无锡市宜兴市实验中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份无锡市宜兴市实验中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

无锡市宜兴市实验中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题
一、选择题
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A B.
C. D.
2. 代数式，，，中分式有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 分式可变形为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列命题中，不正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
D. 两组对边相等的四边形是平行四边形
5. 如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C’的位置，使得CC'AB，则∠BAB'= （ ）

A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°
6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（ ）

A. 3 B. 5 C. 2.4 D. 2.5
7. 如图，在菱形ABCD中，AB=6cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB．CB方向向点B匀速移动，点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）

A. 1 B. 1.3 C. 1.5 D. 2
8. 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）

A. B. C. D.
9. 如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，OE=，若CEDE=5，则正方形的面积为(　 　)

A 5 B. 6 C. 7 D. 8
10. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为 ( )

A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6
二、填空题
11. 在平行四边形中，若，则_______．
12. 当______时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是______．
13. 已知菱形的面积为24，一条对角线长为6，则其周长等于_____．
14. 下列分式：①；②；③；④，最简分式有______（填序号）．
15. 如图，，E、F分别是AC、BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长为______________.

16. 如图，点O是正方形ABCD的对称中心，射线OM，ON分别交正方形的边AD，CD于E，F两点，连接EF，已知，．

（1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为_________；
（2）线段EF的最小值是_________．
17. 已知无论取何值，分式总有意义，则取值范围是______．
18. 如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____．

三、解答题
19. 计算：
（1）；
（2）+；
（3）﹣．
20. 若a＞0，M＝，N＝，
（1）当a＝1时，M＝_____，N＝_____；当a＝3时，M＝_____，N＝_____；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
21. 如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-6，0)，C(-1，0)．
(1)请直接写出点B关于点A对称的点的坐标；
(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B对应点的坐标；
(3)请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．

22. （1）请用直尺（不带刻度）和圆规在图中作菱形BDEF，要求点D、E、F分别在边BC，AC和AB上（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AB=4，则菱形BDEF的边长为______．

23. 如图，在□ABCD中，直线EF∥BD，并且与CD、CB的延长线分别交于E、F，交AD于H，交AB于G．求证：EG=FH．

24. 如图，中，，AD、AE分别是及其外角角平分线，BE⊥AE．

（1）求证：；
（2）求证：．
25. 如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．

（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．
26. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交CD于点F，
交AE于点O，且BF⊥AE ．

（1）求证：BF＝AE；
（2）连接OD，猜想OD与AB的数量关系，并证明．
27. 【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，E为BC中点，求AE的取值范围．
【解决问题】
（1）小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作AB边上的中点F，连接EF，构造出△ABC的中位线EF，请你完成余下的求解过程．

【灵活运用】
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝8，CD＝6，E、F分别为BC、AD中点，求EF的取值范围．
（3）变式：把图②中的A、D、C变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则EF的取值范围为 ．
【迁移拓展】
（4）如图④，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，E为BC边的中点，F是AC边上一点且EF正好平分△ABC的周长，则EF= ．

28. 如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），点B是x轴的正半轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0）

（1）当t＝6时，点M的坐标是______；
（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；
（3）是否存在点B，使四边形AOBD为矩形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在点B的运动过程中，平面内是否存在一点N，使得以A、B、N、D为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．
答案与解析
一、选择题
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原来的图形重合．
2. 代数式，，，中分式有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：，是分式，
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，注意π不是字母，是常数．
3. 分式可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据分式的性质，分子分母都乘以﹣1，分式的值不变，可得答案：
分式的分子分母都乘以﹣1，得.
故选D．
考点：分式的基本性质．

4. 下列命题中，不正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
D. 两组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理即可作出判断．
【详解】解：A.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，该选项错误，符合题意；
B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，该选项正确，不符合题意；
C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，该选项正确，不符合题意；
D. 两组对边相等的四边形是平行四边形，该选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理，牢记平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键．
5. 如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C’的位置，使得CC'AB，则∠BAB'= （ ）

A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求，即可求出的度数．
【详解】解：∵CC'AB，∠CAB=75°，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角，同时考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关知识推导角之间的关系．
6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（ ）

A. 3 B. 5 C. 2.4 D. 2.5
【答案】A
【解析】
【分析】连接CE，由矩形的性质可得∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，由OE⊥AC，AO＝OC，可知OE垂直平分AC，则可得AE＝CE；设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得关于x的方程，求解即可．
【详解】解：连接CE，如图：

