上海市进才中学2021-2022学年高二上学期9月月考数学试题（解析版）

上海市进才中学2021学年第一学期单元检测

高二数学试卷

一､填空题（本大题共12个小题，每题3分，满分36分）

1. 不共线的三点确定___________个平面.（填数字）

【答案】1

【解析】

【分析】由空间几何的公理求解即可

【详解】不在同一条直线上的三个点确定唯一的一个平面

故答案为：1

2. 空间两个平面最多将空间分成___________部分.（填数字）

【答案】4

【解析】

【分析】当两个平面相交时可得答案.

【详解】当两个平面相交时，可讲空间分成最多的部分，分成4部分.

故答案为：4.

3. 若数列的通项公式，其前5项和___________

【答案】

【解析】

【分析】先判断数列为等比数列，再用求和公式求解即可

【详解】数列的通项公式，

则，故数列首项为2公比为2的等比数列，

所以

故答案为：

4. 已知数列满足：，，则___________

【答案】2

【解析】

【分析】由递推关系结合三角函数可知数列的变化规律，即可求解

【详解】数列满足：，，

则，

，

，

由此可知数列是一个周期为2的周期数列，

所以，

故答案为：2

5. 在正方体上，a，b是两条异面直线的面对角线，则它们所成的角大小可能为___________

【答案】或

【解析】

【分析】通过求异面直线与和异面直线与所成角即可.

【详解】解：正方体的面对角线成异面直线的，分平行的面和相交的面两类

如图找两对代表进行计算：

1.异面直线与，其所成的角即为直线与所成的角，；

2.异面直线与，其所成的角即为直线与所成的角，.

故答案为：或.

6. 在2，x，8，y四个数中，前三个数成等比数列，后三个成等差数列，则___________

【答案】或.

【解析】

【分析】根据等比数列和等差数列的概念列式计算即可.

【详解】解：由已知得

解得或，

或.

故答案为：或.

7. 已知数列的通项公式为，且为严格单调递增数列，则实数的取值范围是___________

【答案】

【解析】

【分析】根据递增数列定义，利用做差法可得恒成立，分离参数求解即可.

【详解】由数列是严格单调递增数列，

所以，即，

即恒成立，

又数列是单调递增数列，

所以当时，取得最小值，

所以.

故答案为：

8. 若用“斜二测法”作出边长为2的正三角形△ABC的直观图是，则的重心到底边的距离是___________

【答案】

【解析】

【分析】画出正三角形△ABC的直观图，根据重心分中线的比为来计算重心到底边的距离

【详解】如图为正三角形△ABC的直观图，为重心到底边的距离

则，

因为为的重心，，

.

故答案为：.

9. 已知数列满足则的最小值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以，设f（n），由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．

【详解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33

且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+33．

从而

设f（n），令f′（n），

则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，

因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．

又因为，，

所以的最小值为

故答案为

【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．

10. 已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则________

【答案】2

【解析】

【详解】由，若对于任意的第项等于的第项，

则，则

所以，

所以.

11. 在数列中，对任意，，当且仅当，若满足，则的最小值为___________.

【答案】512

【解析】

【分析】不妨设，则，从而得到，同理求出，，，利用已知的不等式求解，求出的最小值，从而得到的最小值．

详解】不妨设，，

由题意可得，，

因为，

所以，

同理可得，，，，

所以，

因为，

所以，

解得，又，

所以的最小值整数解为9，

故的最小值为．

故答案为：512．

12. 空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个

【答案】32

【解析】

【分析】按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解

【详解】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；

然后分3分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性：

（1）全同侧，这样的平面有2个；

（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，

1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，

考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，

故共有6个，

所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有个，

故答案为：32

二､选择题（本大题共4个小题，每题3分，满分12分）

13. 一个不是常数列等比数列中，值为的项数最多有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 无穷多个

【答案】D

【解析】

【分析】

通过举特例可以选出正确答案.

【详解】例如数列：，显然值为3的项数有无穷多个.

故选：D

【点睛】本题考查了等比数列的性质，属于基础题.

14. 下列命题正确的个数是（    ）

①若a，b共面，b，c共面，则a，b，c共面；

②若a，b共面，b，c共面，则a，c共面；

③若a，b共面，b，c共面，c，a共面，则a，b，c共面；

④若a，b不共面，b，c不共面，则a，c不共面；

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】以正方体棱上的a，b，c为例，逐个判断即可求解

【详解】以正方体棱上的a，b，c为例说明：

对于①②：

如图：

a，b共面，b，c共面，

而显然a，c异面，故a，b，c不共面；

所以①②都错误；

对于③：

如图：

a，b共面，b，c共面，c，a共面，

而a，b，c不共面，故③错误；

对于④：

如图：

a，b不共面，b，c不共面，

而a，c共面，故④错误；

综上，正确的个数为0

故选：A

15. 在正方体的一个面所在的平面内任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数不可能是（    ）

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

【答案】D

【解析】

【分析】根据异面直线的定义及直线的位置关系，逐一分析，即可得答案.

