2022-2023学年河南省周口市郸城县高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省周口市郸城县高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】①空集中不含任何元素，由此可判断①；

②是整数，故可判断②正确；

③通过解方程，可得出，故可判断③；

④根据为正整数集可判断④；

⑤通过解方程，得，从而可判断⑤.

【详解】①，故①错误；

②是整数，所以，故②正确；

③由，得或，所以，所以正确；

④为正整数集，所以错误；

⑤由，得，所以，所以错误.

所以正确的个数有2个.

故选：B.

2．已知集合，方程无实根，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据方程无实数根求出参数的取值范围，即可得到集合，再根据集合的包含关系判断即可.

【详解】解：由，即，解得，所以，

又方程无实根，当时方程显然无解；

当时，解得，

所以，即方程无实根，

因为，

所以“”是“”的充分不必要条件；

故选：A

3．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，以及零次幂的底数不等于0，建立不等式组，求解即可.

【详解】解：由已知得，解得且，

所以函数的定义域为，

故选：B.

4．已知函数若，则实数（    ）

A．－5 B．5 C．－6 D．6

【答案】A

【分析】先求，再由列方程求解即可.

【详解】由题意可得，

因为，即，

所以，得，

故选：A

5．函数在上单调递减，若，,则满足的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用函数的单调性可得到不等式，求解即可．

【详解】因为函数为上单调递减，

则可变形为，

则，

解得，

所以的取值范围为，,

故选：C

6．已知，则的解析式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用配凑法求函数的表达式.

【详解】，

；

故选：．

7．设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的定义域，结合函数的单调性求解即可.

【详解】∵函数是定义在上的减函数，且，

∴，解得.

故选：C

8．若函数，在R上单调递增，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由于函数在R上单调递增，所以函数在每段上要为增函数，且当时，，从而可求得答案

【详解】由题意得，解得．

故选：B

二、多选题

9．设，，若，则实数a的值可以为（    ）

A．0 B． C． D．3

【答案】ABC

【分析】求出集合，，由得，分和两种情况即可，由此求出实数的值．

【详解】，，

，，

，

当时，；

当时，，则或，

解得或，

实数的值可以为0，，．

故选：ABC．

10．已知不等式，下列说法正确的是（    ）

A．若，则不等式的解集为

B．若，则不等式的解集为

C．若，则不等式的解集为或

D．若，则不等式的解集为

【答案】BD

【分析】结合的取值范围分类讨论，可求出不等式的解集，即可得到答案．

【详解】不等式，

整理得，即，

若，则，所以不等式的解集为，故选项A错误；

若，则，所以不等式的解集为，故选项B正确；

若，则，所以不等式的解集为，故选项C错误；

若，则，所以不等式的解集为，故选项D正确．

故选：BD．

11．已知函数，下列结论正确的是（    ）

A．定义域、值域分别是， B．单调减区间是

C．定义域、值域分别是， D．单调减区间是

【答案】BC

【分析】首先根据题意得到，从而得到函数的定义域为，结合二次函数的性质得到函数和单调减区间是，再依次判断选项即可.

【详解】要使函数有意义，则有，解得，

所以函数的定义域为．

因为，，

时，，或时，，

所以．

因为抛物线的对称轴为直线，开口向下，，

所以的单调减区间是．

故选：BC．

12．下列说法正确的是（    ）

A．若的定义域为，则的定义域为

B．函数的值域为

C．函数的值域为

D．函数在上的值域为

【答案】AC

【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.

【详解】对于A，因为的定义域为，所以，

解得，即的定义域为，故A正确；

对于B，，

所以，即函数的值域为，故B不正确；

对于C，令，则，，

所以，，

所以当时，该函数取得最大值，最大值为，

所以函数的值域为，故C正确；

对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，

所以函数在上的值域为，故D不正确．

故选：AC．

三、填空题

13．若不等式 ​的解集为​，则​的值是____________.

【答案】

【分析】由题意可得的根为和，再利用根与系数的关系可求出，从而可求出的值.

