高中数学第四章 三角恒等变换3 二倍角的三角函数公式3.1 二倍角公式练习题

【基础】3.1 二倍角公式-2课时练习

一．填空题

1．若，则__________．

2．已知，则________.

3．将化简为（，，）的形式为______.

4．若函数在区间内恰有2019个零点，则________

5．中，，，，则______.

6．若，则的值等于______．

7．已知，且，则__________．

8．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转后经过点，则的值是____________.

9．已知，若，则＝_________________ .

10．函数的最大值为______.

11．已知，则的值是_______.

12．若，则________.

13．若，则__________.

14．

若，则___________.

15．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则=___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.

详解：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.

2．【答案】

【解析】利用同角三角函数的基本关系．诱导公式，以及三角函数在各个象限中的符号，求得的值，再利用二倍角正切公式求出．

详解：解：，且，

，，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查同角三角函数的基本关系．诱导公式，以及二倍角公式的应用，属于中档题．

3．【答案】

【解析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解.

详解：

故答案为：

【点睛】

本题考查二倍角公式及辅助角公式，属于基础题.

4．【答案】

【解析】根据零点的定义可知，方程，即

在内有有2019个根，显然不满足方程，所以

令，再研究直线与函数的交点个数，即可解出．

详解：令，即有，因为不满足方程，所以，令，∴．∵函数在上递增，在上递增，由图象可知，直线与函数的图象至少有一个交点．

当时，直线与函数的图象只有一个交点，此时，在一个周期内的上有两个解，所以在区间内不可能有奇数个解；

当时，同理可得，在区间内不可能有奇数个解；

当时，直线与函数的图象有两个交点，一个，一个，所以在一个周期内，有两个解，有两个解，所以在区间内不可能有奇数个解；

当时，直线与函数的图象有两个交点，一个，一个，所以在一个周期内，有两个解，有一个解，即一个周期内有三个解，所以，即．

当时，同理可得，．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查根据函数的零点个数求参数，二倍角公式的应用，考查转化思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用，属于较难题．

5．【答案】

【解析】根据，得到的值，再由余弦定理，得到的值.

详解：因为，

所以，

在中，，，

由余弦定理得

.

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查二倍角的余弦公式，余弦定理解三角形，属于简单题.

6．【答案】6

【解析】利用二倍角公式展开后，约分得到结果.

详解：

本题正确结果：

【点睛】

本题考查三角关系式的化简求值，属于基础题.

7．【答案】

【解析】分析：根据的值得到的值，再根据二倍角公式得到的值．

详解：因此且，故，

所以，故填．

点睛：三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法．辅助角公式（或公式的逆用）．角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）．升幂降幂法．

8．【答案】

【解析】结合三角函数的定义可求，，然后由，代入即可求解．

详解：由题意可得，，，

．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了三角函数的定义及诱导公式及二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．

9．【答案】

【解析】由化简可得解.

详解：,

原式可化为，

即，

,,

,

,

.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了二倍角公式及同角的三角函数关系，属于基础题.

10．【答案】1

【解析】用诱导公式和二倍角公式化简函数，然后由余弦函数性质得出结论．

详解：，最大值为1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查诱导公式和余弦的二倍角公式，考查余弦函数性质，解题关键是正确应用诱导公式化简．

11．【答案】

【解析】由得出，可求出的值，代入，可以得出答案．

详解：因为，分子分母同除以，得

解得， 所以 .

故答案为：．

【点睛】

本题考查了三角函数的化简，以及二倍角的正切公式，属于基础题．

12．【答案】

【解析】直接利用二倍角公式计算得到答案.

详解：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了二倍角的计算，意在考查学生的计算能力.

13．【答案】

【解析】 由正弦函数的倍角公式和三角函数的基本关系式，

得，

又因为，则，即.

14．【答案】

【解析】

由

则，

故答案为：

15．【答案】

【解析】由利用二倍角的余弦公式和同角公式可得，再根据三角函数的定义可得且，进一步可得的值.

详解：因为，所以，

所以，所以，所以，所以

因为，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了三角函数的定义，属于基础题.