2022-2023学年江苏省扬州市八年级下册数学第一次月考模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年江苏省扬州市八年级下册数学第一次月考模拟卷（AB卷）含解析，共51页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省扬州市八年级下册数学第一次月考模拟卷
（A卷）
一、选一选（每小题3分，共24分）
1. 下列适合用普查的是（  ）
A. 长江中现有鱼的种类 B. 某品牌灯泡的使用寿命 C. 夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 D. 航天飞机的零件
2. 某校计划修建一座既是对称图形，又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计有正三角形、正五边形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是
A 正三角形 B. 正五边形 C. 等腰梯形 D. 菱形
3. 如图，所提供的信息正确的是（ ）

A. 七年级学生至多 B. 九年级的男生是女生的两倍
C. 九年级学生女生比男生多 D. 八年级比九年级的学生多
4. 如图所示的两个统计图，女生人数多的学校是（ ）

A. 甲校 B. 乙校
C. 甲、乙两校女生人数一样多 D. 无法确定
5. 在一个月的四个星期天中，某校环保小组共搜集废电池226节，每个星期天所搜集的电池数量如下表：
星期天次序
1
2
3
4
搜集电池节数
80
63
51
32

下面四幅关于四个星期天搜集废电池节数统计图中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，菱形ABCD中，，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）

A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
7. 如图，是汽车行驶速度（km／时）和时间（分）的关系图，下列说法中正确的个数为（ ）

（1）汽车行驶时间为40分钟
（2）AB表示汽车匀速行驶
（3）在第30分钟时，汽车的速度是90千米／时
（4）从C到D汽车行驶了1200km
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：
①EF⊥AC； ②四边形ADFE菱形； ③AD=4AG； ④FH=BD
其中正确的结论有（ ）．

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
二、填 空 题（每小题3分，共30分）
9. 为了解广陵区八年级学生视力情况，在全区八年级学生中随机抽取了800名学生进行视力检查，在这个问题中样本容量是_______．
10. 一个扇形统计图中，某部分所对应的圆心角为36°，则该部分占总体的百分比是_____.
11. 小强“每人每天的用水量”这一问题时，收集到80个数据，数据是70升，最小数据是42升，若取组距为4，则应分为_________组绘制频数分布表．
12. 在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，则BD=_______．
13. 在中，，，是边上的中线，则的长是______．
14. 如图，菱形ABCD的对角线AC＝24，BD＝10，则菱形的周长＝________．

15. 如图，是某班学生外出乘车、步行、骑车的人数条形统计图和扇形统计图，则该班共有____名学生．

16. 把40个数据分成6组，到第四组的频数分别为9,5,8,6，第五组的频率是0.1，则第六组的频数是________．
17. 已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为2，则另一条对角线的长为________．
18. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是______．

解 答 题（共96分）
19. 如图，在□ABCD中，∠BAD平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C、∠B的度数．

20. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=4cm．求矩形的面积．

21. 体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表：
次数
60≤x＜90
90≤x＜120
120≤x＜150
150≤x＜180
180≤x＜210
频数
16
25
9
7
3
（1）全班有多少同学？
（2）组距是多少？组数是多少？
（3）跳绳次数x在120≤x＜180范围的同学有多少？占全班同学的百分之几（到0.1%）？
22. 为创建大数据应用示范城市，我市某机构针对市民最关心的四类生活信息进行了民意（被者每人限选一项），下面是部分四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次参与的人数有______ 人；
（2）关注城市信息的有______ 人，并补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，D部分的圆心角是______度.
23. 某校随机了部分学生，就“你最喜欢的图书类别”（只选一项）对学生课外阅读的情况作了统计，将结果统计后绘制成如下统计表和条形统计图，请根据统计图表提供的信息解答下列问题：
种类
频数
频率
卡通画
a
.45
时文杂志
b
0.16
武侠小说
50
c
文学名著
d
e


（1）这次随机了______名学生，统计表中a=______，d=______；
（2）假如以此统计表绘出扇形统计图，则武侠小说对应的圆心角是______；
（3）试估计该校1500名学生中有多少名同学最喜欢文学名著类书籍？
24. 如图，菱形ABCD的面积为96，对角线AC=16，求这个菱形的周长．

25. 如图，四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形，点E，G 分别在 AD，CD 上，连接 AF， BF，CF．
（1）求证：AF=CF；
（2）若∠BAF=35°，求∠BFC 的度数．

26. 如图，在□ABCD中，AC为对角线，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中线，求△ACE的面积．

27. 如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD是矩形，若△PCD是等腰三角形，求AP的长．

28. 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交线段BC于点E，交线段DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．
（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；
（2）如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；
（3）如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG的度数．


