在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，
∴∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+DC2＝CE2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
∴DE的长为3．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
7. 如图，在菱形ABCD中，AB=6cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB．CB方向向点B匀速移动，点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）

A. 1 B. 1.3 C. 1.5 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由题意知道AE=t，CF=2t，连接BD，证明△DEB≌△DFC，得到EB=FC=2t，进而AB=AE+EB=3t=6，进而求出t的值．
【详解】解：连接DB，如下图所示，

∵四边形ABCD为菱形，且∠ADC=120°，
∴∠CDB=60°，
∴△CDB为等边三角形，
∴DB=DC，
又∵△DEF为等边三角形，
∴∠EDF=60°，DE=DF，
∴∠CDB=∠EDF，
∴∠CDB-∠BDF=∠EDF-∠BDF，
∴∠CDF=∠BDE，
在△EDB和△FDC中
，
∴△EDB≌△FDC(SAS)，
∴FC=BE=2t，
∴AB=AE+EB=t+2t=3t=6，
∴t=2．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质等相关知识，关键是能想到连接BD后证明三角形全等，本题是动点问题，将线段长用t的代数式表示，化动为静．
8. 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，当，利用,可得即可证明四边形EFGH是矩形．
【详解】解：∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，
∴，且，且，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴，即，
∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的判定定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，再利用推出．
9. 如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，OE=，若CEDE=5，则正方形的面积为(　 　)

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，因为∠COD=∠CED=90°，可得出O、C、E、D四点共圆，所以∠CEO=∠CDO=45°，已知OE=，可求出ON=NE=2，
可得四边形OMEN是正方形，∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON，根据正方形的性质可得OC=OD；然后利用AAS证明△COM和△DON全等，从而得到CM=DN，所以DE+CE=NE-ND+ME+CM=NE+ME=4，设DE=a，CE=b，得出a+b=4，已知ab=5，可求得，进而求得正方形ABCD的面积．
【详解】如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线N

∵∠COD=∠CED=90°
∴O、C、E、D四点共圆
∴∠CEO=∠CDO=45°
∴∠DEO=45°
∵OE=
∴
∴ON=NE=2
∴四边形OMEN是正方形，
∴∠MON=90°
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，
∴∠COM=∠DON
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD
∵在△COM和△DON中

∴△COM≌△DON，
∴CM=DN，
DE+CE=NE-ND+ME+CM=NE+ME=4
设DE=a，CE=b
∴a+b=4
∵CEDE=5
∴
∴S正方形ABCD=CD2=6
故选：B
【点睛】本题考查了四点共圆的判定及圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，正方形的判定及性质定理，全等三角形的判定及性质．
10. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为 ( )

A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】取MB的中点P，连接FP，EP，DN，由中位线的性质，可得当N从A到B的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为∆EFP，求出当点N与点A重合时，FP的值，以及FP上的高，进而即可求解．
【详解】取MB的中点P，连接FP，EP，DN，
∵FP是∆MNB的中位线，EF是∆DMN的中位线，
∴FP∥BN，FP=，EF∥DN，EF=，
∴当N从A到B的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为∆EFP．
∴当点N与点A重合时，FP===4，
过点D作DQ⊥AB于点Q，
∵AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，
∴AQ=8-5=3，
∴DQ=，
∴当点N与点Q重合时，EF=，EF∥DQ，即：EF⊥AB，即：EF⊥FP，
∴∆EFP中，FP上的高=2，
∴当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积=×4×2=4．
故选A．

【点睛】本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键．
二、填空题
11. 在平行四边形中，若，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得到，和互补，运算求解即可．
【详解】解：∵是平行四边形，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟悉利用平行四边形的性质获取相关信息是解题的关键．
12. 当______时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是______．
【答案】 ①. ≠1 ②. 1
【解析】
【分析】依据分式有意义的条件、分式的值为0的条件，即可得出结论．
【详解】解：∵分式有意义
∴x-1≠0，
解得x≠1，
∴当x≠1时，分式有意义；
∵分式的值为0，
∴，
解得x=1，
故答案为：≠1；1．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件、分式的值为0的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
13. 已知菱形的面积为24，一条对角线长为6，则其周长等于_____．
【答案】20
【解析】
【详解】试题分析：根据面得菱形的另一条对角线为8，则边长为=5，则周长=5×4=20.
考点：菱形的性质.
14. 下列分式：①；②；③；④，最简分式有______（填序号）．
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】根据最简分式的定义逐式分析即可．
【详解】①是最简分式；②=，不是最简分式 ；③=，不是最简分式；④是最简分式．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．
15. 如图，，E、F分别是AC、BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长为______________.

