2022-2023学年河南省郸城县高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省郸城县优质高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．若集合，则的子集个数为（    ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】D

【分析】先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.

【详解】解：，则的子集个数为个，

故选：D.

2．已知实数a，b，c，若a>b，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】直接利用不等式的基本性质即可.

【详解】由可判断A错误，

由可判断BD错误，

由不等式的性质易知C正确.

故选：C.

【点睛】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键，属于基础题.

3．对于任意集合，下列各式①，②，③，④，正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】利用集合的定义和基本运算判断即可.

【详解】①表示空集，指没有包含任何元素的一个集合，是一个非空集合，表示集合只有空集这个元素，所以，错误；

②和完全一样，共有元素也一样，所以，正确；

③并集是两个集合合在一起的所有元素，所以，正确；

④表示自然数集，表示实数集，两者都是集合，所以，错误.

所以②③正确，

故选：B.

4．下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由基本不等式，可判定A不正确；由，可判定B正确；根据特例，可判定C、D不正确；

【详解】由基本不等式可知，故A不正确；

由，可得，即恒成立，故B正确；

当时，不等式不成立，故C不正确；

当时，不等式不成立，故D不正确.

故选：B.

5．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简集合B，利用并集概念及运算即可得到结果.

【详解】由题意可得：

又

∴

故选：C

【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.

6．集合或，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．

【详解】解：，

①当时，即无解，此时，满足题意．

②当时，即有解，当时，可得，

要使，则需要，解得．

当时，可得，

要使，则需要，解得，

综上，实数的取值范围是．

故选：A．

【点睛】易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为.

7．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据作差法求出不等式成立的充要条件再根据充分必要条件的定义判断．

【详解】，因为，则，

当时，，所以是既不充分也不必要条件，

故选：D.

8．已知正实数满足，则的最小值为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】B

【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.

【详解】因为，且为正实数

所以

，当且仅当即时等号成立.

所以.

故选：B.

9．若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知中不等式成立的充分条件是，令不等式的解集为A，可得，可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案.

【详解】解：不等式成立的充分条件是，

设不等式的解集为A，则，

当时，，不满足要求；

当时，，

若，则，解得.

故选：A.

10．已知，，则的最小值是（    ）

A． B．4

C． D．5

【答案】C

【分析】利用题设中的等式，把的表达式转化成，展开后，利用基本不等式求得的最小值.

【详解】因为，，

所以（当且仅当，即时等号成立）.

所以的最小值是.

故选：C.

【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，其中解答中熟记基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

二、多选题

11．定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集.下列集合是集合的孙子集的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据孙子集的定义，结合各选项集合与集合B的关系，即可确定正确选项.

【详解】A：为集合B的真子集，当不是非空集，不合要求；

B：为集合B的真子集，且为非空集，符合要求；

C：为集合B的真子集，且为非空集，符合要求；

D：为集合B的子集，但不是真子集，不合要求.

故选：BC

12．已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项.

【详解】当时，，即，此时，符合题意，

当时，，即，

由可得或，

因为，所以或，可得或，

因为，所以，

所以实数的取值范围为或，

所以选项ABC正确，选项D不正确；

故选：ABC.

三、填空题

13．已知集合，若，求实数a的值_______

【答案】

【分析】根据题意，可得或，然后根据结果进行验证即可.

【详解】由题可知：集合，

所以或，则或

当时，，不符合集合元素的互异性，

当时，，符合题意

所以，

故答案为：

14．已知，且，则的最小值为_________．

【答案】4

【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.

【详解】，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：

【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.

15．已知全集，定义，若，，则______．

【答案】

【分析】利用集合运算的新定义和补集运算求解.

【详解】全集，定义，

，

所以，

所以.

故答案为：

16．若正数满足，则的最大值为______．

【答案】

【分析】根据，可得 ，将其代入所求式子中，转化为基本不等式的形式，即可求最值.

【详解】正数满足，，解得，

，

当且仅当时，即等号成立，的最大值为．

故答案为：

四、解答题

17．已知集合或，，且，求m的取值范围．

【答案】或

【分析】因为，所以，分别讨论和两种情况然后求并集.

【详解】解：因为，所以，

当时，，解得：；

当时，或解得：或

所以或.

18．已知命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】

【分析】解不等式，对实数的取值进行分类讨论，解不等式，根据已知条件可得出集合的包含关系，综合可求得实数的取值范围.

【详解】解：解不等式可得.

由得，

当时，不等式解集为，

此时有，可得；

当时，不等式的解集为，合乎题意；

当时，不等式的解集为，

此时有，可得.

综上所述，实数的取值范围是.

19．（1）设，试比较与的大小

（2）已知，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据作差法，由题中条件，即可得出结果；

（2）设，求出，根据题中条件，由不等式的性质，即可求出结果.

【详解】（1）

∵，∴，，

∴

∴

（2）设

则，

∴，

∴

∵，，

∴，

∴

即.

【点睛】本题主要考查作差法比较大小，以及不等式的性质求范围，属于常考题型.

20．已知且，求使不等式恒成立的实数m的取值范围．

【答案】.

【分析】要使不等式恒成立，只需求的最小值，将展开利用基本不等式可求解.

【详解】由，则．

当且仅当即时取到最小值16．

若恒成立，则．

【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.

21．（1）若，求的最小值及对应的值；

（2）若，求的最小值及对应的值．

【答案】（1）最小值为5，；（2）最小值为，．

【分析】（1）化简，再利用基本不等式求解；

（2）化简，再利用基本不等式求解.

【详解】（1）因为，所以，

当且仅当即时等号成立，函数取最小值5；

（2）

当且仅当即时等号成立，函数取最小值.

22．设．

(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

(2)解关于的不等式．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）根据条件不等式对一切实数x恒成立，转化为对一切实数x恒成立；分a=0和a≠0两种情况讨论，即可得出结论；

（2）不等式代入化简得ax2+（1-a）x-1＜0，对a的取值进行分类讨论，即可得不等式的解集．

【详解】(1)，恒成立等价于，，

当时，，对一切实数不恒成立，则，

此时必有，即，解得，

所以实数的取值范围是.

(2)则，

①当a=0时，不等式等价于：x-1＜0，∴x＜1，

不等式的解集为（-∞，1）；

当a≠0时，方程（x-1）（ax+1）=0有两个实根，1和；

②当a＞0时，1＞，不等式等价于（x-1）（x+）＜0，

∴不等式的解集为（，1）；

③当a＜0时，不等式等价于（x-1）（x+）＞0，

当-1＜a＜0时，1＜，

不等式的解集为（-∞，1）∪（-，+∞）；

当a=-1时，1=，不等式的解集为{x|x≠-1}．

当a＜-1时，1＞，

不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）；

综上：当a=0时，不等式的解集为（-∞，1）；

当a＞0时，不等式的解集为（，1）；

当a＜0时，不等式的解集为（-∞，1）∪（-，+∞）；

当a=-1时，不等式的解集为{x|x≠-1}．

当a＜-1时，不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）；