2022-2023学年江苏省扬州市八年级下册数学第一次月考模拟卷
（A卷）
一、选一选（每小题3分，共24分）
1. 下列适合用普查的是（  ）
A. 长江中现有鱼的种类 B. 某品牌灯泡的使用寿命 C. 夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 D. 航天飞机的零件
【正确答案】D

【分析】由普查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样得到的结果比较近似．
【详解】解：A、长江中现有鱼的种类，无法普查，故A没有符合题意；
B、某品牌灯泡的使用寿命，具有破坏性，适合抽样，故B没有符合题意；
C、冰淇淋的个体数量多，范围广，工作量大，没有宜采用普查，只能采用抽样；故C没有符合题意；
D、航天飞机的零件，意义重大，因此应用普查，故D符合题意．
故选D．
此题主要考查了抽样和全面的区别，选择普查还是抽样要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的、无法进行普查、普查的意义或没有大时，应选择抽样，对于度要求高的，事关重大的往往选用普查．
2. 某校计划修建一座既是对称图形，又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计有正三角形、正五边形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是
A. 正三角形 B. 正五边形 C. 等腰梯形 D. 菱形
【正确答案】D

【详解】试题分析：根据对称图形与轴对称图形的概念依次分析即可．
正三角形、正五边形、等腰梯形只轴对称图形，菱形既是对称图形，又是轴对称图形，
故选D.
考点：本题考查的是对称图形与轴对称图形
点评：解答本题的关键是熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴；在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做对称图形．
3. 如图，所提供的信息正确的是（ ）

A. 七年级学生至多 B. 九年级的男生是女生的两倍
C. 九年级学生女生比男生多 D. 八年级比九年级的学生多
【正确答案】B

【分析】根据条形图，可读出各年级的男生和女生人数，进而求出各年级的总人数，根据所得数值，可对四个选项进行判断．
【详解】根据图中数据计算：七年级人数是8+13=21；八年级人数是14+16=30；九年级人数是10+20=30，所以A和D错误；
根据统计图的高低，显然C错误；
B中，九年级的男生20人是女生10人的两倍，正确．
故选B．
从没有同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，根据图中数据进行正确计算．
4. 如图所示的两个统计图，女生人数多的学校是（ ）

A. 甲校 B. 乙校
C. 甲、乙两校女生人数一样多 D. 无法确定
【正确答案】D

【详解】试题分析：根据题意，扇形图的性质，扇形统计图只能得到每部分所占的比例，具体人数没有能直接体现，易得答案．
解：根据题意，因没有知道甲乙两校学生总人数，只知道两校女生占的比例，
故无法比较两校女生的人数，
故选D．
5. 在一个月的四个星期天中，某校环保小组共搜集废电池226节，每个星期天所搜集的电池数量如下表：
星期天次序
1
2
3
4
搜集电池节数
80
63
51
32

下面四幅关于四个星期天搜集废电池节数的统计图中，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】C

【详解】解：根据图表可知：个星期天搜集废电池节数至多，第四个星期天搜集废电池节数至少，即它们各自所占的百分比与之对应，圆心角的度数也与此一致，
故选C．
6. 如图，菱形ABCD中，，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）

A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
【正确答案】C

【分析】根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可：
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB=4．
∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16．
故选C．
7. 如图，是汽车行驶速度（km／时）和时间（分）的关系图，下列说法中正确的个数为（ ）

（1）汽车行驶时间为40分钟
（2）AB表示汽车匀速行驶
（3）在第30分钟时，汽车的速度是90千米／时
（4）从C到D汽车行驶了1200km
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B

【详解】试题解析：读图可得，在x=40时，速度为0，故（1）正确；
AB段，y的值相等，故速度没有变，故（2）正确；
x=30时，y=80，即在第30分钟时，汽车的速度是80千米/时；故（3）错误；
CD段，y的值相等，故速度没有变，时间为15分钟，故行驶路程为80×15=1200km,故（4）正确.
故选B．
8. 如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：
①EF⊥AC； ②四边形ADFE为菱形； ③AD=4AG； ④FH=BD
其中正确的结论有（ ）．

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【正确答案】C

【详解】试题分析：∵△ACE等边三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE=AB，
∴∠AEF=∠BAC=30°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB=90°，
∴HF∥BC，
∵F是AB中点，
∴HF=BC，
∵BC=AB，AB=BD，
∴HF=BD，故④说确；
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AE≠EF，
∴四边形ADFE没有是菱形；
故②说法没有正确；
∴AG=AF，
∴AG=AB，
∵AD=AB，
则AD=4AG，故③说确，
故选C．

