上海市进才中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题及答案

上海市进才中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．若集合，则实数可取的值的全体所构成的集合为 __．

2．已知，则的取值范围是__________.

3．已知函数为定义在上的奇函数，写出函数的图象的一个对称中心______.

4．已知函数的零点在区间内，常数的取值范围为______.

5．已知，实数的取值范围为__________.

6．已知集合，且为奇函数，则集合的子集个数为______.

7．函数，的反函数为______.

8．函数的单词递增区间是_________.

9．要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500米，池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价（元）关于池底一边的长度（米）的函数关系为：______.

10．若函数是上的严格减函数，则实数的取值范围为______.

11．商品批发市场中，某商品的定价每天随市场波动，甲乙两名采购员在每月的同一天去该市场购买同一种商品，甲每次购买公斤，乙每次购买元（，互不相等），该方案实施2次后______的购买方案平均价格更低.（填“甲”或“乙”）

12．已知函数为，其中，若对任意的恒成立，且函数存在零点，则的最小值为______.

二、单选题

13．已知函数的定义域为，则命题“是偶函数”是命题“对一切实数都成立”的（    ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

14．“对于任意的实数，不等式恒成立”的一个充分必要条件是（    ）

A． B．

C． D．

15．已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值是(　　)

A．4 B．3 C．2 D．1

16．已知函数，，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数，有下界，为其一个下界.类似的，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数，有上界，为其一个上界.若函数，既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.对于下列4个命题：

①若函数有下界，则函数有最小值；

②若定义在上的奇函数有上界，则该函数是有界函数；

③对于函数，若函数有最大值，则该函数是有界函数；

④若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数.

其中真命题的序号为（    ）

A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④

三、解答题

17．设全集，设函数的定义域为集合，函数的值域为集合．

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围．

18．已知关于的不等式.

(1)当时，解该不等式；

(2)若该不等式的解集为，求常数的取值范围.

19．某条货运线路总长2000千米，交通法规定，在该线路上货车最低限速50千米/时（含），最高限速100千米/时（含）.汽油的价格是每升8元，汽车在该路段行驶时，速度为千米/时，每小时油耗为升.（假设汽车保持匀速行驶）

(1)求该线路行车油费（元）关于行车速度（千米/时）的函数关系；

(2)车速为何值时，行车油费达到最低？并求出最低的行车油费；

(3)运营该条线路的刘师傅接到某公司的货运派单，要求在24小时内送达，否则将少支付50元费用作为超时补偿.请写出此时刘师傅驾驶的最优车速.

20．已知函数满足且为奇函数.

(1)求的值；

(2)判断在区间上的单调性；

(3)当时，若对于任意的，总有成立，求实数的取值范围.

21．对于函数,,设区间是上的一个子集,对于区间上任意的,,,当时,如果总有,则称函数是区间上的函数.

(1)判断下列函数是否是定义域上的函数:①,②;

(2)已知定义域上的严格增函数也是定义域上的函数,试问:是否是定义域上的函数?若是,请给出证明;若不是,请说明理由;

(3)若函数为区间上的函数,证明:对于任意的,和任意的,总有.

参考答案：

1．

【分析】根据集合元素的互异性求解即可.

【详解】解：∵ ，∴且 ；

所以，实数可取的值的全体所构成的集合为；

故答案为：

2．

【分析】化成积为定值的形式后,利用基本不等式可得.

【详解】因为,所以,

所以,当且仅当,即时取等号.

故答案为:.

【点睛】本题考查了基本不等式求最小值,属于基础题.

3．

【分析】由奇函数的定义可得的1个对称中心为，由函数图象的变换规律分析可得答案.

【详解】根据题意，函数为定义在上的奇函数，其对称中心为，

将的图象向右平移1个单位得，再向下平移2个单位可得的图象，

所以函数的图象的一个对称中心为；

故答案为：.

4．

【分析】利用函数零点存在性定理即可解决问题.

【详解】∵函数恰有一个零点在区间内，

∴，

∴，

故答案为：.

5．

【分析】利用对数的性质得到，从而判断得的单调性，由此即可求得的范围.

【详解】因为，，

所以在上单调递减，

则，得，即.

故答案为：.

6．4

【分析】根据题意，由幂函数的性质可得集合，进而分析可得答案.

【详解】根据题意，集合，

且为奇函数，

则，则集合有2个元素，

所以集合的子集有个，

故答案为：4.

7．，

【分析】先由二次函数的性质求得，即为反函数的定义域，再由，解得，从而求出反函数.

【详解】解：函数的对称轴为，

∴当时，单调递减，∴，

由可得，解得，

又∵，∴，

∴函数，的反函数为，.

故答案为：，

8．

【分析】先求的定义域，再通过的单调增区间求函数的单词递增区间．

【详解】解：函数的定义域为，

在区间内，由复合函数的单调性得函数的单词递增区间即为函数的单调增区间，即为，

故答案为：

【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，注意函数的定义域，是基础题．

9．，

【分析】根据条件便可得到池底面积为4平方米，底面的另一边长，从而便可得到总造价与的解析式.

【详解】根据条件，该蓄水池的总造价元，池底一边的长度米，底面另一边长为米,

∴长方体的底面积为16，侧面积为，由题意得：

，,

故答案为：，.

10．

【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可.

【详解】是上的严格减函数，，解得，

实数的取值范围是.

故答案为：.

11．乙

【分析】设每次购买时商品的价格分别为元/公斤、元/公斤，可将甲乙2次购买的平均价格用，表示出来，再用基本不等式比较即可得答案.

