2022-2023学年湖南省长沙市雨花区长郡雨花外国语学校九年级（上）入学数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市雨花区长郡雨花外国语学校九年级（上）入学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共50分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各图表示的函数中是的函数的(    )

A.  B.
C.  D.

2. 如图，点是直线外一点，在上取两点，，分别以，为圆心，，的长为半径作弧，两弧交于点，分别连接，，，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得关于，的二元一次方程组的解是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：
   ；；；；，
   其中所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，四边形的对角线，相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

6. 若正比例函数中随的增大而增大，则一次函数的图象经过(    )

A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限              D. 第二、三、四象限

7. 我市月的某一周每天的最高气温单位：统计如下：，，，，，，，则这组数据的中位数与众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D. 或

10. 函数与的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30分）

11. 函数中，自变量的取值范围是______．
12. 如图，中，、分别是、的中点，在上，且，若，，则______．

13. 已知二次函数为常数，当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为，则的值为______．
14. 函数图象上有两点，，若，则、的大小关系是______．
15. 小红用一根长为的铁丝围成一个长方形，若一边长为，相邻的另一边长为，则与的关系为______．
16. 如图，直线分别与轴、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：
    ；
    直线的解析式为；
    点；
    若线段上存在一点使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，则点的坐标是
    所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
    求证：；
    若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

18. 本小题分
    白银市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．
    求该品牌头盔销售量的月增长率；
    若此种头盔的进价为元个，测算在市场中，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
19. 本小题分
    在平面直角坐标系中，我们将形如，这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
    直线______填写直线解析式上的每一个点都是“互补点”；直线上的“互补点”的坐标为______；
    直线上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
    若函数的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当时，的最小值为，求的值．
20. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上一动点．
    求抛物线的解析式；
    当点在直线上方的抛物线上时，求的最大面积，并直接写出此时点坐标；
    若点在抛物线的对称轴上，以，，，为顶点、为边的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、、、中，对于的一个值，都有个值与其对应，所以不是的函数．
故选：．
找到对于的一个值，都有唯一的值与其对应的图象即可．
本题考查函数的定义：对于的一个值，都有唯一的值与其对应，则是的函数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形对角相等，邻角互补即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于基础题，中考常考题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据函数图可知，
函数和的图象交于点的坐标是，
故关于，的二元一次方程组的解是，
故选：．
根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
 

4.【答案】 

【解析】解：当时，，故正确；
当时，，故正确；
由抛物线的开口向下知，与轴的交点为在轴的正半轴上，
，对称轴为，得，
、同号，即，
，故正确；
对称轴为，
点的对称点为，
当时，，故错误；
时，，又，即，
，故正确．
故选：．
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线当、和时的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式
 

5.【答案】 

【解析】解：能判定四边形是平行四边形的是，，理由如下：
，，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故选：．
由分的四边形是平行四边形即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：正比例函数中随的增大而增大，
，
．
又，，
一次函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：．
利用正比例函数的性质可得出，由，，再利用一次函数图象与系数的关系，即可得出一次函数的图象经过第一、三、四象限．
本题考查了一次函数图象与系数的关系以及正比例函数的性质，牢记“，的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为，，，，，，，
所以这组数据的中位数为，，众数为，
故选：．
将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可．
本题主要考查中位数、众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
 

8.【答案】 

【解析】解：小路宽为，
种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形．
依题意得：．
故选：．
由小路的宽为，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，再利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：把代入得：
，
解得，，
而，
所以．
故选：．
先把代入得，解关于的方程得，，然后根据一元二次方程的定义可确定的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

10.【答案】 

【解析】解：由函数与抛物线可知两函数图象交轴上同一点，抛物线的对称轴为直线，在轴的左侧，
A、抛物线的对称轴在轴的右侧，故选项不合题意；
B、抛物线的对称轴在轴的右侧，故选项不合题意；
C、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象知道，且交于轴上同一点，故选项符合题意；
D、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象知道，故选项不合题意；
故选：．
根据图象与系数的关系，看两个函数的系数符号是否一致，即可判断．
本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，熟练掌握一次函数和二次函数的性质是本题的关键．
 