考点：菱形的判定和性质；全等三角形的判定和性质．
二、填 空 题（每小题3分，共30分）
9. 为了解广陵区八年级学生的视力情况，在全区八年级学生中随机抽取了800名学生进行视力检查，在这个问题中样本容量是_______．
【正确答案】800

【详解】试题解析：为了了解广陵区七年级学生的视力情况，在全县七年级学生中随机抽取了800名学生进行视力检查，在这个问题中，样本容量是800，
故答案为800.
10. 一个扇形统计图中，某部分所对应的圆心角为36°，则该部分占总体的百分比是_____.
【正确答案】10%．

【详解】解：36°÷360°×=10%．
故答案为10%．
11. 小强“每人每天的用水量”这一问题时，收集到80个数据，数据是70升，最小数据是42升，若取组距为4，则应分为_________组绘制频数分布表．
【正确答案】8

【详解】解：应分（70-42）÷4=7，
∵组的下限应低于最小变量值，一组的上限应高于变量值，
∴应分8组．
故8．
12. 矩形ABCD中，AB=1，BC=2，则BD=_______．
【正确答案】

【详解】试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC
在Rt△ABC中，AB=1，BC=2，∠B=90°
∴AC=
∴BD=
故答案为.
13. 在中，，，是边上的中线，则的长是______．
【正确答案】5

【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，
∴CD=AB=5，
故填5．
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
14. 如图，菱形ABCD的对角线AC＝24，BD＝10，则菱形的周长＝________．

【正确答案】52

【详解】试题解析：菱形ABCD的对角线AC=24，BD=10，则菱形的边长==13，则菱形的周长L=13×4=52．
故答案为52．
15. 如图，是某班学生外出乘车、步行、骑车的人数条形统计图和扇形统计图，则该班共有____名学生．

【正确答案】40

【详解】试题解析：根据条形图可知：乘车的人数是20人，所以总数是20÷50%=40（人）．
16. 把40个数据分成6组，到第四组的频数分别为9,5,8,6，第五组的频率是0.1，则第六组的频数是________．
【正确答案】8.

【分析】先求出第5组的频数，然后根据6个组的频数和等于数据总数即可求得第6组的频数．
【详解】∵有40个数据，共分成6组，第5组的频率是0.1，
∴第5组的频数为40×0.1=4；
又∵第1∼4组的频数分别为9，5，8，6，
∴第6组的频数为40−(9+5+8+6+4)=8.
故答案为8.
此题考查频数与频率，解题关键在于先求出第5组的频数
17. 已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为2，则另一条对角线的长为________．
【正确答案】2或6．

【详解】试题分析：因为菱形的一个内角为60°，所以菱形短的对角线与两邻边形成等边三角形，当2为短的对角线长时，菱形边长是2，短的对角线一半是，由勾股定理得较长的对角线一半是3，所以另一条对角线为6；当2为较长的对角线时，其一半是，短的对角线一半就是÷=1，所以另一条对角线长就是2，综上所述，另一条对角线的长是2或6．
考点：1．菱形性质；2．直角三角形计算．
18. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是______．

【正确答案】

【详解】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=4，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=MD=1，
∴FM=DM×cos30°=，
∴，
∴A′C=MC﹣MA′=．
故答案为．

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．
解 答 题（共96分）
19. 如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C、∠B的度数．

【正确答案】∠C=50°，∠B=130°．

【分析】根据角平分线的定义得到∠BAD=2∠DAE=50°，再根据平行四边形的邻角互补和平行四边形的对角相等，就可求得∠C和∠B的度数．
【详解】∵∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，
∴∠BAD＝50°．
∴在平行四边形ABCD中，∠C＝∠BAD＝50°，∠B＝180°－∠C＝130°．
本题主要考查了平行四边形的性质，属于基础题目，熟练掌握平行四边形的性质是关键．
20. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=4cm．求矩形的面积．

【正确答案】S矩形=

【详解】试题分析：根据矩形性质得出∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，推出OA=OB，求出等边三角形AOB，求出OA=OB=AB=4cm，即可得出答案．
试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AB=4cm，
∴AC=2AO=8cm，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm，AC=8cm，
由勾股定理得：AC=BC=4cm．
∴矩形ABCD面积=AB•BC=4×4=16（cm2）．
21. 体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表：
次数
60≤x＜90
90≤x＜120
120≤x＜150
150≤x＜180
180≤x＜210
频数
16
25
9
7
3
（1）全班有多少同学？
（2）组距是多少？组数是多少？
（3）跳绳次数x在120≤x＜180范围的同学有多少？占全班同学的百分之几（到0.1%）？
【正确答案】（1）60人；（2）组距是30，组数是5；（3）16人，占全班同学的26.7%.

