2022届上海市进才中学高三下学期3月月考数学试题含解析

2022届上海市进才中学高三下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．已知R，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】若，则，则成立．

而当且时，满足，但不成立；

“”是“”的充分不必要条件．

故选：．

2．在等差数列，则在Sn中最大的负数为

A．S17 B．S18 C．S19 D．S20

【答案】C

【分析】根据等差数列性质得再比较S17， S18，S19， S20大小与正负，即得结果.

【详解】因为，所以，

因为，

所以在Sn中最大的负数为S19，选C.

【点睛】等差数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等差中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

3．方程的曲线所满足的性质为

①不经过第二､四象限；

②关于轴对称；

③关于原点对称；

④关于直线对称；

A．①③ B．②③ C．①④ D．①②

【答案】A

【分析】设点在曲线上，则点满足方程，然后判定， ，是否在曲线上，从而得到结论．

【详解】解：若点在曲线上，则，

令，，则，故点不在曲线上，即不关于轴对称；

令，，则，即，故点在曲线上，即关于原点对称；

令，，则，故点不在曲线上，即不关于直线对称；

若且时，；且时，即曲线不经过第二､四象限

故正确的有：①③．

故选：A

【点睛】本题主要考查的知识点是曲线的对称性，当点在曲线上时，点也在曲线上，则曲线关于原点对称；当点在曲线上时，点也在曲线上，则曲线关于轴对称；当点在曲线上时，点也在曲线上，则曲线关于轴对称；当点在曲线上时，点也在曲线上，则曲线关于直线对称；当点在曲线上时，点也在曲线上，则曲线关于直线对称，属于基础题．

4．设等差数列，，…，（，)的公差为，满足，则下列说法正确的是

A． B．的值可能为奇数

C．存在，满足 D．的可能取值为

【答案】A

【分析】根据题意，设出绝对值函数，

根据绝对值函数的性质判断即可．

【详解】因为

所以

令

则 （）

①当时，，不满足（），舍去．

②当时，由（）得为平底型，故为偶数 ．

的大致图像为：

则

所以，故A正确．

由

当 时

当 时

故不存在，满足，C错

由于 所以，故D错

③当时，令

由于 的图像与的图像关于轴对称，故只需研究

故令

因为

所以

由②知为平底型，故为偶数，故B错

令

所以 ，故A正确

由②知，不存在，满足，故C错

由②知，，故D错

综上所述，A正确,BCD错误

故选A.

【点睛】本题结合等差数列综合考查绝对值函数的性质，属于难题．

二、填空题

5．已知集合，，则___________.

【答案】

【解析】利用交集的定义直接求解即可

【详解】解：因为集合，，

所以，

故答案为：

6．抛物线的准线方程为______________.

【答案】

【解析】根据抛物线的性质得结论．

【详解】由抛物线方程得，焦点为，准线方程为．

故答案为：．

7．如果函数的反函数为，那么__________．

【答案】

【分析】根据反函数性质求结果.

【详解】令

故答案为：

【点睛】本题考查反函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.

8．若一个球的体积为，则它的表面积为_________．

【答案】

【详解】

9．在锐角三角形中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角A的大小为________.

【答案】

【分析】利用余弦定理与同角三角函数基本关系求解即可

【详解】由，

两边同除以得，

由余弦定理可得

是锐角，，

故答案为：.

10．展开式中的常数项为__________．

【答案】.

【分析】利用通项公式即可得出．

【详解】通项公式Tr+1（x2）6﹣r（﹣1）rx12﹣3r，

令12﹣3r＝0，解得r＝4．

∴展开式中的常数项15．

故答案为15．

【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

11．设由复数组成的数列满足：对任意的，都有(是虚数单位)，则数列的前2020项和的值为_________.

【答案】0

【分析】根据等比数列的定义和通项公式得前n项和公式，可求得，再运用可得答案.

【详解】设数列的首项为，数列的前n项和为，则由已知得，所以

，而，

所以，

故答案为：0.

