2022-2023学年辽宁省六校协作体高一上学期10月联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年辽宁省六校协作体高一上学期10月联考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
2．命题：“存在实数，使得”的否定形式是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即得.
【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题：“存在实数，使得”的否定形式是，.
故选：B.
3．命题：“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可得，，进而即得.
【详解】由题可知，，
所以，，又，
所以.
故选：B.
4．方程组，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求解方程组可得，代入求解即可.
【详解】由题意，将方程组的两式相加可得：，即，，
则.
故选：C
5．已知对任意的实数，，代数式恒成立，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先把等式右边合并同类项，再根据等式恒成立对照列式即可求解．
【详解】解：，
对任意恒成立，
，
解得：，
∴ ，．
故选：A．
6．设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由交集的概念求解
【详解】由得，当，时
若，可得满足条件的有，
故，
故选：D
7．已知关于的方程的两根为，，且两根的平方和比两根之积大40，则值为（ ）
A．或18B．2或C．D．
【答案】C
【分析】根据韦达定理列方程，结合判别式即得.
【详解】因为关于的方程的两根为，，
则，即，
，
因为，
所以，
所以，
即
解得或（舍），
所以.
故选：C.
8．对于任意两个数，（，），定义某种运算“”如下：
①当或时，；
②当或时，.
则集合的子集个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据新定义确定集合中元素个数后可得子集个数．
【详解】当都是偶数或都是奇数时，，则或或或或或或或或，
当是偶数，是奇数时，，或，
当是奇数，是偶数时，，或，
所以集合中含有13个元素，它的子集个数为．
故选：C
二、多选题
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．B．“且”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．若，，则
【答案】AC
【分析】根据集合的关系可判断A，根据充分条件，必要条件的定义可判断BC，根据不等式的性质及作差法可判断D.
【详解】因为或，
所以，故A正确；
由“且”可推出“”，但由“”推不出“且”，
所以“且”是“”的充分不必要条件，故B错误；
由“”可推出“”，故“”是“”的充分条件，故C正确；
若，，，则，即，故D错误.
故选：AC.
10．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，的最小值为2B．当时，的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为3
【答案】ABD
【分析】利用均值不等式及其成立的条件可判断ABC，利用对勾函数的单调性可判断D.
【详解】对于A中，当时，，当且仅当时，等号成立，所以A正确；
对于B中，函数，当即时等号成立，所以B成立；
对于C中，当时，函数无最小值，所以C不正确；
对于D中，函数，
令，所以，由对勾函数的性质，在单调递增，可得其最小值为3，所以D正确．
故选：ABD.
11．，，且，，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】由不等式的性质判断选项ABD，利用基本不等式“1”的代换可判断C，进而可得解.
【详解】对于A，，，故A错误；
对于B，，，，，故B正确；
对于C，，，又，故等号不成立，所以，故C正确；
对于D，，且当时，，即，故D正确；
故选：BCD
12．设，关于，的方程组，下列命题中是真命题的是（ ）
A．存在，使得该方程组有无数组解；B．对任意，该方程组均有唯一一组解；
C．对任意，使得该方程组有无数组解；D．存在，该方程组均有唯一一组解.
【答案】AD
【分析】根据二元一次方程组有解的条件判断即可
【详解】A．二元一次方程组有无数组解的条件是两方程相同，
所以，此时方程为，使方程组有无数组解，故本选项符合题意；
B．把代入得：，
所以方程组要有唯一解必须满足，故本选项不符合题意；
C．由选项A可知，只有时，方程组才有无数组解，故本选项不符合题意；
D．由选项B可知，只要，也即存在a，使得方程组只有唯一解，故本选项符合题意．
故选：AD．
三、填空题
13．已知，，全集，则_________.（用区间表示）
【答案】
【分析】先求解二次不等式和绝对值不等式化简集合，再利用集合的交集和补集运算计算即可.
【详解】由题意，，
，故，
则.
故答案为：
14．现在要用一段长为的篱笆，围成一个一边靠墙的矩形菜园，已知墙长.要使这个矩形菜园的面积最大，则面积的最大值为_________.
【答案】
【分析】设矩形菜园的长为，宽为，结合题干条件，面积，利用二次函数的性质求最大值即可.
【详解】由题意，设矩形菜园的长为，宽为，，
故，
矩形菜园的面积
为开口向下的二次函数，且对称轴为，
故当时，.