【详解】试题分析：（1）将各组频数相加即可得；
（2）由频率分布表即可知组数和组距；
（3）将120≤x＜180范围的两分组频数相减可得，再将其人数除以总人数即可得百分比；
（4）根据各分组频数可制成条形图．
试题解析：（1）全班有同学16+25+9+7+3=60（人）；
（2）组距是30，组数是5；
（3）跳绳次数x在120≤x＜180范围的同学有9+7=16人，占全班同学的×≈26.7%；
（4）如下图所示：

本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．
22. 为创建大数据应用示范城市，我市某机构针对市民最关心的四类生活信息进行了民意（被者每人限选一项），下面是部分四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次参与的人数有______ 人；
（2）关注城市信息的有______ 人，并补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，D部分的圆心角是______度.
【正确答案】 ①. 1000 ②. 150 ③. 144°

【详解】试题分析：（1）由C类别人数占总人数的20%即可得出答案；
（2）根据各类别人数之和等于总人数可得B类别的人数；
（3）用360°乘以D类别人数占总人数的比例可得答案．
试题解析：（1）本次参与的人数有200÷20%=1000（人），
故答案为1000；
（2）关注城市信息的有1000-（250+200+400）=150人，补全条形统计图如下：

故答案为150；
（3）扇形统计图中，D部分的圆心角是360°×=144°，
故答案为144.
23. 某校随机了部分学生，就“你最喜欢的图书类别”（只选一项）对学生课外阅读的情况作了统计，将结果统计后绘制成如下统计表和条形统计图，请根据统计图表提供的信息解答下列问题：
种类
频数
频率
卡通画
a
.45
时文杂志
b
0.16
武侠小说
50
c
文学名著
d
e


（1）这次随机了______名学生，统计表中a=______，d=______；
（2）假如以此统计表绘出扇形统计图，则武侠小说对应的圆心角是______；
（3）试估计该校1500名学生中有多少名同学最喜欢文学名著类书籍？
【正确答案】（1）200，90，28；（2）90°；（3）210.

【详解】试题分析：（1）由条形统计图可知喜欢时文杂志的人数为32人，由统计表可知喜欢时文杂志的人数所占的频率为0.16，根据频率=频数÷总数，即可求出的学生数，进而求出d的值；
（2）算出喜欢武侠小说的频率，乘以360°即可；
（3）由（1）可知喜欢文学名著类书籍人数所占的频率，即可求出该校1500名学生中有多少名同学最喜欢文学名著类书籍．
试题解析：：（1）由条形统计图可知喜欢时文杂志的人数为32人，由统计表可知喜欢时文杂志的人数所占的频率为0.16，
所以这次随机的学生人数为：=200名学生，
所以a=200×0.45=90，b=32，
∴d=200-90-32-50=28，
故答案为200，28；
（2）武侠小说对应的圆心角是360°×=90°，
故答案为90°；
（3）该校1500名学生中最喜欢文学名著类书籍的同学有1500×=210名．
24. 如图，菱形ABCD的面积为96，对角线AC=16，求这个菱形的周长．

【正确答案】40.

【详解】试题分析：根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求得菱形ABCD的周长．
如图所示：

试题解析：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=OD=BD，AO=OC=AC=8，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
∴AC•BD=96，
∴BD=12，
∴BO=6，
∴AB=，
∴菱形的周长=4×10=40．
25. 如图，四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形，点E，G 分别在 AD，CD 上，连接 AF， BF，CF．
（1）求证：AF=CF；
（2）若∠BAF=35°，求∠BFC 的度数．

【正确答案】（1）见解析；（2）∠BFC=100°

【详解】试题分析：（1）利用正方形的性质全等三角形的判定与性质得出△AFE≌△CFG进而得出AF=CF；
（2）利用正方形的对角线平分对角进而得出答案．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AD=CD，ED=GD，FE=FG．
∴AD-ED=CD-GD．
∴AE=CG．
在△AFE和△CFG中
，
∴△AFE≌△CFG（SAS），
∴AF=CF；
（2）解：由（1）得△AEF≌△CGF，
∴∠AFE=∠CFG．
又∵AB∥EF，∠BAF=35°，
∴∠AFE=∠CFG=∠BAF=35°．
连接DF，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠DFG=45°．
∴∠BFC=180°-∠CFG-∠GFD=180°-35°-45°=100°．
即∠BFC=100°．
26. 如图，在□ABCD中，AC为对角线，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中线，求△ACE的面积．