【点睛】本题考查等比数列的定义，等比数列的前n项和，复数的运算，关键在于运用等比数列的前n项公式求和， ，，属于中档题.

12．已知函数，则不等式的解集为____

【答案】（1，＋∞）

【分析】由已知条件得出函数为奇函数，并且在在R时单调递增，由此可得出关于x 不等式，解之可得不等式的解集.

【详解】因为，所以函数为奇函数，

又，当时，，所以函数在时单调递增；

当时，，所以函数在时单调递增，

所以函数在R时单调递增.

所以不等式化为，所以，解得，

所以不等式的解集为，

故答案为：.

【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解不等式，属于中档题.

13．把3本不同的语文书，4本不同的数学书随机的排在书架上，则语文书排在一起的概率是________.

【答案】

【分析】利用捆绑法，将语文书当做一个元素，与4本数学书一起全排列，再将语文书排列，即可得出语文书排在一起的情况有多少，然后计算出7本书全排列的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可．

【详解】本书的全排列有种，

语文书排在一起的排法有种，

语文书排在一起的概率是.

故答案为．

【点睛】本题考查排列数的计算，捆绑法的应用，古典概型概率公式的应用，属于基础题．

14．已知等边的边长为2，点、分别在边、上且满足，则__________.

【答案】

【分析】用向量的分解方法来计算，因为等边任意两条边夹角为特殊角，所以可以将向量取两条边作为基底来分解.

【详解】因为

而故，又因为，，所以。所以

故答案为：

【点睛】此题考查向量的数量积运算，可以尝试建平面直角坐标系的坐标法和斜坐标系的向量分解方法去做.本题是中档题

15．已知函数，若函数在区间内恰好有奇数个零点，则实数k的所有取值之和为__________．

【答案】

【分析】讨论0＜x≤时与＜x＜π时函数解析式，令k＝sinx+cosx﹣4sinxcosx，换元，根据二次函数的单调性即可得出答案.

【详解】解：（1）当0＜x≤时，设k＝sinx+cosx﹣4sinxcosx，

令t＝sinx+cosx＝sin（x+），则t∈[1，]，

k＝t﹣2（t2﹣1）＝﹣2t2+ t+2，t∈[1，]为单调函数，

则可知当t＝1时，即k＝1时，一解；

当t＝时，即k＝时，一解；

当1＜t＜时，即﹣2＜k＜1时两解；

（2）当＜x＜π时，设k＝sinx﹣cosx﹣4sinxcosx，

令t＝sinx﹣cosx＝sin（x﹣），则t∈（1，]，

k＝t+2（t2﹣1），t∈（1，]也为单调函数，

则可知当1＜t＜时，即1＜k＜2+时两解，

当t＝时，即k＝时一解，

综上：k＝1或k＝﹣2或k＝，

故所有k的和为.

故答案为：.

【点睛】本题考查函数零点与方程根的转化，换元思想，分类讨论思想，属于中档偏难题.

16．设，若对任意，都存在唯一实数，满足，则正数的最小值为____________

【答案】

【分析】由已知函数解析式得到函数值域，结合存在唯一的，满足，可得，即，进一步转化为，，求解不等式得到的范围，进一步得到的范围得答案．

【详解】解：函数的值域为．

的值域为；的值域为．

的值域为上有两个解，

要想在上只有唯一的满足，

必有．

，即，解得：．

当时，与存在一一对应的关系．

问题转化为，，且．

，解得：或者（舍去）．

，解得．

故答案为：．

三、解答题

17．如图，在正方体中.

(1)求异面直线和所成角的大小；

(2)求二面角的大小.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算可得，即得解；

（2）分别求解两个平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可

【详解】(1)

由正方体，故两两垂直，不妨令正方体边长为1

以为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

故

由于，故

异面直线和所成角的大小为

(2)由（1），

设平面的法向量为

，令，故

设平面的法向量为

，令，故

设二面角的平面角为，由图得二面角为钝角

故

故，即二面角的大小为

18．已知函数，x∈R，且f(x)的最大值为1.

