2022-2023学年黑龙江省佳木斯市第十二中学（佳木斯市建三江第一中学）高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省佳木斯市第十二中学（佳木斯市建三江第一中学）高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求再与进行交集运算即可求解.

【详解】因为全集，集合，

所以，

因为，

所以，

故选：B.

2．下列函数在上是增函数的有（    ）个

①；②；③；④.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】结合函数的单调性进行分析，由此确定正确选项.

【详解】函数的定义域为，不符合题意.

函数在上递增，符合题意.

函数的对称轴为，不符合题意.

函数的对称轴为，不符合题意.

所以一共有个.

故选：A

3．已知函数则等于（     ）

A．4 B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据分段函数的定义域，先求得，再求即可.

【详解】因为函数

所以，

所以，

故选：D

4．若，且，则的最大值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用基本不等式可求得的最大值.

【详解】由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.

因此，的最大值为.

故选：D.

5．下列函数为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由函数的奇偶性的定义，计算与比较，可得结论.

【详解】由，可得，，即为偶函数；

由，可得，且，，所以既不是奇函数也不是偶函数；

由，可得，，所以是奇函数；

由，可得，，所以是偶函数.

故选：C.

6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.

【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.

故选：C.

7．已知函数，若对任意的，且，都有，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题，分段函数在上单调递增，需使函数在和上都单调递增，且时的函数值大于时的函数值，列出不等式组，解出a的取值范围.

【详解】因为对任意，且，都有，

所以函数在上单调递增，所以函数在和上都单调递增，且时的函数值大于时的函数值，

所以，解得.

故选：B.

8．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则实（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据是偶函数得到在上的单调性，考虑时对应的关于的不等式，最后求出的范围.

【详解】因为是上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，

因为，所以，

所以，所以或，

所以的取值范围是.

故选D.

【点睛】本题考查根据函数的单调性、奇偶性求解参数范围，难度一般.

（1）利用奇偶性可分析函数在对称区间上的单调性；

（2）利用单调性可将函数值之间的关系转化为自变量之间的关系，从而达到求解参数范围的目的.

二、多选题

9．下列各组函数是同一函数的是（    ）

A．和 B．与

C．与 D．与

【答案】AC

【分析】结合函数的定义域、值域和对应关系等对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】A，两个函数都可以化为，是同一函数.

B，的定义域为，的定义域为，不是同一函数.

C，两个函数都可以化为，是同一函数.

D，的值域为，的值域为，不是同一函数.

故选：AC

10．下列说法正确的有(    )

A．命题“”的否定是“”

B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是

C．若，则“”的充要条件是“”

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】ABD

【分析】根据命题的否定即可判断A；根据恒成立转化成最值问题即可判断B；根据充分条件和必要条件的概念及不等式的性质可判断CD．

【详解】命题“”的否定是“”，故A正确；

∵命题“，”为假命题，则关于x的方程无实数根，故，解得，故B正确；

∵可得；但当，时，有；∴“若，则”是“”的充分不必要条件，故C错误；

当“”时，则“”成立；但当“”时，“或”；故“”是“”的充分不必要条件，故D正确．

故选：ABD﹒

11．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．的解集为

C．

D．的解集为

【答案】AD

【分析】根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可.

【详解】因为关于的不等式的解集为或，

所以且方程的两个根为，，

即.

因此选项A正确；

因为，，所以由，因此选项B不正确；

由可知：，因此选项C不正确；

因为，所以由，

解得：，因此选项D正确，

故选：AD

12．已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】由题，“有界函数”的值域需有界，求每个选项函数的值域进行判断.

【详解】对于A，，，不存在正数M，使得成立， 不是“有界函数”；

对于B，，，存在正数，使得成立， 是“有界函数”；

对于C，，存在正数，使得成立， 是“有界函数”；

对于D，在上单调递增，所以， ，不存在正数M，使得成立， 不是“有界函数”；

故选：BC.

三、填空题

13．计算：__．

【答案】

【分析】利用有理数指数幂的运算性质求值．

【详解】原式，

故答案为：．

14．已知函数，且，那么=_________.

