2022-2023学年福建省福州延安中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省福州延安中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．过点的直线的倾斜角为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】利用斜率与倾斜角的关系即可求解.

【详解】过A、B的斜率为，则该直线的倾斜角为，

故选：A．

2．如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则等于（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的线性运算法则，数形结合，即可得答案.

【详解】由题意得：.

故选：C

3．过点且平行于的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据两条直线平行求出斜率，再根据点斜式可得结果.

【详解】因为直线的斜率为，

所以所求直线的斜率也为，

由点斜式可得所求直线方程为，即.

故选：D

4．如图，设直线的斜率分别为，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据斜率的定义即可求解.

【详解】由图可知：的倾斜角为锐角，且比倾斜程度更大，而的倾斜角为钝角，

故，

故选：D

5．过（1，2），（5，3）的直线方程是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据直线的两点式方程求解即可.

【详解】因为所求直线过点（1．2），（5，3），所以直线方程为，即．

故选：B

6．设直线l的斜率为k，且，直线l的倾斜角的取值范围为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据倾斜角与斜率的关系得到，结合正切函数的图象及，数形结合得到直线l的倾斜角的取值范围.

【详解】由题意得：，

因为，且，，

画出的图象如下：

所以

故选：D

7．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算.

【详解】∵，

∴

又，

∴在方向上的投影，

∴P到l距离.

故选：C.

8．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（    ）

A．0° B．1° C．2° D．3°

【答案】C

【分析】根据5颗星的位置情况知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E并确定∠OO3E的大小，即可知AB所在直线的倾斜角.

【详解】∵O，O3都为五角星的中心点，

∴OO3平分第三颗小星的一个角，

又五角星的内角为36°知：∠BAO3＝18°，

过O3作x轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°，

∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°.

故选：C

二、多选题

9．已知空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（    ）

A．向量的模是

B．可以构成空间的一个基底

C．向量和夹角的余弦值为

D．向量与共线

【答案】BC

【解析】利用空间向量的模长公式可判断A选项的正误；利用空间向量数量积公式得出、、两两垂直，可判断B选项的正误；利用空间向量夹角的余弦公式可判断C选项的正误；利用空间向量夹角的余弦公式计算出与夹角的余弦值，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，，

，A选项错误；

对于B选项，因为空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则、、均为非零向量，

，，，

所以，、、两两垂直，则可以构成空间的一个基底，B选项正确；

对于C选项，，C选项正确；

对于D选项，，

，同理可得，

所以，，

，则，D选项错误.

故选：BC.

10．下列命题中，是假命题的是（    ）

A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大

B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为

C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是

D．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为

【答案】ABD

【分析】利用正切函数的图象判断选项AC的真假；

B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；

举反例说明选项D错误.

【详解】A. 若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误；

B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；

C. 若直线倾斜角，则斜率的取值范围是，所以该选项正确；

D. 若直线的斜率为，则但是直线的倾斜角为不是，而是，所以该选项错误.

故选：ABD

11．已知直线，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则或

C．若，则 D．若，则

【答案】AC

【分析】根据两直线平行列出方程，求出或，经检验，不合要求；

再根据两直线垂直列出方程，求出.

【详解】令，解得：或．当时，与重合；当时，．A正确，B错误．

若，则，解得，C正确，D错误．

故选：AC

12．下列说法正确的是（    ）

A．直线必过定点

B．直线在轴上的截距为

C．直线的倾斜角为60°

D．过点且垂直于直线的直线方程为

【答案】ABD

【分析】将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D.

【详解】可化为，则直线必过定点，故A正确；

令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；

可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；

设过点且垂直于直线的直线的斜率为

因为直线的斜率为，所以，解得

则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；

故选：ABD

【点睛】本题主要考查了求直线过定点，求直线的倾斜角，由两直线垂直求直线方程，属于中档题.

三、填空题

13．写出直线的一个方向向量______．

【答案】

【分析】本题可先将直线的一般式化为斜截式，然后根据斜率即可得到直线的一个方向向量.

