2022-2023学年河南省名校联盟高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省名校联盟高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解一元二次不等式求得集合A，根据集合的交集运算求得答案.

【详解】由题意得 ，

∵，∴，

故选：D．

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】该题考查了特称命题及否定形式知识，量词要改变，结论要否定．

【详解】根据特称命题的否定形式得，

“，”的否定是：，，故A，B，C错误.

故选：D．

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由等价于或，故充分性成立，必要性不成立，得到答案.

【详解】当时，则，，

∴，充分性成立，

若，则或，必要性不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A．

4．已知函数，则（    ）

A．5 B．-5 C．-2 D．2

【答案】A

【分析】分段函数问题分段处理，根据已知代入函数解析式求解即可.

【详解】∵1>0，∴，

∵，∴，故B，C，D错误.

故选：A．

5．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题可得，进而即得.

【详解】∵，

则，解得且，

∴函数的定义域为．

故选：B．

6．设是定义在上的奇函数，则（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】根据奇函数的定义，得到方程组，求出，，得到函数解析式，代入求值即可.

【详解】是定义在上的奇函数，

∴，即，

且，

∴，且，所以，

∴．

故选：C．

7．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分段函数的单调性即可求解.

【详解】∵函数在上是增函数，

∴，求得，

故选:C．

8．设集合，若，且，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由条件列不等式可求a的取值范围.

【详解】因为，，所以，所以或，

因为，所以或，所以，所以，

所以.

故选：B.

二、多选题

9．给出下列四个关系式，其中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据集合与集合的关系以及元素与集合的关系即可求解.

【详解】空集中不含任何元素，所以B错误，集合与集合之间不能用属于，，故C错误，2022是实数集中的一个元素，故A正确，空集是任意非空集合的真子集，故D正确，

故选:AD

10．已知函数，则表达正确的是（    ）

A．函数的单调递减区间为， B．为函数的单调递增区间

C．函数有最小值，无最大值 D．函数满足

【答案】BC

【分析】画出图形，利用函数图象进行判断．

【详解】作出的图象，

由图象可知，A错误，B、C正确，

因为，，

所以，故D错误.

故选：BC.

11．下列四个结论中，正确的是（    ）

A．当时，函数的最小值为3

B．若，y>1，x+y=4，则函数的最小值为4

C．当时，函数有最小值为

D．当时，函数的是大值为0

【答案】ABC

【分析】根据对勾函数的单调性即可求解A，根据基本不等式即可结合选项分别求解BCD.

【详解】对于A; ，设 ，

则，由于，所以,因此，故函数在上单调递增，所以当时取最小值3， A正确；

，当且仅当时取等号，所以B正确；

，所以C正确；

当时，，∵，∴，当且仅当时，等号成立，此时有最小值，所以D错误．

故选：ABC

12．给出下列命题，其中正确的命题是（    ）

A．若函数的定义域为，则函数的定义域为

B．函数为R上的偶函数，且在上单调递增，则

C．若定义在R上的奇函数在区间上是单调递减函数，则在R上是单调递减函数

D．函数的定义域为D，若对D中任取的两个不等的实数，，均有，则是D上的单调递减函数

【答案】BCD

【分析】利用函数的定义域、单调性、奇函数的定义以及性质进行运算求解、判断．

【详解】若函数的定义域为，则，所以函数的定义域为．故A不正确；

函数为R上的偶函数，且在上单调递增，函数为上单调递减，

所以，则，B正确；

若定义在R上的奇函数在区间上是单调递增函数，则在区间上也是单调增函数，

那么在R上一定为单调递增函数，故C正确；

若，则，

由函数单调性的定义知D正确．

故选：BCD.

三、填空题

13．已知全集，集合，，则______．

【答案】

【分析】可以直接利用德摩根定律求解，也可以先求两个集合的补集，再求交集.

【详解】法一：，，

.

法二：，则.

故答案为：.

