无锡市宜兴市丁蜀实验中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

无锡市宜兴市丁蜀实验中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题

一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列是北京大学、中国科学院大学、中国药科大学和中南大学标志中的图案，其中是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中错误的有（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

3. 已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：

①∴，这与三角形内角和为矛盾

②因此假设不成立．∴

③假设在中，

④由，得，即．

这四个步骤正确的顺序应是（    ）

A. ④③①② B. ③④②① C. ①②③④ D. ③④①②

4. 如图，中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则的度数为（    ）

A. 34° B. 36° C. 72° D. 46°

5. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（  ）

A 20 B. 24 C. 28 D. 30

6. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（　　）

A. 5 B.  C. 4 D. 3

7. 为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中100名学生进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图，已知该校共有1000名学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在8～12小时之间的学生数大约是（　　）

A. 280 B. 100 C. 380 D. 260

8. 如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（　　）

A.  B.  C. 1 D.

9. 如图，在等边三角形ABC中，AB＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，如果点E、F同时出发，当四边形AEFC是平行四边形时，运动时间t的值为(     )

A. 2 s B. 6 s C. 8 s D. 2 s或6 s

10. 如图，分别以直角的斜边AB，直角边AC为边向外作等边和等边，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，，．给出如下结论：

①EF⊥AC；  ②四边形ADFE为菱形；  ③； ④；

其中正确结论的是(      )

A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④

二、填空题：（本题共8小题，每空2分，共16分）

11. 大润发超市对去年全年每月销售总量进行统计，为了更清楚地看出销售总量的变化趋势，应选用________统计图来描述数据.

12. 如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，若CE=4cm，AD=5cm，则平行四边形ABCD的周长是___cm．

13. 已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_____cm2．

14. 如图，点E在平行四边形ABCD的边AD上，且AE＝2ED，M、N分别是BE、CE的中点，连接MN，已知MN＝3，则AE的长是___．

15. 为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼_____条．

16. 两张完全相同的长方形ABCD、EFGH纸条，长、宽分别为12cm、5cm，按如图所示的方式摆放（对角线BD、EG重合），则重叠部分的四边形BPDQ的对角线QP的长是 ______cm．

17. 已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为2，则另一条对角线的长为________．

18. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，若AE＝2，则EF的长为_______．

三、简答题（本题共8题，共74分）

19. 如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C、∠B的度数．

20. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是、、．

（1）画出绕点B逆时针旋转的；

（2）画出关于点O的中心对称图形；

（3）可由绕点M旋转得，请写出点M的坐标：________．

21. 某市环保局为了了解噪声污染情况，相关工作人员在全市噪声测量点中随机调查了部分测量点的噪声声级，将结果分成A、B、C、D、E五组，并绘制成频数分布直方图（如图所示，其中每组含起点值不含终点值）和扇形统计图，已知扇形统计图中圆心角∠α＝36°，∠β＝90°，D、E两组的频数相等．

根据以上信息，请完成下列问题：

（1）本次抽样调查的样本容量是    ；

（2）频数分布直方图中D组的频数是    ；

（3）扇形统计图中的m值是    ．

22. 如图，四边形ABCD平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．

23. 如图，四边形ABCD中，BC∥AF，∠ABC=90°，AD=5，BC=13，E是边CD中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．

（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若BD=BC，求四边形BDFC面积．

24. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别是AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．

（1）求证：BM=MN；

（2）若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．

①求∠BMN的度数；

②求BN的长．

25. 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴交于点．

（1）求直线的函数解析式；

（2）将沿直线翻折得到，使点与点重合，与轴交于点．判断四边形OACB的形状并证明

（3）在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点坐标：若不存在，请说明理由．

答案与解析

一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列是北京大学、中国科学院大学、中国药科大学和中南大学的标志中的图案，其中是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【详解】解：A．不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不是中心对称图形，故选项A不合题意；

B．能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；是中心对称图形，故选项B符合题意；

C．不能找到这样一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C不合题意；

D．不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．

2. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中错误的有（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】A

【解析】

【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题．

【详解】解：四边形是平行四边形，

A、当时，它是菱形，选项不符合题意，

B、当时，它是菱形，选项不符合题意，

C、当时，它是矩形，选项不符合题意，

D、当时，它是矩形，不一定是正方形，选项符合题意，

故选：．

【点睛】本题考查正方形、菱形、矩形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．

3. 已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：

①∴，这与三角形内角和为矛盾

②因此假设不成立．∴

③假设在中，

④由，得，即．

这四个步骤正确的顺序应是（    ）

A. ④③①② B. ③④②① C. ①②③④ D. ③④①②

【答案】D

【解析】

【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．

【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤

1、假设在中，

2、由，得，即

3、，这与三角形内角和为矛盾

4、因此假设不成立．

综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②

故选：D

【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．

4. 如图，中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则的度数为（    ）

A. 34° B. 36° C. 72° D. 46°

【答案】B

【解析】

【分析】由旋转的性质可得AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'，由等腰三角形的性质可求∠ACC'=∠AC'C=72°，即可求解．

