2022-2023学年山东省临沂市沂水县第四中学高一上学期第一次月考数学试题含答案

2022-2023学年山东省临沂市沂水县第四中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．下列各式中关系符号运用正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.

【详解】根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；

根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；

根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.

故选：C.

2．命题“，”的否定是（    ）

A． ， B． ，

C． ， D．，

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定直接得出答案.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，

所以命题“，”的否定是为：，，

故选：D.

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据“”和“”的逻辑推理关系，即可判断答案.

【详解】由可以推出，但反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选:A

4．“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．或

【答案】B

【解析】首先根据的解集为得到，再根据必要不充分条件即可得到答案.

【详解】不等式的解集为等价于的解集为.

所以，解得.

所以的一个必要不充分条件是.

故选：B

【点睛】本题主要考查必要不充分条件，同时考查二次不等式恒成立问题，属于简单题.

5．下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】根据不等式的性质，对四个选项一一验证：

对于A：利用不等式的可乘性的性质进行判断；

对于B：取进行否定；

对于C：利用不等式的可乘性的性质进行证明；

对于D：取进行否定.

【详解】对于A：当时，若取，则有.故A不正确；

对于B：当时，取时，有.故B不正确；

对于C：当，两边同乘以，则.故C正确；

对于D：当，取时，有.故D不正确.

故选：C.

【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；

（2）判断不等式成立的解题思路：

①取特殊值进行否定；②利用不等式的性质直接判断.

6．已知，，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围.

【详解】由已知条件可得，故.

故选：D.

7．已知时，与在同一点取得相同的最小值，那么当时，的最大值是（    ）

A． B．4 C．8 D．

【答案】B

【解析】先由基本不等式判断在处取得最小值，且最小值为3，再根据已知条件建立方程组，解得，最后求函数在上的最大值.

【详解】解：因为，所以、，则，

当且仅当即时，取等号，

所以在处取得最小值，且最小值为3.

因为与在上同一点取得相同的最小值，

所以在处取得最小值，且最小值为3，

所以，解得，所以

因为，所以在处取得最大值.

所以在上的最大值为：.

故选：B

【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最小值、根据二次函数的最值求函数的解析式、求二次函数在指定区间的最大值，是中档题.

8．《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】计算出和，由可得出合适的选项.

【详解】由图形可知，，，

由勾股定理可得，

在中，由可得.

故选：D.

【点睛】本题考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题.

二、多选题

9．已知集合，若，则的取值可以是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】AB

【分析】根据并集的结果可得，即可得到的取值；

【详解】解：因为，所以，所以或；

故选：AB

10．设M、N是两个非空集合，定义M⊗N＝{（a，b）|a∈M，b∈N}．若P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，则P⊗Q中元素的个数不可能是（    ）

A．9 B．8 C．7 D．6

【答案】BCD

【分析】根据定义，直接写出P⊗Q中元素的个数．

【详解】解：因为P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，

所以a有3种选法，b有3种取法，

可得P⊗Q中元素为.

所以P⊗Q中元素的个数是9（个）．

故选：BCD．

11．已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】利用特殊值判断A，利用基本不等式判断B、C、D.

【详解】解：对于A：当时，满足，但是，故A错误；

对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确；

对于C：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确；

对于C：因为，所以，，

所以，

当且仅当时取等号，故D正确；

故选：BCD

12．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．的解集为或

【答案】ABC

【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项.

【详解】由不等式和解集的形式可知，

，且方程的实数根为或，

那么，所以，

所以，且，故ABC正确；

不等式，

即，解得:,

所以不等式的解集为，故D错误.

故选：ABC

三、填空题

13．的最小值为          .

【答案】

【解析】由，化简，再根据基本不等式，即可得解.

【详解】由，

可得：，

当且仅当，即，时取等号，

故的最小值为，

故答案为：.

【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了化简计算能力，属于基础题.

14．已知集合，若，则          .

【答案】1或2；

【解析】由，可得或，注意要满足集合元素的互异性，即可得解.

