高中北师大版 (2019)第四章 三角恒等变换3 二倍角的三角函数公式3.1 二倍角公式习题

【特供】3.1 二倍角公式-1同步练习

一．填空题

1．函数的振幅为______；将函数的图象右移个单位长度后，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小正值为______.

2．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆的交点坐标是，则________

3．已知是第三象限角，，则______；______．

4．已知，则的值为_______.

5．若，则__________.

6．若，则的值是     ．

7．若，，则______.

8．已知，则______．

9．已知，，则______.

10．若，则________.

11．已知，则__________．

12．已知函数，其，_____.

（1）写出函数的一个周期（不用说明理由）；

（2）当时，求函数的最大值和最小值.

从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，

注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分.

13．___________；_______________．

14．已知，则_________.

15．已知锐角满足，则的值为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】     

【解析】先利用二倍角和辅助角公式整理得到振幅，再利用左加右减得到，又利用为偶函数得出，对取值即可得结论.

详解：，

故振幅为；

函数的图象右移个单位长度，

，

又函数为偶函数，

所以，

，

当时，即为的最小正值.

故答案为：；.

【点睛】

本题主要考查利用二倍角和辅助角公式化简三角函数，求振幅和的问题.属于较易题.

2．【答案】

【解析】直接利用单位圆求出三角函数的值，进一步利用三角函数关系式的变换求出结果．

【详解】

角的终边与单位圆的交点坐标是，，

所以，，

所以．

故答案为：.

【点睛】

本题考查单位圆中三角函数的定义．同角三角函数的基本关系．二倍角公式，考查函数与方程思想．转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．

3．【答案】     

【解析】用诱导公式求，用二倍角公式求，注意确定的范围．

详解：，

，∴．

∵是第三象限角，∴是第二或第三象限角．

若是第二象限角，则，，

此时，不满足，∴是第三象限角．

∴，∴．

故答案为：；．

【点睛】

本题考查诱导公式，考查二倍角公式，解题时要注意确定角的范围，能确定函数值的正负．

4．【答案】

【解析】首先分子和分母上下同时除以，求得，再利用二倍角公式求解.

详解：时，等式不成立，

当时，分子和分母上下同时除以，得，

解得：

.

故答案为：

【点睛】

本题考查二倍角的正切公式，已知的齐次方程求，重点考查公式和计算，属于基础题型.

5．【答案】

【解析】 由正弦函数的倍角公式和三角函数的基本关系式，

得，

又因为，则，即.

6．【答案】

【解析】

考点：二倍角公式

7．【答案】

【解析】先由已知，利用及两角和的正切公式算得，再利用二倍角公式计算即可得到答案.

详解：由已知，，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查三角恒等变换中的给值求值问题，涉及到两角和的正切公式．二倍角公式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

8．【答案】

【解析】根据，利用诱导公式得到，解得，再代入求解.

详解：因为，

所以，

解得，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

9．【答案】

【解析】先求得的值，然后利用同角三角函数的基本关系式求得的值.

详解：依题意，，

则，解得，

所以.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正切公式，考查二倍角公式，属于中档题.

10．【答案】

【解析】利用二倍角的余弦公式得出，然后在代数式上除以化为有关角的弦的二次分式齐次式，并在分式的分子和分母中同时除以，可转化为关于的代数式进行计算.

详解：由题意可得，故答案为.

【点睛】

本题考查二倍角的余弦公式以及弦化切思想的应用，弦化切思想主要应用于以下两个方面：

（1）当分式为关于角的次分式齐次式时，可在分子分母中同时除以，实现弦化切；

（2）当代数式是关于角的二次整式时，可先除以化为关于角的二次分式齐次式，然后分子分母中同时除以，可实现弦化切.

11．【答案】

【解析】

12．【答案】若选①（1）；（2）最小值，最大值；若选②（1），（2）最大值，最小值.

【解析】（1）结合所选选项，然后结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求；

（2）由已知角x的范围，然后结合正弦函数的性质即可求解.

详解：解：选①，（1）因为，

，

故函数的周期；

（2）因为，所以，

当即时，函数取得最小值，当即时，函数取得最大值，

选②，（1）

，

，

故函数的一个周期，

（2）由可得，

时即时，函数取得最大值，

当时即时，函数取得最小值.

【点睛】

此题考查二倍角公式及辅助角公式的应用，考查正弦函数性质的应用，考查计算能力，属于中档题

13．【答案】     

【解析】第一个空，根据二倍角的正弦公式转化为30°的正弦值可得答案；第二个空，根据同角公式和二倍角的正弦公式可得答案.

详解：，

.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.

14．【答案】

【解析】根据正切二倍角公式,代入即可求解.

详解：由正切的二倍角公式,代入即可求解.

.

故答案为:

【点睛】

本题考查了正切函数而倍加公式的简单应用,属于基础题.

15．【答案】

【解析】利用二倍角的正弦．余弦公式结合弦化切思想可得出关于的二次方程，可解出正数的值，然后利用两角差的正切公式可求得的值.

详解：，，

即，即，

整理得，

为锐角，所以，解得，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用二倍角公式以及两角差的正切公式求值，利用弦化切思想求出的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.