【详解】解：∵C′C∥AB，

∴∠C'CA=∠CAB=72°，

∵将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，

∴AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'，

∴∠ACC'=∠AC'C=72°，

∴∠BAB'=∠CAC'=180°-72°×2=36°，

故选：B．

【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．

5. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（  ）

A. 20 B. 24 C. 28 D. 30

【答案】D

【解析】

【分析】直接由概率公式求解即可.

【详解】根据题意得=30%，解得：n=30，

经检验：n=30符合题意，

所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．

故选：D．

【点睛】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算，熟知求概率公式是解答的关键.

6. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（　　）

A. 5 B.  C. 4 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】先根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，进而证明四边形是矩形，可得，当时，取得最小值，即取得最小值，根据等面积法即可求得的值．

【详解】连接，如图，

，，，

，

，

是直角三角形，，

于，于，

，

四边形是矩形，

，

当取得最小值时，取得最小值，

即时，取得最小值，．

取得最小值为．

故选B．

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质，垂线段最短，证明是解题的关键．

7. 为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中100名学生进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图，已知该校共有1000名学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在8～12小时之间的学生数大约是（　　）

A. 280 B. 100 C. 380 D. 260

【答案】C

【解析】

【分析】根据条形统计图中的数据可以计算出统计图中8～12小时的学生数，从而可以估计该校五一期间参加社团活动时间在8～12小时的学生数．

【详解】解：由题意可得，条形统计图中，参加社团活动时间8～12小时的学生有：100−8−24−30＝38（名），

则该校五一期间参加社团活动时间在8～12小时之间的学生数大约是：1000×＝380（名），

故选：C．

【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，根据样本的频数估计总体的频数．

8. 如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（　　）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】过F作FH⊥AE于H,根据矩形的性质得到AB=CD,AB//CD,推出四边形AECF是平行四边形,根据平行四边形的性质得到AF=CE,根据相 似三角形的性质得到,于是得到AE=AF,列方程即可得到结论.

【详解】解：如图：

解:过F作FH⊥AE于H,四边形ABCD是矩形,

AB=CD,AB∥CD,

AE//CF, 四边形AECF是平行四边形,

AF=CE,DE=BF,

AF=3-DE,

AE=

∠FHA=∠D=∠DAF=,

∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90, ∠DAE=∠AFH,

△ADE~△AFH,

AE=AF,

,

DE=,

故选D.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及三角形相似，做合适的辅助线是解本题的关键.

9. 如图，在等边三角形ABC中，AB＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，如果点E、F同时出发，当四边形AEFC是平行四边形时，运动时间t的值为(     )

A. 2 s B. 6 s C. 8 s D. 2 s或6 s

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．

【详解】解：当四边形AEFC是平行四边形时，点F在C的右侧时，

根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，

则CF＝BF−BC＝2t−6（cm），

∵AG∥BC，

∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，

即t＝2t−6，

解得：t＝6；

故选：B．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，弄清题意是解本题的关键，动点问题是中考的热点，应加强动点问题的训练．

10. 如图，分别以直角的斜边AB，直角边AC为边向外作等边和等边，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，，．给出如下结论：

①EF⊥AC；  ②四边形ADFE为菱形；  ③； ④；

其中正确结论的是(      )

A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知先判断，则，得出，由等边三角形的性质得出，从而证得，则，再由，得出四边形为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出，从而得到答案．

【详解】解：是等边三角形，

，，

，

，，

为的中点，

，

，

，

，，

又∵，

，故①正确，

，，

，

是的中点，

，

，，

，故④说法正确；

，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

四边形为平行四边形，

，

四边形不是菱形；

故②说法不正确；

∵四边形为平行四边形，

，

，

，

则，故③说法正确，

综上所述：正确结论的是①③④.

故选．

【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择．

二、填空题：（本题共8小题，每空2分，共16分）

11. 大润发超市对去年全年每月销售总量进行统计，为了更清楚地看出销售总量的变化趋势，应选用________统计图来描述数据.

