2022-2023学年黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数性质确定集合，然后由交集定义计算．

【详解】由题意，所以．

故选：C．

2．下列各组函数中为同一函数的是（    ）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】B

【分析】同一函数的定义是两个函数有相同的定义域和表达式，对选项中各式分别求出定义域和化简后的解析式，对比可得是否为同一函数

【详解】选项A, 的定义域是, 的定义域是, 两个函数对应关系不相同, 所以不是同一个函数, 选项A错误;

选项B, 的定义域是, 的定义域是, 两个函数对应关系也相同, 所以是同一个函数, 选项B正确;

选项C, 的定义域是, 的定义域是, 定义域不同, 不是同一个函数, 选项C错误;

选项D, 的定义域是, 的定义域是, 定义域不同, 不是同一个函数, 选项D错误.

故选：B.

3．设，则的值为（    ）

A．12 B．14 C．18 D．20

【答案】B

【分析】根据分段函数的定义计算．

【详解】．

故选：B．

4．已知函数，若，则（    ）

A．-7 B．-3 C．3 D．7

【答案】B

【分析】利用奇函数的性质即得.

【详解】设，则，即，故．

故选：B

5．偶函数的定义域为，当时，是增函数，则、、的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分析出函数在上的单调性，可得出，比较、、的大小关系，即可得出结论.

【详解】因为函数是偶函数且在上为增函数，故函数在上为减函数，

所以，，

故选：D．

6．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（    ）

A．10 B．12 C．14 D．16

【答案】B

【分析】由题意可得，，进而利用基本不等式，即可得出结论．

【详解】由题意，，，

可得，，

当且仅当时等号成立，

所以此三角形面积的最大值为12．

故选：．

7．由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区（    ）

A．5千米 B．6千米 C．7千米 D．8千米

【答案】A

【分析】设供热站应建在离社区x千米处，由题意可得自然消费和供热费，根据题中数据，可求得，即可得两项费用之和表达式，结合基本不等式，即可得答案.

【详解】设供热站应建在离社区x千米处，则自然消费，供热费，

由题意得：当时，，，

所以，

所以，

所以两项费用之和，

当且仅当，即时等号成立，

所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处.

故选：A

8．给定函数对于用表示中的较小者，记为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先把写成分段函数的形式，再求最大值即可.

【详解】解：令，即,解得,

所以，

当时，，

当或时，,

所以函数的最大值为3，

故选：．

二、多选题

9．下面命题为真命题的是（    ）

A．设，则“”是“”的既不充分也不必要条件

B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件

C．“”是“为单元素集”的充分而不必要条件

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】BCD

【分析】A 由，则都不为0则可判断命题；B结合韦达定理即可判断命题；C根据方程根的个数求出参数即可判断；D结合不等式的性质以及解分式不等式即可判断.

【详解】A若，，则；若，则都不为0，则“”是“”的必要不充分条件；故A为假命题；

B若二次方程有一正根一负根，则两根之积为负，即，从而，故“”是“二次方程有一正根一负根”的必要条件，

若，则，即方程有两根且两根之积为负，所以二次方程有一正根一负根，故“”是“二次方程有一正根一负根”的充分条件，综上“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件，故B为真命题；

C因为为单元素集，若，则符合题意；若，则，则，则符合题意；综上：为单元素集，则或2，因此“”是“为单元素集”的充分而不必要条件，故C是真命题；

D因为，所以，但是若，则或，则“”是“”的充分不必要条件，故D是真命题，

故选：BCD.

10．下列命题，其中正确的命题是（    ）

A．函数在上单调递增

B．函数在上是减函数

C．函数的单调区间是

D．已知在上是增函数，若，则有

【答案】AD

【分析】根据函数单调性的定义和复合函数单调性法则依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，函数的对称轴为，开口向上，所以在上单调递增，故正确；

对于B选项，函数在上不具有单调性，故错误；

对于C选项，解不等式得，函数得定义域为，故错误；

对于D选项，由得，由于在上是增函数，故，所以，故正确.