【正确答案】S△ACE=6

【详解】试题分析：连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，与AB交于点H，则CH为△ABC的高；由三线合一，求得AH的长，再由勾股定理求得CH的长，继而求得△ABC的面积，又由AE是△ABC的中线，求得△ACE的面积．
试题解析：（1）如图，连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，则它与AB的交点即为H．

∵BD、AC是▱ABCD的对角线，
∴点O是AC的中点，
∵AE、BO是等腰△ABC两腰上的中线，
∴AE=BO，AO=BE，
∵AB=BA，
∴△ABO≌△BAE（SSS），
∴∠ABO=∠BAE，
△ABF中，∵∠FAB=∠FBA，∴FA=FB，
∵∠BAC=∠ABC，
∴∠EAC=∠OBC，
由，得△AFC≌BFC（SAS）
∴∠ACF=∠BCF，即CH是等腰△ABC顶角平分线，
所以CH是△ABC的高；
（2）∵AC=BC=5，AB=6，CH⊥AB，
∴AH=AB=3，
∴CH==4，
∴S△ABC=AB•CH=×6×4=12，
∵AE是△ABC的中线，
∴S△ACE=S△ABC=6．
27. 如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD是矩形，若△PCD是等腰三角形，求AP的长．

【正确答案】AP=4或AP=5或AP=

【详解】试题分析：先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论.
试题解析：在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，
∴DC=AB=6，
∴AC==10，
要使△PCD是等腰三角形，
①当CP=CD时，AP=AC-CP=10-6=4，
②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PD=PA，
∴PA=PC，
∴AP=AC=5，
③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，

∵S△ADC=AD•DC=AC•DQ，
∴DQ=，
∴CQ=，
∴PC=2CQ=，
∴AP=AC-PC=10-=；
所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或.
28. 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交线段BC于点E，交线段DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．
（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；
（2）如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；
（3）如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG的度数．

【正确答案】（1）证明见解析；
（2）∠BDM的度数为45°；
（3）∠BDG的度数为60°.

【分析】（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；
（2）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM=BM，∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到∠BDM的度数；
（3）延长AB、FG交于H，连接HD，求证平行四边形AHFD为菱形，得出△ADH，△DHF为全等的等边三角形，证明△BHD≌△GFD，即可得出答案．
【详解】（1）∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形．
（2）如图，连接BM，MC，

∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME和△DMC中，
∵
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB=MD，
∠DMC=∠BME．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，
∴∠BDM=45°；
（3）∠BDG=60°，
延长AB、FG交于H，连接HD．

∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD为平行四边形，
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，
∴△DAF为等腰三角形，
∴AD=DF，
∴平行四边形AHFD为菱形，
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°，
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，
∴BH=GF，
在△BHD与△GFD中，
∵，
∴△BHD≌△GFD（SAS），
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．
此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
2022-2023学年江苏省扬州市八年级下册数学第一次月考模拟卷
（B卷）
一、选一选
1. 下面给出的5个式子中：①3＞0，②4x+3y＞0，③x=3，④x－1，⑤x+2≤3，其中没有等式有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 已知等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A. 12cm B. 16cm C. 16cm或20cm D. 20cm
3. 若，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4. 等腰三角形一腰上高与另一腰的夹角为30°，则底角的度数为（　　）
A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 60°或30°
5. 在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，则AB的长度是（　　）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的是（　　）个．

A 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题
7. 用没有等号“＞、＜、≥、≤”填空：a2+1______0．
8. 一个等腰三角形两边长分别为5和2，则这个三角形的周长为__________
9. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为10cm，那么△ABC的周长为_____cm．

10. 已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差没有大于2”，则x的取值范围是________________．
11. 如图，，，在上，，在上，且，，，则的度数是______度.

12. 平面直角坐标系中，A（0，4），B（-3，0），C在x轴正半轴上，且△ABC为等腰三角形，则C点坐标为___________
三、解 答 题
13. 解下列没有等式(组)，并把解集在数轴上表示出来．
(1)
(2).

14. 如图，在△ABC中，∠Ｃ=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=5cm，∠CAD=32°，求CD的长度及∠B的度数．

15. 已知：如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．

16. 已知：如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点D在BC边上．
求证：AD＝BE．

17. 如图，在中，，是边上的中点，于点，于点．求证：．

18. 用无刻度尺作图:
（1）在图中找一点O，使OA=OB=OC；
（2）在AC上找一点P，使得P到AB，BC的距离相等.

19. 如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC垂直平分线，线段DE=1cm，则BD的长为_____.