14．不等式的解集为，则______．

【答案】5

【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，即可求解.

【详解】由不等式的解集为知，为方程的两个根，且 ，

∴，∴

故答案为：5

15．已知实数x，y满足，，则的范围为______．

【答案】

【分析】用、表示出，然后可算出答案.

【详解】设，则，解得，

∴

∵，∴，

∵，∴

 ∴．

故答案为：

16．定义在R上的偶函数，当时，单调递减，则的解集为______．

【答案】

【分析】根据偶函数的单调性即可得自变量的关系，列不等式即可求解.

【详解】为R上的偶函数，且在上单调递减，则在上单调递增，由于，∴，平方得，解得 ，故不等式的解集为．

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，，．

(1)求；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)或

(2).

【分析】（1）先求出集合，再求出集合的补集，然后可求出；

（2）由，得，从而可求出实数a的取值范围．

【详解】（1）由，得，

所以，

所以或，

因为，

所以或

（2）因为，所以，

因为，，

所以

所以实数a的取值范围为.

18．定义域为的奇函数满足，当时，

(1)求的值域；

(2)若时，有解，求实数t的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用函数单调性得到时，，结合函数的奇偶性，得到当时，，从而得到函数的值域；

（2）若时，有解，只需，由（1）得到，从而列出不等式，求出答案.

【详解】（1）为定义在上的奇函数，故，

当时，，

在时，单调递减，在时，单调递增，

又，，

当，单调递减，，又，

故时，，

由于为定义在上的奇函数，故当时，，

综上：；

（2）由（1）知：时，，

若时，有解，只需

故，

即，解得，

实数t的取值范围是.

19．已知函数．

(1)求；

(2)判断是否为定值，并求出的值．

【答案】(1)3

(2)

【分析】（1）代入求值，再求和即可；

（2）先求出是定值3，在分组求和得到答案.

【详解】（1），，

故；

（2），

故是定值3，

20．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的等腰梯形菜园ABCD，，，．（单位：m），．

(1)若篱笆的长度为12m，菜园的面积为，求x，y的值；

(2)若要求菜园的面积为，求篱笆的长度的最小值．

【答案】(1)

(2)9

【分析】（1）根据直角三角形的三边关系可得梯形的面积，即可联立方程求解，

（2）根据梯形面积公式可得，结合基本不等式即可求解最值.

【详解】（1）如图，过B作于E，过点C作于F，在中，，，，所以，．

同理，，则．所以 ，

即 ，则．

（2），即，．

所以（当且仅当时取“=”）,此时篱笆的最小值为9，

21．已知定义在R上的奇函数满足．

(1)求实数a的值；

(2)当时，用定义证明函数为单调递增函数；

(3)当时，解不等式．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）先用整体法得到，再根据函数为奇函数列出方程，得到；

（2）利用定义法证明函数的单调性步骤：取值，作差，判号，下结论；

（3）由函数的单调性和奇偶性及定义域，列出不等式组，求出答案.

【详解】（1），

∴，

∵为奇函数，

∴，即，化简得，

∴；

（2）证明：设为区间上的任意两个值，且，

，

因为，

所以，，，，

即，即

所以函数在上是增函数．

（3）因为为奇函数且在上是增函数，

所以，得，

则，解得：，

故．

22．已知幂函数在上单调递增．

(1)求实数m的值；

(2)若对，，使得都成立，求实数t的取值范围.

【答案】(1)；

(2)实数t的取值范围为.

【分析】（1）根据条件结合幂函数的定义及性质列关系式求m的值；

（2）由条件可得，结合（1）可得，再由该不等式在时能成立，列不等式求t的取值范围.

【详解】（1）因为幂函数在上单调递增，

所以；

（2）由（1）可得

因为对，使得都成立

所以，其中，由（1）可得函数在上的最大值为8，所以，又，使得都成立

所以，

因为，所以是关于a的单调递增函数，

∴，即，∴或，

所以实数t的取值范围为.