【答案】折线

【解析】

【详解】试题解析：根据题意，得

要求清楚地表示销售总量的总趋势是上升还是下降，结合统计图各自的特点，应选用折线统计图，

12. 如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，若CE=4cm，AD=5cm，则平行四边形ABCD的周长是___cm．

【答案】28

【解析】

【分析】只要证明AD=DE=5cm，即可解决问题．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD=BC=5cm，CD=AB，

∴∠EAB=∠AED，

∵∠EAB=∠EAD，

∴∠DEA=∠DAE，

∴AD=DE=5cm，

∵EC=4cm，

∴AB=DC=9cm，

∴四边形ABCD的周长=2（5+9）=28（cm），

故答案为：28．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

13. 已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_____cm2．

【答案】96

【解析】

【分析】设两条对角线长分别为3x，4x，然后根据菱形的性质及勾股定理求出对角线的长，最后根据菱形的面积计算公式求解即可．

【详解】解：设两条对角线长分别为3x，4x，由题意得：

菱形的边长为，

根据勾股定理可得，

解得x＝4，

则两条对角线长分别为12cm、16cm，

∴菱形的面积＝12×16÷2＝96cm2．

故答案为96．

【点睛】本题主要考查菱形的性质及面积计算，熟练掌握菱形的性质及面积计算公式是解题的关键．

14. 如图，点E在平行四边形ABCD的边AD上，且AE＝2ED，M、N分别是BE、CE的中点，连接MN，已知MN＝3，则AE的长是___．

【答案】4

【解析】

【分析】由三角形的中位线定理可得BC＝2MN＝6，由平行四边形的性质可得AD＝6，由线段关系可求解．

【详解】解：∵M、N分别是BE、CE的中点，

∴BC＝2MN＝6，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC＝6，

∵AE＝2ED，

∴ ，

故答案为：4．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质和三角形的中位线定理是解题的关键．

15. 为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼_____条．

【答案】20000

【解析】

【详解】试题分析：1000÷=20000（条）．

考点：用样本估计总体．

16. 两张完全相同的长方形ABCD、EFGH纸条，长、宽分别为12cm、5cm，按如图所示的方式摆放（对角线BD、EG重合），则重叠部分的四边形BPDQ的对角线QP的长是 ______cm．

【答案】

【解析】

【分析】由题意得出∠A＝∠F＝90°，AB＝FB，AD＝FD，即可证明△ABD≌△FBD，得到∠ADB＝∠FDB，进而得到DP＝BP，根据AD∥BC，BH∥DF，证四边形BPDQ是菱形，根据勾股定理求出BD，设BP＝DP＝x，则CP＝12﹣x，在Rt△CDP中，由勾股定理得出方程，解方程求出BP，再利用菱形面积的两种求法即可得出答案．

【详解】解：∵四边形ABCD、EFGH是完全相同的矩形，

∴∠A＝∠F＝90°，AB＝FB，AD＝FD，

在△ABD和△FBD中，

，

∴△ABD≌△FBD（SAS），

∴∠ADB＝∠FDB，

∵AB∥CD，DF∥BH，

∴四边形BPDQ是平行四边形，∠ADB＝∠PBD，

∴∠FDB＝∠PBD，

∴DP＝BP，

∴▱BPDQ是菱形，

∵长方形ABCD长、宽分别为12cm、5cm，

∴BD＝＝＝13，

设DP＝BP＝x，则CP＝12﹣x，

在Rt△CDP中，CD2+CP2＝DP2，即52+（12﹣x）2＝x2，

解得：x＝，即BP＝，

∴菱形BPDQ的面积＝BP•CD＝×5＝，

∵菱形BPDQ的面积＝BD•QP，

∴×13•QP＝，

∴QP＝（cm），

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形BPDQ为菱形是解题的关键．

17. 已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为2，则另一条对角线的长为________．

【答案】2或6．

【解析】

【详解】试题分析：因为菱形的一个内角为60°，所以菱形短的对角线与两邻边形成等边三角形，当2为短的对角线长时，菱形边长是2，短的对角线一半是，由勾股定理得较长的对角线一半是3，所以另一条对角线为6；当2为较长的对角线时，其一半是，短的对角线一半就是÷=1，所以另一条对角线长就是2，综上所述，另一条对角线的长是2或6．

考点：1．菱形性质；2．直角三角形计算．

18. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，若AE＝2，则EF的长为_______．

【答案】##

【解析】

【分析】由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF＋∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出△DEF≌△DMF，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝MF；则可得到AE＝CM＝2，正方形的边长为5，用AB−AE求出EB的长，再由BC＋CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM−FM＝BM−EF＝7−x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为MF的长．

