2022-2023学年湖北省十堰市普通高中六校协作体高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省十堰市普通高中六校协作体高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由集合B的描述求集合，应用集合的交集运算求.

【详解】解：由得，解得，所以，

又，所以，

故选：D

2．命题的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用全称命题的否定解答即可.

【详解】因为命题，

所以命题的否定形式为.

故选：C.

3．设p：x<3，q：-1<x<3，则p是q成立的

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果.

【详解】∵，∴，但，∴是成立的必要不充分条件，故选C.

【点睛】本题主要考查充分、必要条件的判断.熟记概念即可，属于常考题型.

4．已知，且，则有（    ）

A．最小值25 B．最大值50

C．最大值25 D．最小值50

【答案】C

【分析】利用基本不等式即可得解.

【详解】因为，，

所以，

当且仅当且，即时，等号成立，

故有最大值25.

故选：C.

5．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合文氏图、补集和交集的知识确定正确答案.

【详解】文氏图中阴影部分表示的集合为.

故选：D

6．设为实数，且，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】对于A，利用不等式两边同乘一个负数，不等号改变的性质即可得证；对于BCD，举反例排除即可.

【详解】因为，

对于A，因为，所以，故A正确；

对于B，令，则，所以，故B错误；

对于C，令，则，所以，故C错误；

对于D，令，则，所以，故D错误.

故选：A.

7．下列不等式中正确的是（    ）

A． B．的最小值为2 C． D．

【答案】D

【分析】利用特殊值判断AC，再由换元法及对勾函数的单调性判断B，根据均值不等式判断D.

【详解】当时，不成立，故A错误；

，令，则在上单调递增，故，故B错误；

当时，不成立，故C错误；

因为，当且仅当时等号成立，故D正确.

故选：D

8．集合或，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分与两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可；

【详解】解：∵，

∴①当时，即无解，此时，满足题意.

②当时，即有解，当时，可得，

要使，则需要，解得.

当时，可得，要使，则需要，解得，

综上，实数的取值范围是.

故选：B.

二、多选题

9．下列命题中正确的有（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．是的必要不充分条件

C．是的必要不充分条件

D．已知，则是的充要条件

【答案】ACD

【分析】对A，由或即可判断；

对B，由即可判断；

对C，由即可判断；

对D，由，，即，即可判断

【详解】对A，或，故“”是“或” 的充分不必要条件，A对；

对B，，故是的充要条件，B错；

对C，，故是的必要不充分条件，C对；

对D，，由，即，故是的充要条件，D对.

故选：ACD

10．已知实数，满足，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据不等式的性质判断．

【详解】因为，，

所以，则A正确.

因为，

所以，

所以，则B错误.

当时，；

当时，；

当时，.故，则C正确.

因为，

所以.

当时，；

当时，；

当时，.故，则D正确.

故选：ACD．

11．已知，关于一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】ABC

【分析】利用对应二次函数的性质，结合题设不等式解集仅有3个整数可得求a的范围，即知其可能值.

【详解】由开口向上且对称轴为，

∴要使题设不等式解集有且仅有3个整数，则，解得，

∴的可能值A、B、C.符合.

故选：ABC.

12．若x，y满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．

【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；

由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；

因为变形可得，设，所以，因此

，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．

故选：BC．

三、填空题

13．已知集合，则A的真子集个数为__________．

【答案】

【分析】利用子集个数的计算公式求得A的子集个数，再结合真子集的概念即可求解.

【详解】因为中有4个元素，

所以A的子集个数为，

而由真子集不含集合本身，

所以A的真子集个数为.

故答案为：.

14．若正数满足，则的最小值____________．

【答案】

【分析】由题知，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.

【详解】解：因为正数满足，

所以，，

所以，，

当且仅当，即时等号成立，

所以，的最小值为.

故答案为：

15．命题“”是假命题，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【详解】命题“”是假命题，则“”是真命题，

所以，解得.

