边形ABCD等平四边形．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形、菱形、矩形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定等知识，熟练掌握全等三角形判定和性质、角平分线性质和判定，理解并运用新定义是解题关键．
26. 在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，得到△BFE．
（1）点F恰好在AD上；
①如图1，若∠EBC＝15°，则∠DFE＝ ；
②如图2，过点F作FOCD交BE于点O，求证：四边形FOCE为菱形．
（2）如图3，E从C到D的运动过程中．
①∠ABF的角平分线交AD于点N，若BC=2AB，AB=2AN时，请写出DE与EC的数量关系，并说明理由；
②若AB＝4，BC＝7，∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M，E从C到D的过程中，直接写出M运动的路径长 ．
【答案】（1）①∠DEF=60°；②见解析
（2）①DE= EC，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）①由翻折知∠FBC=30°，再根据平行线的性质得∠AFB=∠FBC=30°，从而得出答案；
②理由平行线的性质和翻折的性质可知OF=EF，从而得出OF=CE，证明四边形FOCE是平行四边形，再根据CE=EF，即可证明结论；
（2）①延长DG，使DG=CD，过点G作GH⊥BA，交BA的延长线于H，延长BN交HG于M，则四边形BCGH是正方形，设AN=x，则AB=2x，BC=4x，HM=2x，设DE=y，则CE=EF=2x-y，在Rt△MEG中，由勾股定理得，（2x）2+（2x+y）2=（4x-y）2，从而得出x与y的关系，进而解决问题；
②过点M作HGAD，交CD延长线于G，BA延长线于H，作MK⊥AD于K，可证明四边形BCGH为正方形，则MK=3，当点E与D重合时，DG=3，设HM=m，则GM=7-m，MD=4+m，在Rt△MDG中，由勾股定理得，（4+m）2=32+（7-m）2，解方程即可．
【小问1详解】
解：（1）①∵将△BCE沿BE翻折，得到△BFE，
∴∠EBC=∠FBE=15°，∠BFE=∠BCE=90°，
∴∠FBC=30°，
∵ADBC，
∴∠AFB=∠FBC=30°，
∴∠DFE=180°-∠AFB-∠BFE=60°，
故答案为：60°；
②∵将△BCE沿BE翻折，得到△BFE，
∴CE=FE，∠CEB=∠FEB，
∵FOCE，
∴∠FOE=∠CEO，
∴∠FOE=∠FEO，
∴OF=EF，
∴OF=CE，
∴四边形OCEF是平行四边形，
∵CE=EF，
∴四边形OCEF是菱形；
【小问2详解】
①CE=2DE，理由如下：延长DG，使DG=CD，过点G作GH⊥BA，交BA的延长线于H，延长BN交HG于M，
则四边形BCGH是正方形，
∵BC=2AB，AB=2AN，
∴设AN=x，则AB=2x，BC=4x，HM=2x，
∵BH=BC=BF，BM=BM，
∴Rt△HBM≌Rt△FBM（HL），
∴HM=MF=2x，
设DE=y，则CE=EF=2x-y，
在Rt△MEG中，由勾股定理得，
（2x）2+（2x+y）2=（4x-y）2，
解得y=x，
∴DE=x，CE=x，
∴CE=2DE；
②过点M作HGAD，交CD延长线于G，BA延长线于H，作MK⊥AD于K，
则四边形BCGH为矩形，
∵BM平分∠HBF，
∴∠HBM=∠FBM，
∵∠BHM=∠BFM，BM=BM，
∴△HBM≌△FBM（AAS），
∴HB=BF，
∵BC=BF，
∴BH=BC，
∴四边形BCGH为正方形，
∴MK=3，
当点E与D重合时，DG=3，
设HM=m，则GM=7-m，MD=4+m，
在Rt△MDG中，由勾股定理得，
（4+m）2=32+（7-m）2，
解得m=，
∴GM=7-=，
∴当点E从C到D的过程中，点M的运动路径是线段MG，长度为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了是四边形综合，矩形的性质，翻折的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程并熟练掌握基本几何模型是解题的关键．
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