【详解】解：∵△ADE逆时针旋转90°得到△CDM，

∴∠A＝∠DCM＝90°，DE＝DM，

∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM＝180°，

∴F、C、M三点共线，

∵∠EDM＝∠EDC＋∠CDM＝∠EDC＋∠ADE＝90°，

∴∠EDF＋∠FDM＝90°，

∵∠EDF＝45°，

∴∠FDM＝∠EDF＝45°，

在△DEF和△DMF中，

，

∴△DEF≌△DMF（SAS），

∴EF＝MF，

设EF＝MF＝x，

∵AE＝CM＝2，且BC＝5，

∴BM＝BC＋CM＝5＋2＝7，

∴BF＝BM−MF＝BM−EF＝7−x，

∵EB＝AB−AE＝5−2＝3，

在Rt△EBF中，由勾股定理得，即，解得：x＝，

∴MF＝，

故答案为：．

【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．掌握旋转前后图形的对应关系，利用数形结合思想与方程思想是解决问题的关键．

三、简答题（本题共8题，共74分）

19. 如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C、∠B的度数．

【答案】∠C=50°，∠B=130°．

【解析】

【分析】根据角平分线的定义得到∠BAD=2∠DAE=50°，再根据平行四边形的邻角互补和平行四边形的对角相等，就可求得∠C和∠B的度数．

【详解】∵∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，

∴∠BAD＝50°．

∴在平行四边形ABCD中，∠C＝∠BAD＝50°，∠B＝180°－∠C＝130°．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，属于基础题目，熟练掌握平行四边形的性质是关键．

20. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是、、．

（1）画出绕点B逆时针旋转的；

（2）画出关于点O的中心对称图形；

（3）可由绕点M旋转得，请写出点M的坐标：________．

【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）

【解析】

【分析】（1）分别确定绕逆时针旋转后的对应点再顺次连接从而可得答案；

（2）分别确定关于原点对称的对称点再顺次连接从而可得答案；

（3）如图，由；是旋转对应点，则到旋转中心的距离相等，到旋转中心的距离相等，可得线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，再根据在坐标系内的位置写出其坐标即可.

【详解】解：（1）如图，是所求作的三角形，

（2）如图，是所求作的三角形；

（3）如图，；是旋转对应点，

到旋转中心的距离相等，到旋转中心的距离相等，

则线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，其坐标为：

【点睛】本题考查的是旋转作图，中心对称的作图，确定旋转中心，掌握旋转的性质是解本题的关键.

21. 某市环保局为了了解噪声污染情况，相关工作人员在全市噪声测量点中随机调查了部分测量点的噪声声级，将结果分成A、B、C、D、E五组，并绘制成频数分布直方图（如图所示，其中每组含起点值不含终点值）和扇形统计图，已知扇形统计图中圆心角∠α＝36°，∠β＝90°，D、E两组的频数相等．

根据以上信息，请完成下列问题：

（1）本次抽样调查的样本容量是    ；

（2）频数分布直方图中D组的频数是    ；

（3）扇形统计图中的m值是    ．

【答案】（1）40；（2）7；（3）30

【解析】

【分析】（1）用A组频数除以A组圆心角占周角的比例即可；

（2）用样本容量减去A、B、C的频数，再除以2即可得出答案；

（3）用C组频数除以样本容量即可得出答案．

【详解】解：（1）本次抽样调查的样本容量为，

故答案：40；

（2）B组人数为，

∴D组的频数为，

故答案为：7；

（3）∵m%＝×100%＝30%，

∴扇形统计图中的m值是30，

故答案为：30．

【点睛】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，解题的关键是利用统计图获取信息，需要仔细观察、分析研究统计图．

22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．

【答案】见解析．

【解析】

【分析】连接AC，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可.

【详解】证明：连接AC，交BD于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD ，

∵BE＝DF，

∴OE=OF .

∴四边形AECF是平行四边形.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定的综合运用.根据条件，灵活选择恰当的方法进行证明，往往能简化证明思路和过程，本题从平行四边形对角线进行证明是最简明的方法.