（1） 求m的值，并求f(x)的单调递增区间；

（2）在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若，且，试判断△ABC的形状.

【答案】（1），(k∈Z)；（2）直角三角形.

【分析】（1）化简的解析式，求出其最大值，结合已知最大值可求得的值，利用正弦函数的递增区间可解得的单调递增区间；

（2）利用可求得，将边化角，结合可求得，，从而可得结果.

【详解】（1）

,

因为，所以，

由+2kπ≤2x+≤+2kπ，，得到：，，

所以f(x)的单调增区间为(k∈Z)

（2）因为，则，则，

因为，所以，所以，所以，

又，则，，

化简得，得，

因为，所以，

所以，所以

所以，故△ABC为直角三角形.

【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角恒等变换公式以及正弦定理的边角互化是解题关键.

19．某企业参加项目生产的工人为人，平均每人每年创造利润万元.根据现实的需要，从项目中调出人参与项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润万元（），项目余下的工人每人每年创造利图需要提高

（1）若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加项目从事售后服务工作？

（2）在（1）的条件下，当从项目调出的人数不能超过总人数的时，才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意，列出不等式，求解即可；

（2）求出的范围，得出不等式，整理可得恒成立，根据的范围，可知函数在定义域内为减函数，当时，函数取得最小值．

【详解】设调出人参加项目从事售后服务工作

（1）由题意得：，

即，又，所以．即最多调整500名员工从事第三产业．

（2）由题知，，

从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，

从事原来产业的员工的年总利润为万元，

则，

所以，

所以，

即恒成立，

因为，

所以，

所以，

又，所以，

即的取值范围为．

【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．

20．已知椭圆，短轴长为，左、右焦点分别为，，P是椭圆C上的一个动点，面积的最大值为2．

(1)求椭圆C的方程；

(2)求的取值范围；

(3)过椭圆的左顶点A作直线轴，M为直线l上的动点，B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点Q．试判断数量积，是否为定值，如果为定值，求出定值；如果不是定值，说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)是，4

【分析】（1）设，利用，的最大值为2，得到bc的值，结合短轴长为，从而求出a，b，c的值，即可求出椭圆C的方程；

（2）利用椭圆方程得到关于的表达式，用坐标表示，结合的取值范围，得到的取值范围；

（3）设出直线方程BM的方程为，与椭圆方程联立，解得，，从而得到Q点坐标，，M点坐标，，再表示出，从而求出和的值.

【详解】(1)解：设点，

则，当且仅当时“＝”，．

又，∴，∴，

从而椭圆C的方程为．

(2)∵椭圆，∴，．

∵P为椭圆C上一点，∴，

∴

．

又，∴．

(3)设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为，设，

将代入椭圆C的方程中并化简得，

解得，，∴，

从而，．

令，得，所以，．

又，

∴（定值），

（定值），

综上可知，，均为定值．

21．已知数列，满足：．

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若，且．

① 记，求证：数列为等差数列；

② 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．

【答案】（1）

（2）①根据等差数列的定义，证明相邻两项的差为定值来得到证明．从第二项起满足题意即可．

②当，数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次

【详解】试题分析：解：（1）当时，有

．

又也满足上式，所以数列的通项公式是． 4分

（2）①因为对任意的，有，所以，

，

所以，数列为等差数列． 8分

②设（其中为常数且，

所以，，

即数列均为以7为公差的等差数列． 10分

设．

（其中为中一个常数）

当时，对任意的，有； 12分

当时，．

（Ⅰ）若，则对任意的有，所以数列为递减数列；

（Ⅱ）若，则对任意的有，所以数列为递增数列．

综上所述，集合．

当时，数列中必有某数重复出现无数次；

当时，数列均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次． 18分

【解析】数列的性质，数列的概念

点评：主要是考查了等差数列的概念和数列的单调性的运用，属于难度题．