【答案】-12

【分析】代入，整体代换求值即可.

【详解】由题意，，即，

故,

故答案为：-12

15．若关于的函数的定义域是R,则k的取值范围是____________

【答案】

【分析】由定义域为R，得被开方数大于等于0一定成立，再由二次函数的性质解得．

【详解】∵函数y的定义域是R，

∴kx2﹣6kx+8≥0，x∈R恒成立

①当k＝0时，8≥0成立

②当k＞0时，△＝（﹣6k）2﹣4×k×8≤0

得0＜k

由①②得0≤k

故答案为[0，]

【点睛】本题考查了函数定义域的应用，考查了转化思想，其中解决恒成立问题时，主要有两种方法，一是判别式法，二是最值法．

16．已知函数，，对于任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是____________.

【答案】

【分析】分别求得，的值域，根据对于任意的，总存在，使得成立，由的值域是的值域的子集求解.

【详解】解：令，则，

所以，

，

因为对于任意的，总存在，使得成立，

所以，

则，

解得或，

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，函数的定义域为集合.

(1)求；

(2)若，求时的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）求出集合后可求.

（2）根据可得范围端点的不等式关系，从而可得参数的取值范围.

【详解】（1）

由题意可得即，解得：或

所以或，所以，

或，所以.

（2）因为或，

若，则，故的取值范围是.

18．已知幂函数在上单调递增，函数．

(1)求的值；

(2)当时，记，的值域分别为集合，，设，，若是成立的必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据幂函数的性质，列方程、不等式求参数m即可.

（2）由已知可得，，再由题设易知，进而求的取值范围．

【详解】（1）由幂函数的性质知：，可得.

（2）由（1）知：，而在上递减

∴，

∵是成立的必要条件

∴，即，

∴.

19．已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是.

(1)把商品的利润表示为生产量的函数；

(2)当该商品生产量（千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？

【答案】(1)

(2)生产量为千件时，最大利润为万元

【分析】（1）设利润是（万元），由即可得利润关于生产量的函数；

（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.

【详解】（1）设利润是（万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，

则，

所以.

（2）当时，

，

当，即时，，

当时，是减函数，时，，

所以当时，，

所以生产量为千件时，最大利润为万元.

20．已知函数．

（1）解关于x的不等式；

（2）若，恒成立，求实数x的取值范围．

【答案】（1）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；（2）或.

【分析】（1）将不等式左边因式分解，将分成三种情况分类讨论，结合一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.

（2）变换主参变量，将“，恒成立”转化为一次函数在区间上恒大于零，列不等式组来求解得的取值范围.

【详解】（1）不等式等价于

，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

（2），

设，

要使在上恒成立，

只需，

即

解得或，

所以x的取值范围为或．

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

21．已知二次函数满足，且.

(1)求的解析式；

(2)设，，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）用待定系数法求解二次函数解析式.

（2）写出解析式，讨论二次函数对称轴位置，确定的最小值.

【详解】（1）设，因为，所以，则，因为，

所以，解得

故解析式为：

（2），

化解可得：，由此可知对称轴为

当，即时，

当，即时，

当，即时，

故

22．函数是定义在实数集上的奇函数，当时，.

(1)判断函数在的单调性，并给出证明；

(2)求函数的解析式；

(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）在上单调递减，由定义法证明即可；

（2）由奇函数的定义求解即可；

（3）由函数的奇偶性与单调性结合二次函数的性质求解即可；

【详解】（1）当时，，

∴函数在上单调递减.

证明如下：任取且，

，

∵，∴，

又，∴

∵，

∴函数在上单调递减

（2）因为当时，，所以，当时，，

又因为是定义在实数集上的奇函数，

所以，，

即当时，.

所以，函数的解析式为；

（3）∵函数在上单调递减，且，

又因为是定义在实数集上的奇函数，

所以，函数在上单调递减，且时，，

所以，函数在实数集上单调递减；

那么不等式，

即：，

则有，即（）恒成立，

所以，，

所以，实数的取值范围是.