故选：AD

11．设正实数a，b满足，则（    ）

A．有最小值4 B．有最大值

C．有最大值 D．有最小值

【答案】ACD

【分析】根据基本不等式结合不等式的性质判断．

【详解】因为且，

所以，当且仅当时等号成立，即的最大值为，

，A正确；

，B错误；

，C正确；

，D正确．

故选：ACD．

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

12．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且.设，，，垂足为，则该图形可以完成的无字证明为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果．

【详解】解：根据图形，利用射影定理得：，

由于：，

所以：．

由于，

所以

所以由于，

整理得：．

故选：．

【点睛】关键点点睛：射影定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

三、填空题

13．已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】求出二次函数的对称轴，即可得的单增区间，即可求解.

【详解】函数的对称轴是，开口向上，

若函数在区间是单调递增函数，

则，

故答案为：．

14．已知则的取值范围为____________.

【答案】

【分析】令，列方程组求出，再利用不等式的性质即可求出的取值范围．

【详解】解：令，

则，

，解得，

，

，

，

两不等式相加可得，

即的取值范围为．

故答案为：．

【点睛】本题考查不等式性质的应用，关键是利用待定系数法将用表示出来，是一道基础题．

15．函数的最小值为___________.

【答案】9

【分析】由题意得，原函数表达式可化为关于的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案.

【详解】因为，则，

所以

，

当且仅当即时等号成立，

∴已知函数的最小值为9.

故答案为：9.

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题.

四、双空题

16．已知函数奇函数，当时，，则时，______，若，则的值为______.

【答案】         

【分析】已知时，，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式，根据可求.

【详解】设，则，

所以，

又函数为奇函数，

所以，

即时，，

又，

所以，

解得.

故答案为：；

五、解答题

17．已知集合，集合

（1）当时，求，；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）当时，求集合，再求集合的交并补集；（2）讨论 和两种情况讨论当时，求参数的取值范围.

【详解】（1）时，，,

或，

（2）由，当时，，解得：

当时，，解得：

或，无解

综上可得：

【点睛】易错点睛：根据集合的运算结果求参数或是根据集合的包含关系求参数时，容易忽略空集的情况，这一点需注意.

18．设或.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）设，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）依题意可得，即可求出参数的取值范围；

（2）依题意可得，对分两种情况讨论，与，分别求出参数的取值范围，最后再取并集；

【详解】解：（1）∵，∴，解得，故实数的取值范围是  

（2）依题意，                                                         

当时，，解得，满足                         

当时，由，解得或                

综上可得，所求实数的取值范围是或

【点睛】本题考查必要不充分条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

19．已知正实数x，y满足.

（1）求xy的最大值；

（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据直接求解出的最大值，注意取等条件；

（2）利用“”的代换结合基本不等式求解出的最小值，再根据求解出的取值范围.

【详解】（1），所以，解得，

当且仅当取等号，∴的最大值为.

（2），

当且仅当，取等号，

∴，解得.

即a的取值范围是.

20．已知函数．

（1）若关于x的不等式的解集为，求的值；

（2）当时，解关于x的不等式．

【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为.

【解析】根据一元二次不等式解法可知1，2为方程的两个根，然后利用韦达定理求解即可；

化简，讨论a的取值分别求解不等式即可．

【详解】由条件知，关于x的方程的两个根为1和2，

所以

解得．

当时，，即，

当时，即时，解得或；

当时，即时，解得；

当时，即时，解得或．

综上可知，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

【点睛】方法点睛：解一元二次不等式的一般步骤为：（1）化不等式为的形式；（2）求判别式的值；（3）如果，利用公式求解；如果，画图求解.

21．已知函数，

（1）若恒成立，求的范围．

（2）求的最小值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用分离参数法，结合基本不等式，并根据不等式恒成立的意义求解；

（2）根据对称轴与区间中点的位置分类讨论，结合二次函数的图象和性质求得.

【详解】解：（1），，，，

，当且仅当时成立，∴，

．

（2）当即时，；

当即时，，

综上，．

22．已知函数是定义在上的奇函数，且

(1)求的解析式

(2)用定义证明在上是增函数

(3)解不等式

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据奇函数的性质和所给的条件，代入函数解析式即可；

（2）不妨假设 ，判断 的符号即可；

（3）根据 是奇函数，并是增函数的特点，根据函数定义域即可求出t的范围.

【详解】（1）由函数

是定义在上的奇函数，得，即，

又∵，解得，

∴；

（2）设，，且，

则，

∵，，，，

∴，即，

∴在上是增函数；

（3）由为上的奇函数，如等价于．

则由在上是增函数，可得，

解得，

即不等式的解集为；

综上，，的解集为.