故答案为.

16．已知，关于的不等式恰有四个整数解，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】通过分类讨论表示出不等式的解集，再根据恰有四个整数解得到关于的不等式，求得的取值范围．

【详解】不等式可化为：

当时，解得，所以不等式的解集是，不符合题意；

当且时，方程有两个不等的实根

当时，，且，

所以不等式的解集是，不符合题意；

当时，，且，

所以不等式的解集是，

∵时，，即，

又∵关于的不等式恰有四个整数解，

∴，即，结合，解得．

综上，的取值范围是．

故答案为：．

四、解答题

17．已知集合，集合．

(1)求集合B；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解分式不等式即可求得集合.

（2）解一元二次不等式即可求得集合，再求补集和交集即可.

【详解】（1）因为，所以，

即，即，

解得：，所以

（2）解得：

，

或，

18．已知全集，或，.

（I）当时，求，，；

（II）若，求实数a的取值范围.

【答案】（I），或，；（II）或

【解析】（I）利用集合的交并补运算的定义求解即可；

（II），即，列不等式可得实数a的取值范围．

【详解】（I）当时，或，，

则，或，

，；

（II），即

则或，即实数a的取值范围是或

19．已知：，:.

(1)当时，求实数的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【分析】(1)将代入即可求解；(2)首先结合已知条件分别求出命题和的解，写出，然后利用充分不必要的特征即可求解.

【详解】(1)由题意可知，，解得，

故实数的取值范围为；

(2)由，解得或，

由，解得，

故命题：或；命题：，

从而：或，

因为是的充分不必要条件，

所以或或，

从而，解得，

故实数的取值范围为.

20．设函数.

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）若，且存在，使成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由不等式的解集得相应二次方程的两根，由韦达定理可求得；

（2）由得，问题可转化为存在，使得成立.，不等式可以成立，时由二次不等式有解可得的范围．

【详解】解：（1）由题意可知：方程的两根是，1

所以

解得

（2）由得

存在，成立，即使成立，

又因为，代入上式可得成立.

当时，显然存在使得上式成立；

当时，需使方程有两个不相等的实根

所以

即

解得或

综上可知的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，解题关键是掌握“三个二次”的关系．对一元二次不等式的解集，一元二次方程的根，二次函数的图象与性质的问题能灵活转化，熟练应用．解题中注意不等式的解区间的端点处的值是相应二次方程的根，是二次函数图象与轴交点横坐标．

21．求下列函数的最值

(1)若正数，满足，求的最小值．

(2)求函数的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用即可求解；

（2）利用换元法结合基本不等式即可求解.

【详解】（1）因为，所以，

因此，

当且仅当且，即时，等号成立，

所以的最小值为.

（2）因为，所以令，则，

因此，

当且仅当，即时，等号成立，即当时，等号成立，

所以的最小值为.

22．国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．

（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？

（2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种．

① 每日进行定额财政补贴，金额为2300元；

② 根据日加工处理量进行财政补贴，金额为．

如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？

【答案】（1）加工处理量为吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；（2）选择两种方案均可，理由见解析.

【解析】（1）根据条件写出每吨厨余垃圾的平均成本表达式，利用基本不等式求解出其最小值，并判断处理吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态；

（2）根据两种补贴方式分别列出企业日获利的函数表达式，并求解出最大值，将最大值进行比较确定出所选的补贴方式.

【详解】解：（1）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为.

又.

当且仅当，即吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低.

因为，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；

（2）若该企业采用第一种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得

因为,所以当吨时，企业最大获利为850元.

若该企业采用第二种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得

因为,所以当吨吨时, 企业最大获利为850元.

结论：选择方案一，因为日加工处理量处理量为70吨时，可以获得最大利润；选择方案二，日加工处理量处理量为90吨时，获得最大利润，能够为社会做出更大贡献；由于最大利润相同，所以选择两种方案均可.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.