【答案】1
【解析】
【分析】连接DE并延长交AB于H，证明△DCE≌△HAE，根据全等三角形的性质可得DE=HE，DC=AH，则EF是△DHB的中位线，再根据中位线的性质可得答案．
【详解】解：连接DE并延长交AB于H．

∵， ∴∠C=∠A，
∵E是AC中点，
∴AE=EC，
在△DCE和△HAE中，∠C＝∠A，CE＝AE，∠CED＝∠AEH，
∴△DCE≌△HAE（ASA），
∴DE=HE，DC=AH， ∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF=BH，
∴BH=AB-AH=AB-DC=2，
∴EF=1．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形中位线性质，关键是正确画出辅助线，证明△DCE≌△HAE．
16. 如图，点O是正方形ABCD的对称中心，射线OM，ON分别交正方形的边AD，CD于E，F两点，连接EF，已知，．

（1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为_________；
（2）线段EF的最小值是_________．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】（1）连接AO，DO，证明，可得，求出即可求解；
（2）设，则，由勾股定理可得，即可求EF的最小值．
【详解】解：（1）连接AO，DO，

∵，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，O是中心，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案：1；
（2）设，则，
，

在中，，
∴当时，EF有最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
17. 已知无论取何值，分式总有意义，则的取值范围是______．
【答案】m＜﹣4
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：∵总有意义，
∴，
∴，
∴△=16+4m＜0，
解得，m＜﹣4
故答案：m＜﹣4．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件和一元二次方程的判别式，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
18. 如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值．
【详解】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动

将绕点旋转，使与重合，得到，
从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上，
作，则即为的最小值，
作，可知四边形为矩形，
则.
故答案为．

【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键．
三、解答题
19. 计算：
（1）；
（2）+；
（3）﹣．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据分式的基本性质进行约分，化成最简分式即可；
（2）把第二个分式的分母变为相反数，同时在分式前添加负号，即可转化为同分母分式的加法，然后合并同类项、约分，化成最简分式即可；
（3）先把第一个分式的分子、分母进行因式分解，然后约分后，即可转化为同分母分式的加法，然后合并同类项、约分，化成最简分式即可；
【小问1详解】
解：原式＝；
【小问2详解】
解：原式

；
【小问3详解】
解：原式＝

．
【点睛】本题考查了分式的约分和加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
20. 若a＞0，M＝，N＝，
（1）当a＝1时，M＝_____，N＝_____；当a＝3时，M＝_____，N＝_____；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）
（2）M 【解析】
【分析】（1）直接代入计算即可；
（2）利用求差法比较M与N的大小关系，根据分式的加减法运算法则进行计算，最后判断其正负．
【小问1详解】
当a=1时，
当a=3时，
故答案为：
【小问2详解】
M


∵
∴
∴
即
∴M 【点睛】本题考查了分式的加减法和分式大小比较，分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘；对于大小比较问题，方法为：①求商法，②求差法，③平方法等．
21. 如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-6，0)，C(-1，0)．
(1)请直接写出点B关于点A对称的点的坐标；
(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
(3)请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．

【答案】（1）(2，6)；（2）作图见解析，点B'坐标(0，-6)；（3）(-7，3)，(3，3)，(-5，-3)
【解析】
【分析】（1）点B关于点A对称的点的坐标为（2，6）；
（2）分别作出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°后的点，然后顺次连接，并写出点B的对应点的坐标；
（3）分别以AB、BC、AC为对角线，写出第四个顶点D的坐标．
【详解】解：（1）点B关于点A对称的点的坐标为（2，6）；
（2）所作图形如图所示：
，
点B'的坐标为：（0，-6）；
（3）当以AB为对角线时，点D坐标为（-7，3）；
当以AC为对角线时，点D坐标为（3，3）；
当以BC为对角线时，点D坐标为（-5，-3）．
【点睛】本题考查了根据旋转变换作图，轴对称的性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
22. （1）请用直尺（不带刻度）和圆规在图中作菱形BDEF，要求点D、E、F分别在边BC，AC和AB上（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AB=4，则菱形BDEF的边长为______．