20. 解没有等式组，并在数轴上表示没有等式组的解集．
21. 某校计划组织师生共300人参加大型公益，如果租用6辆大客车和5辆小客车，恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
（2）由于参加的人数增加了30人，学校决定调整租车，在保持租用车辆总数没有变的情况下，且所有参加的师生都有座位，求租用小客车数量的值．
22. 如图，直线l1：y1=﹣x+m与y轴交于点A（0，6），直线l2：y=kx+1分别与x轴交于点B（﹣2，0），与y轴交于点C，两条直线交点记为D．

（1）m=　 　，k=　 　；
（2）求两直线交点D的坐标；
（3）根据图象直接写出y1＜y2时自变量x的取值范围．
23. 如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，，OB＝2，∠AOB平分线OC交AB于C，过作与垂直的直线．动点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线以相同的速度运动，当点到达点时，同时停止运动．
（1）OC＝　 　，BC＝　 　；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．


























2022-2023学年江苏省扬州市八年级下册数学第一次月考模拟卷
（B卷）
一、选一选
1. 下面给出的5个式子中：①3＞0，②4x+3y＞0，③x=3，④x－1，⑤x+2≤3，其中没有等式有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】B

【分析】根据没有等式的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得：3＞0；4x+3y＞0；x+2≤3是没有等式．
故选B．
本题主要考查没有等式的定义，熟练掌握没有等式的定义是解题的关键．
2. 已知等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A. 12cm B. 16cm C. 16cm或20cm D. 20cm
【正确答案】D

【分析】根据题意可分当腰长为8cm和当腰长为4cm，然后三角形的三边关系可求解．
【详解】解：由题意可得：
当腰长为8cm，则有底边长为4cm，符合三边关系，所以它的周长为：8+8+4=20cm；
当腰长为4cm，则有底边长为8cm，4+4=8，没有符合三边关系，
综上所述：等腰三角形的边长为8cm，8cm，4cm，它的周长为20cm．
故选D．
本题主要考查等腰三角形的定义及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．
3. 若，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】若，，，，当c＞0时，
故选：B
4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角的度数为（　　）
A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 60°或30°
【正确答案】D

【详解】当高在三角形的内部时，如图一，因为∠BDC=90°，∠CBD=30°，所以∠C=60°；当高在三角形的外部时，如图二，因为∠BDC=90°，∠ABD=30°，所以∠DAB=60°，所以∠ABC+∠C=60°，所以∠C=30°，故选D.

图一 图二
5. 在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，则AB的长度是（　　）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【正确答案】A

【详解】因为CD⊥AB，∠ACB是直角，∠A=30°，所以∠BCD=30°，所以BC=2BD，AB=2BC，所以AB=4BD=4×1=4，故选A.
6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的是（　　）个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】D

【详解】解：因为∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
所以CD=ED，则①正确；
因∠B+∠BDE=90°，∠B+∠BAC=90°，
所以∠BDE=∠BAC，则③正确；
因为CD=ED，AD=AD，
所以Rt△AED≌Rt△ACD，
所以∠EDA=∠CDA；AC=AE，
因为AE+BE=AB，
所以AC+BE=AB，
则②④正确，
故选D.
二、填 空 题
7. 用没有等号“＞、＜、≥、≤”填空：a2+1______0．
【正确答案】＞

【详解】试题解析：根据a2≥0，
∴a2+1＞0.
考点：1.没有等式的定义；2.非负数的性质：偶次方．
8. 一个等腰三角形的两边长分别为5和2，则这个三角形的周长为__________
【正确答案】12

【分析】分5作腰和2作腰，两种情形求解即可.
【详解】解：当5为等腰三角形的腰时，三边长分别为5,5,2，
满足两边之和大于第三边，
此时，等腰三角形存在，
且周长为5+5+2=12；
当2为等腰三角形的腰时，三边长分别为5,2,2，
没有满足两边之和大于第三边，
此时，等腰三角形没有存在，
综上所述，等腰三角形的周长为12，
故答案为12.
本题考查了等腰三角形的按边分类的周长计算问题，正确进行分类是解题的关键.
9. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为10cm，那么△ABC的周长为_____cm．

【正确答案】16

【分析】根据DE是AC的垂直平分线以及AE＝3cm，即可得出DA＝DC且AC＝6cm，再根据△ABD的周长和△ABC的周长之间的关系即可得出C△ABC的值．
【详解】∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，
∴AC＝2AE＝6cm，DA＝DC，
∵C△ABD＝AB+BD+DA，C△ABC＝AB+BD+DC+CA＝AB+BD+DA+CA＝C△ABD+CA，且C△ABD＝10cm，
∴C△ABC＝10+6＝16cm，
故答案为16．
本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形的周长，解题的关键是找出△ABD的周长和△ABC的周长之间的关系．解决该题型题目时，根据线段垂直平分线的性质找出相等的线段是关键．
10. 已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差没有大于2”，则x的取值范围是________________．
【正确答案】＜x≤6

【详解】解：依题意有，解得＜x≤6．
故x的取值范围是：＜x≤6．
故＜x≤6．
11. 如图，，，在上，，在上，且，，，则的度数是______度.