【详解】设每次购买时商品的价格分别为元/公斤、元/公斤，

则甲的平均价格为：；乙的平均价格为：，

因为，所以；,

（当且仅当时取“=”号），

所以（当且仅当时取“=”号），故乙的平均价格更低，

故答案为：乙.

12．

【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得，由此可得，结合基本不等式的性质分析可得答案.

【详解】根据题意，函数满足对任意的恒成立，

且函数存在零点，必有，则有，

则，

又由，则，

当且仅当时等号成立，

即的最小值为；

故答案为：.

13．C

【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析两个命题的关系，结合充分必要条件的定义可得答案．

【详解】解：根据题意，若是偶函数，即，必有成立，

反之，若，当时，有，则函数为偶函数，

故题“是偶函数”是命题“对一切实数都成立”的充分必要条件，

故选：C．

14．D

【分析】将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，因此利用分类讨论法求得的最小值，即可求得答案.

【详解】对于任意的实数，不等式恒成立，

，

由，得，由，得，

当时，；

当时，，；

当时，,

综上，，.

，

“对于任意的实数，不等式恒成立”的一个充分必要条件是，.

故选：.

15．C

【分析】运用二次方程的韦达定理和对数的运算性质，结合配方法，计算即可得到所求值．

【详解】 是方程的两个根，由韦达定理可得，

可得 ，

则

故选C．

【点睛】本题考查对数的运算性质，以及二次方程根的韦达定理的运用，考查配方法，属于基础题．

16．B

【分析】举特例说明①、④不正确；由奇函数的性质结合已知，可判断②；根据已知推导出，即可判断③；

【详解】根据函数上界，下界，有界的定义分别进行判断即可.

对于①，设，则恒成立，即函数有下界，但函数没有最小值，故①错误；

对于②，若定义在上的奇函数有上界，设上界为，则，根据题意有，，有成立.

所以当，成立，则当时，有，则，即，则；

当时，成立，则当时，，则，即，则；

当时，由奇函数性质可得，所以.

所以，当时，成立；当时，成立；当时，，显然满足.

所以，都有成立，所以函数是有界函数，故②正确；

对于③，对于函数，若函数有最大值，设，则，该函数是有界函数，故③正确；

对于④，令，则函数的定义域为闭区间，

则函数的值域为，则只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数.故④错误；

所以真命题的序号为②③.

故选：B.

17．(1)

(2)

【分析】（1）当时解不等式，再求即可；

（2）先求函数的值域得到集，根据可转化为当时，恒成立，从而分类讨论即可．

【详解】（1）当时，由对数函数的定义域可得，

解得或，

故.

（2）由对勾函数的值域可得，

又因为，

所以，即当时，恒成立，

①当时，恒成立，符合题意，

②当时，即，

因为，所以；

综上所述，实数的取值范围为.

18．(1)；

(2)

【分析】（1）利用对数函数单调性，原不等式等价为，分类讨论求解或由绝对值几何意义求解均可；

（2）不等式的解集为，则恒成立，求最小值即可.

【详解】（1），则

当时，关于的不等式，∴，解集为；

（2）若该不等式的解集为，则恒成立，即，

，则常数的取值范围为.

19．(1)，

(2)，元

(3)50千米/时

【分析】（1）行车所用时间为，汽车每小时油耗升，然后求解行车总费用.

（2）当时，函数严格增，然后求解函数的最小值.

（3）求出行车总费用，通过分段函数，求解函数的最小值即可.

【详解】（1）行车所用时间为，根据汽油的价格是每升8元，

而汽车每小时油耗升，则行车总费用为，.

（2）由（1）知，

令，

设，

则

因为，故，所以

所以当时，函数严格增，

则当时，行车油费最低，最低为元.

（3）在24小时内送达行驶速度为，由题意知行车总费用

，

当时，函数严格增，的最小值为，

当时，函数严格增，，

所以综上所述，最优车速为50千米/时.

20．(1)

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）先由是奇函数得到，从而由不恒为求得即可；

（2）利用复合函数的单调性的性质，先判断得在上单调递减，再通过讨论的范围即判断函数的单调性；

（3）构造函数，将问题转化为，再结合（2）中结论判断得的单调性，从而得解.

【详解】（1）因为是奇函数，

所以，即，

则，得，

则，由于不恒为，故，即，

当时，，不满足题意，舍去；

当时，，由得或，所以的定义域关于原点对称，

又有，故是奇函数，满足题意；

综上：.

（2）由（1）知，

令，易知其在上单调递减，且，

所以当时，在上单调递增，则在上单调递减；

当时，在上单调递减，则在上单调递增；

综上：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增.

（3）对于任意的，总有成立，即恒成立，

令，则，

因为当时，由（2）知在区间上单调递增，

又易知在上单调递增，所以在上单调递增，

故，

所以，即.

21．(1)①是;②不是

(2)不是,理由见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)利用作差法,结合函数的定义即可逐个判定;

(2)不是定义域上的函数,由反函数的性质及函数的定义即可证明;

(3)假设,则,利用函数的定义化简即可得证.

【详解】（1）①当时,

，所以①是定义域上的函数;

②当时,

,所以②不是定义域上的函数.

（2）不是定义域上的函数,理由如下:

因为是定义域上的严格增函数,

所以当时,,即,

若原函数为增函数,则反函数也是增函数,即若,则,

又因为是定义域上的函数,即当时,总有,

所以,即当时,,

综上所述,不是定义域上的函数.

（3）证明:若对于任意的,和任意的,假设,则,

因为函数为区间上的函数,所以,

化简得,

∵,∴,

∴,

∴,

∴.

【点睛】本题主要考查函数恒成立问题，解题的关键是对新函数定义的理解与应用，考查逻辑推理能力，属于难题.