【答案】（1）见解析；（2）4

【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质作∠ABC的角平分线与AC的交点即为E点，然后BE的垂直平分线，分别交AB、BC于F、D，即可得到答案；
（2）如图所示，连接DF与BE交于点O，先证，然后证明∠AEB=∠A，得到，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求；

（2）如图所示，设DF与BE交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠FBD=60°，
∴，
∴，
∵∠A=75°，∠ABC=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠ABC=45°，
∴∠AEB=∠EBC+∠C=75°=∠A，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴BD=4，即菱形BDEF的边长为4，
故答案为：4；

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，角平分线的尺规作图，垂直平分线的尺规作图等等，熟知菱形的性质是解题的关键．
23. 如图，在□ABCD中，直线EF∥BD，并且与CD、CB的延长线分别交于E、F，交AD于H，交AB于G．求证：EG=FH．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC根据已知条件即可证得四边形FBDH为平行四边形，故FH=BD，推出四边形BDEG是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∵EF∥BD，
∴四边形FBDH为平行四边形；
∴FH=BD，
∵EF∥BD，AB∥DC，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD=EG，
∴EG = FH.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟记平行四边形的各种判定方法并且熟练运用.
24. 如图，中，，AD、AE分别是及其外角的角平分线，BE⊥AE．

（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）利用角平分线的性质和角之间的关系证明即可；
（2）证明四边形AEBD是矩形，再利用矩形的性质：对角线相等可知．
【小问1详解】
证明：∵AD、AE分别是及其外角的角平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【小问2详解】
证明：∵，AD平分，
∴利用“三线合一”可知，AD是BC边上的高线，
∴，
∵，，
∴四边形AEBD是矩形，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的性质，以及矩形的判定定理和性质，根据角平分线的性质和角之间的关系推出，是证明的关键；利用矩形的判定定理：有三个角等于的四边形为矩形，证明四边形AEBD为矩形是证明的关键．
25. 如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．

（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形性质先证明四边形CDEF是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题；
（2）连接GF，根据菱形的性质证明△CDG≌△CFG，然后根据勾股定理即可解决问题．
【25题详解】
解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CF∥ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC=DE．
∴四边形CDEF是菱形；
【26题详解】
如图，连接GF，

∵四边形CDEF是菱形，
∴CF=CD=5，
∵BC=3，
∴BF=，
∴AF=AB-BF=5-4=1，
在△CDG和△CFG中，
，
∴△CDG≌△CFG（SAS），
∴FG=GD，
∴FG=GD=AD-AG=3-AG，
在Rt△FGA中，根据勾股定理，得
FG2=AF2+AG2，
∴（3-AG）2=12+AG2，
解得AG=．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
26. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交CD于点F，
交AE于点O，且BF⊥AE ．

（1）求证：BF＝AE；
（2）连接OD，猜想OD与AB的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）OD=AB，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质和BF⊥AE，可得∠BAE=∠CBF，从而得到△ABE≌△BCF，即可求证；
（2）延长AD交射线BM于点G，根据△ABE≌△BCF，可得BE=CF，从而得到CF=DF，再由AD∥BC，进而得到∠DGF=∠CBF，可证得△DGF≌△CBF，从而得到DG=BC，进而得到OD为△AOG的中线，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解．
【小问1详解】
证明：在正方形ABCD中，∠ABC=∠C=90°，AB=BC，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵BF⊥AE，
∴∠EOB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF，
∴BF=AE；
【小问2详解】
解：OD=AB，理由如下：
如图，延长AD交射线BM于点G，

由（1）得：△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，
∵E是BC的中点，
∴，
∴CF=DF，
∵AD∥BC，
∴∠DGF=∠CBF，
在△DGF和△CBF中，
∵∠DGF=∠CBF，∠DFG=∠BFC，DF=CF，
∴△DGF≌△CBF，
∴DG=BC，
∴DG=AD，即OD为△AOG的中线，
∵BF⊥AE，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
27. 【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，E为BC中点，求AE的取值范围．
【解决问题】
（1）小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作AB边上的中点F，连接EF，构造出△ABC的中位线EF，请你完成余下的求解过程．