【详解】当直线在AB位置时，与其异面直线有，共4条，

当直线在位置时，除外，其他8条直线均与其异面，

当直线在GH位置时，，与其异面直线有共6条，

当直线在AH位置时，与其异面直线有，共7条，

所以不可能是5条，

故选：D

16. 已知函数，各项均不相等的数列满足，记.①若，则；②若是等差数列，且，则对恒成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（    ）

A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对

【答案】A

【解析】

【分析】①利用正弦函数为奇函数可得，再进行累加即可得到答案；

②是等差数列，当时，对分为奇数和偶数进行讨论；

【详解】解：在为奇函数且单调递增，

①

所以，且，①正确；

②是等差数列，当时，

若为偶数，，

，

同理，…，，

所以

若为奇数，，

，，…，

所以；

同理，当时，也有.②正确.

故选：A

【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质及正弦函数的单调性、奇偶性，对抽象能力要求较高，属于难题.

三､解答题（本大题共5小题，满分52分）

17. 已知平面平面，，，且，用反证法证明：b，c是异面直线.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】首先判断不相交，假设不是异面直线，则，由此推出矛盾，从而证明是异面直线.

【详解】由于，，所以，

由于，所以不相交.

假设不是异面直线，则，

由于则，

这与矛盾

所以是异面直线.

18. 已知M，N是长方体的棱，的中点，且

（1）若，求异面直线MN与所成角的大小；

（2）若异面直线MN与所成角的大小为，求异面直线CD和所成角的大小.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）连接，则为所求角，结合三角形知识求出角度即可

（2）设，由已知条件求出，又易知为所求角，结合三角形知识求出角度即可

【详解】（1）连接，

易知，所以为异面直线MN与所成的角，

因为，

所以，

所以异面直线MN与所成角的大小；

（2）设，则，，

因为异面直线MN与所成角的大小为，

所以，

解得，

又，

所以为异面直线CD和所成的角，

因，

所以，

所以异面直线CD和所成角的大小为

19. 已知在正方体中，M，N，P分别为，AD，的中点，棱长为1，

（1）求证：平面；

（2）过M，N，P三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长.

【答案】（1）证明见解析；（2）截面见解析，截面周长为

【解析】

【分析】（1）连接，先证明，即可证明平面；

（2）先作出过M，N，P三点作正方体的截面为，再求出相关线段的长度，即可求解

【详解】（1）连接，如图：

则易知，，

所以,

因为平面，平面，

所以平面；

（2）过M，N，P三点作正方体的截面为，如图所示：

则截面的周长为：，

因为正方体棱长为1，则

，

，

所以，

所以截面的周长为

20. 设数列的前项和为，若（），则称是“紧密数列”.

（1）已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为，求的取值范围；

（2）若数列的前项和为（），判断是否是“紧密数列”，并说明理由；

（3）设是公比为的等比数列，若与都是“紧密数列”，求的取值范围.

【答案】(1) (2) 是“紧密数列”(3)

【解析】

【详解】试题分析：

（1）由题意得到关于x的不等式组，求解不等式组可得.

（2）由题意可得．则，结合反比例函数的性质讨论可得，则是“紧密数列”．

（3）由题意，是“紧密数列”，所以．分类讨论：

①当时数列为“紧密数列”，满足题意．

②当时，结合等比数列前n项和公式有，对任意恒成立．讨论可得：（ⅰ）当时，满足题意；（ⅱ）当时，不存在．

则的取值范围是．

试题解析：

（1）由题意得：，所以.

（2）由数列的前项和，

得．

所以，，

因为对任意，，即，所以，，

即是“紧密数列”．

（3）由数列是公比为的等比数列，得，

因为是“紧密数列”，所以．

①当时，，因为，

所以时，数列为“紧密数列”，故满足题意．

②当时，，则，因为数列为“紧密数列”，

所以，对任意恒成立．

（ⅰ）当时，，

即，对任意恒成立．

因为，，，

所以，，

所以，当时，，对任意恒成立．

（ⅱ）当时，,即，对任意

恒成立．因为．所以，解得，

又，此时不存在．

综上所述，的取值范围是．

点睛：(1)本题解题的关键是抓住新定义的概念：若（），则称是“紧密数列”可将问题迎刃而解．

(2)对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．

21. 数列满足：，且对任意，都有．

（1）求；

（2）设，求证：对任意，都有；

（3）求数列的通项公式．

【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

【分析】（1）根据题中递推关系，代入数据，结合为递增数列，分析推理，即可求得答案.

（2）利用反证法，假设存在，使得，即，根据题中条件，可证，该结论与相反，假设不成立，原命题成立；

（3）由（2）可知，，计算整理可得，赋值可得，进而可得对任意的，根据等差数列的定义，即可求得答案.

【详解】（1）解：根据题意，可知数列为递增数列，

当时，，解得，

当时，，

因为，

当时，，

又因为当时，，

又由可得，，即，该结果与题意相反，故；

由上可得，，满足题意，

综上，；

（2）证明：假设存在，使得，即，

则由，及，得，

由，及，得，

由此可得，，该结论与相反，

∴假设不成立，即，

即对任意，都有．

（3）解：由（2）可知，，

所以，

所以对任意的，都有，

当时，得，

又由，得，

设，由，及，得，

所以对任意的，所以，

所以是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以．

【点睛】解题的关键是根据递推关系，结合数列的单调性，分析推理，结合反证法，进行求解，综合性较强，属中档题.