【详解】由，，

若，，，

此时，符合题意；

若，则，，

当时，，不符题意，

当时，，符合题意，

综上可得：或.

故答案为：1或2.

15．已知、为不相等的实数，记，，则与的大小关系为      ．

【答案】/

【分析】利用作差法可得出与的大小关系.

【详解】因为，则，

所以，，故.

故答案为：.

16．若且，则的最大值是            ．

【答案】7

【分析】把表达为与的线性关系，结合与求出最大值.

【详解】，则，解得：

即，因为且，所以，故，故的最大值为7

故答案为：7

四、解答题

17．已知不等式的解集为，不等式的解集为.

(1)求；

(2)若不等式的解集为，求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，分别求得集合，结合集合交集的运算，即可求解；

（2）根据题意，得到即和时方程的两根，列出方程组求得的值，结合一元二次不等式的解法，即可求解.

【详解】（1）解：由不等式，即，解得，即，

又由，解得，即，

根据集合交集的运算，可得.

（2）解：由题意得，不等式的解集为，

即和时方程的两个实数根，

可得，解得，

所以不等式，即为，即，

因为，所以不等式的解集为，

即不等式的解集为.

18．（1）设，求的最小值；

（2）设正数满足，求的最小值.

【答案】（1）5；（2）4.

【分析】（1）根据题意，配凑可得，利用基本不等式，即可得答案.

（2）由题意，根据基本不等式中“1”的妙用，即可求得答案.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为5；

（2）正数满足，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为4.

19．在①，，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答，

已知集合，，，若 ，求的值及.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分，

【答案】答案见解析

【分析】先求出集合，若选①，结合，，可判断出，，再求出对应值，验证合理性即可；若选②，则，再求出对应值，即可求解

【详解】解：选①，

由题意可得，.

因为，

所以.

因为，

所以，

所以，即，

即，解得或.

当时，，符合题意，

此时，；

当时，，

此时，，与矛盾，

所以不符合题意.

综上，，；

选②，

由题意可得，.

因为，

所以.

所以，即，

即，解得或.

当时，，则；

当时，，则.

综上，当时， ={-3，-1，2，4}；

当时， .

20．已知非空集合，．

(1)若，求；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由交集、补集的运算求解即可；

（2）转化为集合间关系后列式求解.

【详解】（1）当时，，，

则或,

；

（2）是非空集合，“”是“”的充分不必要条件，则是Q的真子集，

所以且与不同时成立，解得，

故a的取值范围是.

21．已知不等式>0()．

（1）解这个关于 的不等式；

（2）若当 时不等式成立，求 的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2） ．

【分析】（1）根据同号得正异号得负，转化为 ，讨论二次项系数，解出不等式的解集；

（2）根据不等式成立，得到关于 的不等式，求出 的范围.

【详解】解（1）原不等式等价于．

①当 时，由 ，得．

②当 时，不等式可化为 ，

解得 或  ．

③当 时，不等式可化为．

若 ，即 ，则 ；

若，即a＝－1，则不等式的解集为空集；

若，即a<－1，则．

综上所述，当 时，不等式的解集为 ；

当 时，不等式解集为 ；

当 时，不等式的解集为；

当 时，不等式的解集为；

当 时，不等式的解集为 ．

（2）∵当 时不等式成立，

∴ ，则 ，

∴ ，即 的取值范围为 ．

22．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3米，AD＝2米.

（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？

（2）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值.

【答案】（1）；（2）当DN的长度为米时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为24平方米.

【分析】（1）设DN的长为x()米，则|AN|＝(x＋2)米,根据比值相等可得，再由矩形面积公式得矩形面积，然后解不等式可得结果；

（2）利用基本不等式可求得最值.

【详解】（1）设DN的长为x()米，则|AN|＝(x＋2)米.

因为，所以，

 所以矩形AMPN的面积为,

由，得，解得或，

所以DN的长的取值范围是(单位：米)，

（2）矩形花坛的面积为y＝，当且仅当，即时，等号成立，

所以当DN的长度为米时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为24平方米.

【点睛】本题考查了基本不等式的实际应用，属于中档题.