2022-2023 数学浙教版新中考精讲精练 考点07一元二次方程

考点07一元二次方程

考点总结

1．一元二次方程的定义：

两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2次  ，这样的方程叫做一元二次方程．我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为已知数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．

2．一元二次方程的解法：

一元二次方程的解法有 开平方法，配方法，公式法，因式分解法四种.

(1)开平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用开平方法．

(2)配方法：一般步骤：①化二次项系数为1；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化为(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用开平方法求出方程的解．

(3)公式法：求根公式x＝(其中≥0)．

(4)因式分解法：一般步骤：①将方程右边化为零；②将方程化为A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A＝0，B＝0，即可解方程．

3．一元二次方程根与系数的关系：

（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac

①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根．

②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根．

③当Δ＜0时，方程没有实数根．

（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系：设方程的两个根为，则，

4．一元二次方程的实际应用：

常见的等量问题：

(1)平均增长率(下降率)问题：

如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为a(1±x)n＝b．

(2)利润问题：

利润＝售价－成本，利润率＝×100%，

销售价＝(1＋利润率)×进货价．

(3)利息问题：

利息＝本金×利率×时间，本息和＝本金＋利息．

(4)面积问题：

如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求 面积．

设通道的宽为x，则S空白＝(a－x)(b－x)．

真题演练

一、单选题

1．（2021·浙江台州·中考真题）关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ）

A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4

2．（2021·浙江杭州·中考真题）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（    ）

A．和

B．和

C．和

D．和

3．（2021·浙江丽水·中考真题）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·浙江新昌·一模）如图，一次函数与y轴相交于点，与轴相交于点，在直线上取一点（点不与，重合），过点作轴，垂足为点，连结，若的面积恰好为，则满足条件的点有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．（2021·浙江柯桥·一模）利用函数知识对关于代数式的以下说法作出判断，则正确的有（　　）

①如果存在两个实数，使得，则

②存在三个实数，使得

③如果，则一定存在两个实数，使

④如果，则一定存在两个实数，使

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．（2021·浙江·温州绣山中学二模）如图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图"，四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，若，则AB的长为（    ）

A． B． C．3 D．

7．（2021·浙江北仑·一模）双十一来临前，某商场将一件衬衫的价格以一个给定的百分比提升，双十一那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格为原价的84%，则这个给定的百分比为（    ）

A．16% B．36% C．40% D．50%

8．（2021·浙江·一模）已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（  ）

A．5 B．7 C．12 D．﹣7

9．（2021·浙江温州·二模）若关于的方程的两个根为，，则关于的方程的两个根为（    ）

A．     B．   

C．     D．   

10．（2021·浙江杭州·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标． 反比例函数（常数，）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是_______．

12．（2021·浙江丽水·中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：

结合他们的对话，请解答下列问题：

（1）当时，a的值是__________．

（2）当时，代数式的值是__________．

13．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．

14．（2021·浙江鹿城·二模）某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则___________cm．

15．（2021·浙江诸暨·一模）已知双曲线与直线y=2x交于点A，B，与另一直线y=kx交于点C，D，其中点A，点C在第一象限．当以A，B，C，D为顶点的四边形的面积为6时，点C的横坐标为____________．

三、解答题

16．（2021·浙江金华·中考真题）背景：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线上取点，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小李测得．

探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．

（1）求k的值．

（2）设点的横坐标分别为，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了时“Z函数”的图象．

①求这个“Z函数”的表达式．

②补画时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．

③过点作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．

17．（2021·浙江·中考真题）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．

（1）如图1，过点作轴于点，连结．

①若，求证：四边形是平行四边形；

②连结，若，求的面积．

（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．

18．（2021·浙江嘉兴·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．