【正确答案】100

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到角之间的关系，利用这些关系可得到答案．
【详解】解：∵AB=BC=CD，EC=ED=EF
∴∠ACB=∠A=20°
∴∠BDC=∠CBD=40°
∴∠EDC=∠DCE=∠CDB+∠A=60°
∴∠DEC=180°-60°-60°=60°
∴∠DFE=∠EDF=∠DEC+∠A=80°
∴∠FEG=∠DFE +∠A =100°．
故答案为100．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质；反复运用三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，找准角之间的关系式正确解答本题的关键．
12. 平面直角坐标系中，A（0，4），B（-3，0），C在x轴正半轴上，且△ABC为等腰三角形，则C点坐标为___________
【正确答案】（，0）（3,0）（2,0）

【详解】如图，当AB=AC1时，OC1=OB=3，所以C1（3，0）；当BA=BC2时，因为OA=4，OB=3，∠AOB=90°，所以AB=5，所以BC2=5，则OC2=5-3=2，所以C2（2，0）；③当AC3=BC3时，点C3在AB的垂直平分线上，BD=，所以BC3=，则OC3=-3=，所以C3（，0），故答案为（，0）（3,0）（2,0）.

三、解 答 题
13. 解下列没有等式(组)，并把解集在数轴上表示出来．
(1)
(2).

【正确答案】（1）x1；在数轴上表示见解析；（2）-1
【详解】试题分析：（1）去分母，移项合并，将x系数化为1，即可求出解集，表示在数轴上即可；
（2）分别求出没有等式组中两没有等式的解集，表示在数轴上，找出解集的公共部分即可得到没有等式组的解集．
试题解析：（1）去分母得：5x-1≤4x，
移项合并得：x≤1，
表示在数轴上，如图所示：

（2） ，
由①解得：x＞-1；
由②解得：x≤2，
表示在数轴上，如图所示：

则没有等式组的解集为-1＜x≤2．
14. 如图，在△ABC中，∠Ｃ=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=5cm，∠CAD=32°，求CD的长度及∠B的度数．

【正确答案】CD的长度为5cm,∠B的度数为26°．

【详解】试题分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE；再根据角平分线的定义求出∠BAC，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
试题解析：∵AD平分∠BAC ，ＤE⊥AB，DC⊥AＣ，∴CD=ＤE=5cm，
又∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠CAD=2×32°=64°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣64°=26°．
15. 已知：如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．

【正确答案】见解析．

【分析】易证△ABD≌△ACD，则可得证.
【详解】解：证明：∵∠1＝∠2，
∴BD＝CD，
在△ABD与△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
即AD平分∠BAC．
此题主要考查全等三角形判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法.
16. 已知：如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点D在BC边上．
求证：AD＝BE．

【正确答案】证明见解析.

【分析】根据等边三角形的性质可得AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．
【详解】证明：∵△ABC和△CDE都等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°．
△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法是解题的关键．
17. 如图，在中，，是边上的中点，于点，于点．求证：．

【正确答案】见解析

【分析】如图，连接．根据，点是边上的中点，得出平分，、分别垂直、于点和，即可．
【详解】证明：如图，连接．

，点是边上的中点，
平分，
、分别垂直、于点和．
．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，角平分线性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
18. 用无刻度尺作图:
（1）在图中找一点O，使OA=OB=OC；
（2）在AC上找一点P，使得P到AB，BC的距离相等.

【正确答案】证明见解析.

【详解】整体分析：
（1）利用格点作出AB，BC的垂直平分线的交点；（2）利用格点作出∠ABC的平分线与AC的交点.
解：（1）如图，分别取AB，BC的中点D，E，作AB，BC的垂直平分线交于点O，则OA=OB=OC；
（2）取点F，使点F到AB，BC的距离都等于2，作射线BF交AC于点P，则P到AB，BC的距离相等.

19. 如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，则BD的长为_____.