故答案为：
15．小李在阅读教材时，看到“任意有理数可以写成两个整数的比.即，，且使”.小李思考：整数和有限小数可化为分数，如：；；那么无限循环小数如何化成分数呢？小李想到如下方法：将化成分数，可设其小数部分为，即，两边同乘10可得到：，即，解方程可得，所以.应用小李的方法，则的分数形式的结果为_________.（化成最简分数，即分子分母的最大公约数为1）
【答案】
【分析】由题可得，进而可得，即得.
【详解】设的小数部分为，则，
两边同乘100可得，即，
所以，所以.
故答案为：.
四、双空题
16．已知关于的不等式的解集为且，则_________，的最小值为_________.
【答案】 2 4
【分析】由题可得，从而得出的关系，然后利用基本不等式即得.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以，
所以，又，，
因为
当且仅当时取等号，
所以的最小值为
故答案为：2；.
五、解答题
17．集合，
(1)当时，求
(2)问题：已知 ，求的取值范围
从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）
① ② ③
【答案】(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【分析】（1）化简集合，根据并集的定义求解；
（2）化简所选条件，结合集合的包含关系列不等式求的取值范围
【详解】(1)因为，所以
时，
所以
(2)选①：由题意，
时，解得；
时，，解得，
综上
选②：由题意，
时，解得；
时，，解得，
综上；
选③：时，解得；
时，，解得；
综上
18．已知集合，集合.
(1)当a=1时，求，；
(2)设a>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】(1)化简集合A，B，再利用交集、并集的定义直接计算得解.
(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件可得集合BA，再利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.
【详解】(1)当a=1时，，，
所以，.
(2)因为a>0，则，由(1)知，，
因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，于是得BA，则有，解得，
所以实数a的取值范围是.
19．（1）求不等式的解集；
（2）求不等式的，（其中）的解集.
【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.
【分析】（1）由题可得，进而即得；
（2）由题可得，然后分，，讨论结合二次不等式的解法即得.
【详解】（1）由，可得，
所以，
解得且，
所以不等式的解集为；
（2）因为，，
，
当时，，所以，
即不等式的解集为；
当时，不等式的解集为R；
当时，由可得，
，，
所以不等式的解集为.
20．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
【答案】(1)400；
(2)不能获利，至少需要补贴35000元.
【分析】(1)每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本；
(2)写出该单位每月的获利f(x)关于x的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.
【详解】(1)由题意可知：，
每吨二氧化碳的平均处理成本为：
，
当且仅当，即时，等号成立，
∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；
(2)该单位每月的获利：
，
因，函数在区间上单调递减，
从而得当时，函数取得最大值，即，
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.
21．（1）已知，，，用反证法证明：、中至少有一个大于等于0；
（2）已知不等式对于，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）利用反证法进行证明；（2）利用分离参数法得到，令，得到，对任意恒成立，即可求解.
【详解】（1）假设a、b中没有一个大于等于0，即，，则有，
又，，，则，
这与假设所得结论矛盾，因此，假设不成立，
所以，a、b中至少有一个大于等于0.
（2）因为，所以由得，
令，由，得，即，则原式，对任意恒成立，
所以，又，所以.
22．已知关于的不等式的解集为；
（1）若，求的取值范围；
（2）若存在两个不相等负实数、，使得，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，满足：“对于任意，都有，对于任意的，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，
【分析】（1）讨论二次项系数和不等于0两种情况，当不等式的解集为时，的取值范围；（2）根据不等式的解集形式可知，求的范围；（3）根据题意判断不等式的解集，讨论的情况，根据不等式的解集情况判断是否存在.
【详解】（1）当时，或
当时，恒成立，
当时，不恒成立，舍去，
当时，

解得 或，
综上可知或；
（2）根据不等式解集的形式可知或，
不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根，
即有两个不相等的负根，
即 ，解得 ，
综上可知：；
（3）根据题意可知，得出解集，，
当时，解得或 ，
当时，恒成立，不满足条件，
当时，不等式的解集是，满足条件；
当时，此时一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；
当时，此时一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；
综上，满足条件的的值为3.
【点睛】本题考查了含有字母的不等式恒成立和解集形式的问题，前两问属于基础问题，意在考查分类讨论和转化，计算能力，第3问属于推理，判断，证明问题，关键是读懂题，根据解集满足的条件确定，.