【详解】由题意可知，直线可以化为，

所以直线的斜率为，直线的一个方向向量可以写为.

故答案为：.

14．已知，若三向量共面，则实数=_____.

【答案】

【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组，求解方程组即可确定的值.

【详解】由题意可知，存在实数满足：，

据此可得方程组：，求解方程组可得：.

故答案为．

【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

15．若点到直线的距离等于4，则的值为___________.

【答案】或

【分析】由点到直线的距离公式代入即可得出答案.

【详解】直线，化为一般式方程为，

又点到直线的距离等于4，

所以，所以，解得：或.

故答案为：或.

16．已知的顶点坐标为，，，若为直角三角形，则m的值为______．

【答案】，3或

【分析】结合斜率公式，分，，三种情况讨论求解即可.

【详解】解：，，．

若，则，解得；

若，则，解得；

若，则，解得．

综上所述，m的值为，3或．

故答案为：，3或

四、解答题

17．求适合下列条件的直线方程：

(1)求经过点并且和直线垂直的l直线方程；

(2)已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于3的直线方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设直线的方程为，代入点求得，即可得解；

（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，设出直线方程，结合点到直线的距离公式即可得出答案.

【详解】（1）解：设直线的方程为，

则，解得，

所以直线的方程为；

（2）解：当直线的斜率不存在时，方程为，

原点到直线的距离为3，符合题意，

当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，

则原点到直线l的距离为，解得，

此时直线方程为，

综上直线的方程为或.

18．如图，空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设，，，

(1)用，，表示；

(2)求向量与向量所成角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解；

（2）计算的值即可得，再计算的值，由空间向量夹角公式即可求解.

【详解】（1）因为，，，

所以.

（2）因为空间四边形的各边及对角线长为，

所以四面体是正四面体，，且，，间的夹角为，

所以，

，

，

所以，所以，

所以向量与向量所成角的余弦值为.

19．已知直线.求证：

(1)无论取何值，直线l都经过一个确定的点M；

(2)无论取何值，对于直线上任意一点，向量均与向量垂直.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）将直线方程重新整理一番，把含参数的项结合在易求，其他项结合在一起，利用恒等式的原理即可判断定点坐标（2）要证，只需证即可

【详解】（1）：，

，故

所以直线恒过定点

（2）设，则

所以

因为

所以

所以

20．如图，在正三棱柱中，，D为棱BC的中点．

(1)证明：∥平面；

(2)求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面平行的判定定理证明

（2）由等体积法求解

【详解】（1）证明：连接交于O，连接OD，

正三棱柱中，易得O为中点，又D为BC的中点，

所以OD∥，因为平面，平面，所以∥平面；

（2）因为∥平面，所以C与到平面的距离相等，

由题意得，，，

因为，所以AD⊥DB1，

所以，，

设C到平面ADB1的距离为h，则，

所以，所以，

即点A1到平面AB1D的距离为．

21．如图，在正方体中，为的中点，点在棱上．

(1)若，证明：与平面不垂直；

(2)若平面，求平面与平面的夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出，即可证得结论成立；

（2）利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值.

【详解】（1）证明：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则、、、，

由得点的坐标为，

，，因为，

所以与不垂直，所以与平面不垂直．

（2）解：设，则，，

因为平面，所以，所以，得，

且，即，

所以，，设平面的法向量为，

由，取，可得，

因为平面，所以平面的一个法向量为，

所以，

所以平面与平面所成夹角的余弦值为．

22．如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，是的中点.

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意利用面面垂直的性质定理可证平面，再结合线面垂直的判定定理证明；（2）根据题意建系，先平面的法向量是，再根据运算处理．

【详解】（1）连接，因为四边形是菱形，则，

因为，故为等边三角形，所以.

因为平面平面，平面平面平面，

所以平面，

平面，所以.

因为，所以.

又，所以平面.

（2）连接，因为是的中点，所以.

又因为平面平面，平面平面平面，

所以平面.

设，因为，

以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

.

设平面的法向量是，

则，取，可得.

设直线与平面所成角为

所以，

∴直线与平面所成角的正弦值是.