11.【答案】且 

【解析】解：要使有意义，必须，解得：，
要使有意义，必须，解得：，
所以自变量的取值范围是且，
故答案为：且．
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且，再求出即可．
本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件和分式有意义的条件等知识点，能熟记二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解此题的关键，注意：式子中，，分式中，分母．
 

12.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
，
在中，，是的中点，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，进而求出．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

13.【答案】或 

【解析】

【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
由解析式可知该函数在时取得最小值，时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；根据时，函数的最小值为可分如下两种情况：若，时，取得最小值；若，当时，取得最小值，分别列出关于的方程求解即可．
【解答】解：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
若，时，取得最小值，
可得：，
解得：或舍；
若，当时，取得最小值，
可得：，
解得：或舍；
若时，当时，取得最小值为，不是，
此种情况不符合题意，舍去．
综上，的值为或，
故答案为：或．  

14.【答案】 

【解析】解：，
此函数的对称轴为：，
，两点都在对称轴左侧，，
对称轴左侧随的增大而减小，
．
故答案为：．
根据二次函数的增减性即可判断、的大小关系．
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：一边长为，相邻的另一边长为，周长为，
，
．
故答案为：．
根据长方形的周长得，整理即可．
此题主要考查函数的关系式，解决本题的关键是熟记长方形的周长长宽．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线分别与、轴交于点、，
点，点，
，，
，故正确；
线段沿翻折，点落在边上的点处，
，，，
，
，
，
，
点，
设直线解析式为：，
，
，
直线解析式为：，故正确；
如图，过点作于，

，
，
，
，
当时，，
，
点，故正确；
线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，且，
，
点纵坐标为，故错误，
故答案为：．
先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，可判断；由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可得点坐标，利用待定系数法可求解析式，可判断；由面积公式可求的长，代入解析式可求点坐标，可判断；由菱形的性质可得，可得点纵坐标为，可判断，即可求解．
本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，面积法，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

17.【答案】解：证明：，
，
是的中点，是边上的中线，
，，
在和中

≌，
，
．
四边形是菱形，
证明：，，
四边形是平行四边形，
，是斜边的中线，
，
平行四边形是菱形． 

【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
根据证≌，推出，即可得出答案；
得出四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出，根据菱形的判定推出即可．
 

18.【答案】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
设该品牌头盔的实际售价为元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：不合题意，舍去，，
答：该品牌头盔的实际售价应定为元． 

【解析】设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔月份及月份的月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
直线上的每一个点都是“互补点”；
设直线上的“互补点”的坐标为，
，解得，
直线上的“互补点”的坐标为，
故答案为：；；

假设直线上存在“互补点”，
则由题意得：，
解得：，
直线上有“互补点”，点的坐标为；

设“互补点”的坐标为，
由题意可知，方程有唯一解，
整理得：，且．
即，
整理得：．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，取得最小函数值．
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，解得；
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，
整理得：，显然无解；
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，
整理得：，
解得，．
，
．
综上所述，的值为或．
根据“互补点”的定义即可求解；
假设直线上存在“互补点”，由题意可列出关于的方程，解这个方程即可；
根据题意列出关于的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得关于的二次函数，将此函数化为顶点式再由二次函数的增减性进行分类讨论即可求解．
此题是二次函数综合题，主要考查了新定义、解方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系以及二次函数的增减性，对“互补点”的理解以及分类讨论的运用是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：抛物线与轴交于，两点，
，
，
抛物线的解析式为；

如图，
由知，抛物线的解析式为，
令，则，
，
设直线的解析式为，
点，
，
，
直线的解析式为，
过点作轴交于，
设，
，
，
，
当时，的最大面积为，此时，点的坐标为；

能是平行四边形；
如图，由知，抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为，
设点，，
假设存在以，，，为顶点、为边的四边形是平行四边形，
当四边形是平行四边形时，
点，，

，
，
当四边形是平行四边形时，
点，，

，
，
即：满足条件的点或． 

【解析】将点，的坐标代入抛物线解析式中求解，即可求出答案；
过点作轴交于，先求出点的坐标，进而求出直线的解析式，设出点的坐标，进而表示出点的的坐标，最后用，即可求出答案；
先求出抛物线的对称轴，设出点的坐标，再分两种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可求出答案．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标系中三角形面积的求法，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．