【灵活运用】
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝8，CD＝6，E、F分别为BC、AD中点，求EF的取值范围．
（3）变式：把图②中的A、D、C变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则EF的取值范围为 ．
【迁移拓展】
（4）如图④，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，E为BC边的中点，F是AC边上一点且EF正好平分△ABC的周长，则EF= ．

【答案】（1）详见解析；（2）1＜EF＜7；（3）；（4）EF＝．
【解析】
【分析】（1）依照题意作出图形，利用△AFE中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求解AE边的取值范围；

（2）连接BD，取BD 中点G，连接FG、EG，由E、F分别为BC、AD中点，可得FG＝AB，EG＝DC，同（1）△GEF中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求解EF边的取值范围；
（3）如图，连接BD，取BD的中点H，连接HF，HE，由三角形中位线定理可知，，在△DHE中有，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求得；
（4）在线段CF上取一点M，使得FM=AF，连接BM，取BM的中点N，连接FN，EN，由EF平分三角形ABC周长，可得CM=AB=4，由三角形中位线定理，及∠A=60°，可知NF=NE=2，且∠FNE=120°，作NO⊥EF于O，解△ENF，可得FO=E0=，即可求得EF=．
【详解】（1）解：

∵E 为 BC 中点，F为 AB 中点，
∴EF＝AC，
∵AB＝8，AC＝6，
∴AF＝AB＝4，EF＝AC＝3，
在△AEF中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴4－3＜AE＜4＋3，
即，1＜AE＜7；
（2）解：连接BD，取BD 中点G，连接FG、EG，

∵E、F分别BC、AD中点，
∴FG＝AB，EG＝DC，
∵AB＝8，CD＝6，
∴FG＝4，EG＝3，
在△GEF中，4－3＜EF＜4＋3，
即1＜EF＜7．
（3）如图，连接BD，取BD的中点H，连接HF，HE，

∵E、F分别为BC、AD中点，
∴，
∴在△DHE中，，
即EF的取值范围为，
故答案为：；
（4）在线段CF上取一点M，使得FM=AF，连接BM，取BM的中点N，连接FN，EN，

∴F为线段AM的中点，
∵E为BC中点，
∴FN∥AB，且，EN∥AC，且，BE=EC，
∵∠A＝60°，AB＝4，
∴FN=2，∠FNE=120°，
∵EF正好平分△ABC的周长，
∴，
∴，
∴CM=4，
∴NE=2，
∴△FNE为等腰三角形，且∠NFE=∠NEF=30°，
过点N作NO⊥EF于点O，
则FO=OE=，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，三角形三边的数量关系，以及构造直角三角形求三角边长．根据题目信息，分析线段中点的作用，作出三角形中位线是解此题的关键．
28. 如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），点B是x轴的正半轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0）

（1）当t＝6时，点M的坐标是______；
（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；
（3）是否存在点B，使四边形AOBD为矩形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在点B的运动过程中，平面内是否存在一点N，使得以A、B、N、D为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3），理由见解析
（4）3或8，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用中点坐标公式计算即可．
（2）如图1中，作于，轴于．证明，利用全等三角形性质即可解决问题．
（3）如图2中，存在．由题意当时，可证四边形是矩形，构建方程即可解决问题．
（4）分三种情形：①如图3中，当时，以为对角线可得菱形，此时点在轴上．②如图4中，当时，以为对角线可得菱形．此时点的纵坐标为8．③因为，所以不存在以为对角线的菱形．
【小问1详解】
如图1中，

，，，
，
故答案为：（3，4）；
【小问2详解】
如图1中，作于，轴于．
∵，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
【小问3详解】
存在．
如图2中，作于，轴于．

理由：由题意当时，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
又∵由（2）得，
即：，解得：．
．
【小问4详解】
①如图3中，当时，以为对角线可得菱形，此时点在轴上．作BE⊥AC交于点E，

设，，
∵点M是AB的中点，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
在中，则有，
①②联立，解得：，
，
点的纵坐标为3．
②如图4中，当时，以为对角线可得菱形．此时点的纵坐标为8．

③，
不存在以为对角线的菱形．
综上所述，满足条件的点的纵坐标为3或8．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．