【正确答案】4 cm

【详解】试题解析：如图，连接AD,

∵是等腰三角形，

∵DE是AC的垂直平分线，



在中，CD=2DE，
在中，BD=2AD，


∴BD的长为
故答案为
点睛：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
20. 解没有等式组，并在数轴上表示没有等式组的解集．
【正确答案】-1≤x＜2，数轴见解析

【分析】先求出每个没有等式的解集，再求出没有等式组的解集即可．
【详解】解：，
∵解没有等式①得：x≥-1，
解没有等式②得：x＜2，
∴没有等式组的解集为-1≤x＜2，
在数轴上表示没有等式组的解集为

本题考查了解一元没有等式组，没有等式组的整数解，在数轴上表示没有等式组的解集的应用，解此题的关键是能求出没有等式组的解集，此题属于中档题目，难度适中．
21. 某校计划组织师生共300人参加大型公益，如果租用6辆大客车和5辆小客车，恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
（2）由于参加的人数增加了30人，学校决定调整租车，在保持租用车辆总数没有变的情况下，且所有参加的师生都有座位，求租用小客车数量的值．
【正确答案】（1）每辆小客车的乘客座位数是18个，每辆大客车的乘客座位数是35个；（2）租用小客车数量的值为3．

【分析】（1）根据题意每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个以及师生共300人参加大型公益，分别得出等式求出答案；
（2）根据（1）中所求，进而利用总人数为300＋30，进而得出没有等式求出答案．
【详解】（1）设每辆小客车的乘客座位数是个，大客车的乘客座位数是个，
根据题意可得：

解得
答：每辆小客车的乘客座位数是18个，大客车的乘客座位数是35个；
（2）设租用a辆小客车才能将所有参加的师生装载完成，则
18a＋35（11−a）≥300＋30，
解得.
符合条件的a整数为3，
答：租用小客车数量的值为3．
本题主要考查了一元没有等式的应用以及二元方程组的应用，解题关键是正确得出没有等式的关系．
22. 如图，直线l1：y1=﹣x+m与y轴交于点A（0，6），直线l2：y=kx+1分别与x轴交于点B（﹣2，0），与y轴交于点C，两条直线交点记为D．

（1）m=　 　，k=　 　；
（2）求两直线交点D的坐标；
（3）根据图象直接写出y1＜y2时自变量x的取值范围．
【正确答案】（1）6，；（2）D点坐标为（4，3）；（3）y1＜y2时，x＞4．

【详解】整体分析：
（1）把A（0，6）代入y1=﹣x+m求m的值，把B（﹣2，0）代入y=kx+1求k值；（2）解由这两个直线方程组成的方程组；（3）y1＜y2即是直线y1在直线y2的下方时x的范围.
解：（1）把A（0，6），代入y1=﹣x+m，得到m=6，
把B（﹣2，0）代入y=kx+1，得到k=
故答案为6，；
（2）联立l1，l2解析式，即，解得：，
∴D点坐标为（4，3）；
（3）观察图象可知：y1＜y2时，x＞4．
23. 如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过作与垂直的直线．动点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线以相同的速度运动，当点到达点时，同时停止运动．
（1）OC＝　 　，BC＝　 　；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．

【正确答案】（1）2,2；（2）；（3）或

【分析】（1）先求出，根据含30度角的直角三角形的性质求出OA，求出AB，在△AOC中，根据勾股定理得出关于OC的方程，求出OC即可；
（2）有四种情况：①当P在BC上，Q在OC上时，t<2，过P作PH上OC于H，求出PH，根据三角形的面积公式求出即可；②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ没有存在；③当P在OC上，Q在ON上时，过P作PG上ON于G，过C作CZ上ON于Z，求出CZ和PG的值，求出△OCQ和△OPQ的面积，相减即可；④t=4时，过作于，于， P在O点，Q在ON上，求出BM根据三角形的面积公式求出即可；
（3）有三种情况：①OM=PM时，求出OP=2OQ，代入求出即可；②PM=OP时，此时没有存在等腰三角形；③OM=OP时，过P作PG上ON于G，求出OG和QG的值，代入OG+QG=t-2，即可求出答案.
【详解】（1），
，
，
，
平分，
，
，
在中，，
，
，
故2，2；
（2）①当P在BC上，Q在OC上时，，
则，
过作于，

，
，
，
即，
②当时，在C点，Q在O点，此时，△CPQ没有存在；
，
③当P在OC上，Q在ON上时，过P作PG上ON于G，过C作CZ上ON于Z，

，
，，
，
，


，
即，
④当时，过作于，于， P在O点，Q在ON上，

,由（1）知，
，
，
，
，
，
综上所述，与的函数关系式是：；
（3）如图，

，
，
，
，
平分，
，
，
①时，，
，
，
，
解得：，
②当时，
此时，
，
，
此时没有存在；
③当时，
过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
综上所述，当为或者时，等腰三角形．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，函数自变量的取值范围，勾股定理，含30度角的直角三角形性质等知识点的运用，运用了方程思想和分类讨论思想是解题的关键．