23. 如图，四边形ABCD中，BC∥AF，∠ABC=90°，AD=5，BC=13，E是边CD中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．

（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若BD=BC，求四边形BDFC的面积．

【答案】（1）见解析；（2）四边形BDFC的面积为156．

【解析】

【分析】(1)根据BC∥DF，利用“AAS”证明△BEC和△FCD全等，可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；

(2)根据BD=BC=13，利用勾股定理可求得AB的长，即可求得四边形BDFC的面积．

【详解】(1)∵BC∥AD， 即BC∥DF，
∴∠CBE=∠DFE，

∵E是线段CD的中点，

∴CE=DE，
在△BEC与△FED中，

，
∴△BEC≌△FED，
∴BE=FE，

∴四边形BDFC是平行四边形；

(2)∵四边形BDFC是平行四边形，

∴DF=BC=13，

∵BC∥AD，∠ABC=90°，

∴∠BAD=90°，

∵BD=BC，

∴BD=BC=13，

在Rt中，

，

，

，

∴．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，确定出△BEC≌△FED是解题的关键．

24. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别是AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．

（1）求证：BM=MN；

（2）若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．

①求∠BMN的度数；

②求BN的长．

【答案】（1）答案见解析   

（2）①∠BMN=90°；②BN=

【解析】

【分析】（1）在△CAD中，由中位线定理得到MNAD，且MN=AD，在Rt△ABC中，因为M是AC的中点，故BM=AC，即可得到结论；

（2）①由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC，得到∠BMC =60°，由平行线性质得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°；②因为∠BMN=90°，由勾股定理得到，BN2=BM2+MN2，再由MN=BM=1，得到BN的长．

【小问1详解】

解：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，

∴MNAD，且MN=AD，

在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，

∴BM=AC，

又∵AC=AD，

∴MN=BM；

【小问2详解】

①∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=30°，

由（1）知，BM=AC=AM=MC，

∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，

∵MNAD，

∴∠NMC=∠DAC=30°，

∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°；

②∵∠BMN=90°，

∴BN2=BM2+MN2，

而由（1）知，MN=BM=AC=×2=1，

∴BN=．

【点睛】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、三角形的外角、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

25. 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）是，定值为6

【解析】

【分析】（1）作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可；

（2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，即：CE+CG＝CE+AE＝AC＝6．

【详解】（1）证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，

∴∠MEN＝90°，

∵点E是正方形ABCD对角线上的点，

∴EM＝EN，

∵∠DEF＝90°，

∴∠DEN＝∠MEF，

∵∠DNE＝∠FME＝90°，

△DEN和△FEM中，

，

∴△DEN≌△FEM（ASA），

∴EF＝DE，

∵四边形DEFG是矩形，

∴矩形DEFG是正方形；

（2）解：CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：

∵正方形DEFG和正方形ABCD，

∴DE＝DG，AD＝DC，

∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，

∴∠CDG＝∠ADE，

在△ADE和△CDG中，

，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴AE＝CG，

∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝是定值．

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．解题的关键是正确作出辅助线．

26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴交于点．

（1）求直线的函数解析式；

（2）将沿直线翻折得到，使点与点重合，与轴交于点．判断四边形OACB的形状并证明

（3）在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）直线l₂的解析式为y=2x－5   

（2）四边形OABC是菱形，证明见解析   

（3）存在，点P的坐标为：（3，－9），（7，－6），（，）

【解析】

【分析】（1）解方程得到A（4，3），待定系数法即可得到结论；

（2）根据勾股定理得到，折叠的性质得到：OB＝OC，OA＝AC，从而有OA＝OB＝BC＝AC，于是得到结论；

（3）如图，过C作CM⊥OB于M，求得CM＝OD＝4，得到C（4，−2），过P1作P1N⊥y轴于N，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．

【小问1详解】

解：∵直线l1：与直线l2：y＝kx＋b相交于点A（a，3），

∴A（4，3），

∵直线交l2交y轴于点B（0，−5），

∴y＝kx−5，

把A（4，3）代入得，3＝4k−5，

∴k＝2，

∴直线l2的解析式为y＝2x−5．

【小问2详解】

解：四边形OABC是菱形，理由如下：

∵，

∴OA=OB，

∵将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB，

∴OB=BC，OA=AC，

∴OA=OB=BC=AC，

∴四边形OABC是菱形．

【小问3详解】

解：如图，过C作CM⊥OB于M，

则CM＝OD＝4，

∵BC＝OB＝5，

∴BM＝3，

∴OB＝2，

∴C（4，−2），

过P1作P1N⊥y轴于N，

∵△BCP是等腰直角三角形，

∴∠CBP1＝90°，

∴∠MCB＝∠NBP1，

∵BC＝BP1，

∴△BCM≌△P1BN（AAS），

∴BN＝CM＝4，

∴P1（3，−9）；

同理可得，P2（7，−6）；

∵，

∴，

∵，

∴四边形是正方形，

∴当时，为的中点，

∴P3（，）；

综上所述，点P的坐标是（3，−9）或（7，−6）或（，）．

【点睛】本题考查了一次函数的综合题，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的求得P点的坐标是解题的关键．