【详解】因为不等式的解集为

所以 的根为和

所以有: 且

解得:

所以

故答案为: .

14．函数在区间上具有单调性，则m的取值范围为_______.

【答案】或

【分析】利用二次函数的单调性直接列式计算作答.

【详解】二次函数的对称轴为，因函数在区间上具有单调性，

所以或

故答案为：或

15．已知函数y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．

【答案】(－∞，0]

【分析】根据实数a是否为零，结合一次函数、二次函数的单调性分类讨论进行求解即可.

【详解】当a＝0时，y＝－2x＋3满足题意；

当a≠0时，则，综上得a≤0．

故答案为：(－∞，0]

16．已知为实数，命题甲：关于的不等式的解集为；命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数的取值范围为_______．

【答案】

【分析】通过分类讨论可求得命题甲为真命题时的取值范围；根据一元二次方程根的特征，求得命题乙为真命题时的取值范围，进而得到甲、乙至少有一个为真命题时，实数的取值范围．

【详解】由命题甲：关于的不等式的解集为，

当时，不等式恒成立；

当时，则满足，解得，

综上可得．

由命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根，

则满足，整理得，

所以，解得．

所以甲、乙至少有一个为真命题时，有或，

可得，即实数的取值范围为．

故答案为：．

四、解答题

17．已知集合，或．

(1)求；

(2)若集合，且．求m的取值范围．

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）根据集合的交并补的定义进行计算即可；

（2）根据题干的条件，按和进行讨论，分别列出不等式，解出的取值范围即可.

【详解】(1)或，或；

(2)∵，

又，，

当时，，即，；

当时，可得，

，或，解得，

综上，的取值范围为或．

18．（1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．

（2）已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．

（3）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值；

【答案】（1）；（2）-1；（3）.

【分析】（1）将原式改为，进而用基本不等式解决；

（2）根据题意，将原式改为，进而用基本不等式解决；

（3）根据x＋y＝4，，将原式改为，进而化简，最后根据基本不等式得到答案.

【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最大值为.

（2）因为x＜3，所以，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最大值为-1.

（3）因为x，y∈R＋，且x＋y＝4，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最小值为.

19．若二次函数（，，）满足，且．

（1）求的解析式；

（2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）

【详解】试题分析： （1）由，求出，根据，通过系数相等，从而求出的值,得到的解析式；

（2）问题转化为，使不等式成立，令，求出的最大值即可．

试题解析：（1）由，得，∴，

又，

∴，

即，

∴∴∴．

（2）等价于，

即在上恒成立，

令，，∴．

【解析】二次函数的性质，函数恒成立问题

20．已知函数.

（1）求证：在上是增函数；

（2）若在上的最大值是最小值的2倍，求a的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据函数的解析式，利用单调增函数的定义即可证明；

（2）根据函数的单调性，求得在题设区间上的最大值和最小值，根据已知得到关于a的方程，求得a的值.

【详解】（1）因为，任取，，且，

则

=

因为，所以，，所以，

所以，即，

所以在上是增函数.

（2）由（1）可知，在上是增函数，

在上的最大值是最小值的2倍，

所以，即，

解得.

【点睛】本题考查利用定义证明函数的单调性和利用单调性求函数的最值，并根据最值的关系求参数的值,属基础题.

21．已知函数，且．

(1)求a的值；

(2)判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．

【答案】(1)4

(2)在区间上单调递减，证明见解析

【分析】（1）直接根据即可得出答案；

（2）对任意，且，利用作差法比较的大小关系，即可得出结论.

【详解】(1)解：由得，解得；

(2)解：在区间内单调递减，

证明：由（1）得，

对任意，且，

有，

由，，得，，又由，得，

于是，即，

所以在区间上单调递减．

22．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.

（1）求的解析式；

（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？

【答案】（1）；（2）分钟.

【分析】(1)时，求出正比例系数k，写出函数式即可得解；

(2)求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解.

【详解】（1）由题意知，（k为常数），

因，则，

所以；

（2）由得，

即，

①当时，，当且仅当等号成立；

②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24，

由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.