高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册5 正态分布习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册5 正态分布习题，共4页。试卷主要包含了下列说法正确的有，8,则P=0等内容，欢迎下载使用。

A.4B.2C.12D.1
解析:因为X~N(1,22),所以DX=4,
所以D12X=14DX=1.
答案:D
2.设某地区某一年龄段的儿童的身高服从均值为135 cm,方差为100的正态分布,令ξ表示从中随机抽取的一名儿童的身高,则下列概率中最大的是( ).
A.P(120<ξ<130)B.P(125<ξ<135)
C.P(130<ξ<140)D.P(135<ξ<145)
解析:由题意知ξ~N(135,100),因此在长度都是10的区间上,概率最大的应该是在对称轴两侧关于对称轴对称的区间.故选C.
答案:C
3.如图,当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是( ).
(第3题)
A.σ1>1>σ2>σ3>0
B.0<σ1<σ2<1<σ3
C.σ1>σ2>1>σ3>0
D.0<σ1<σ2=1<σ3
解析:当μ=0,σ=1时,正态分布密度函数f(x)=12πe-x22.当x=0时,取最大值12π,故σ2=1.由正态曲线的性质,当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”;σ越大,曲线越“矮胖”,于是有0<σ1<σ2=1<σ3.
答案:D
4.(多选题)下列说法正确的有( ).
A.设随机变量X服从二项分布B6,12,则P(X=3)=516
B.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<6)=0.8,则P(-2C.已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|<2)=a,则P(X>2)的值为1+a2
D.E(2X+3)=2EX+3;D(2X+3)=2DX+3
解析:设随机变量X服从二项分布B6,12,则P(X=3)=C63×123×1-123=516,故A正确;
∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),
∴正态曲线的对称轴是直线x=2,又P(X<6)=0.8,∴P(X≥6)=P(X≤-2)=0.2,
∴P(-2已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|<2)=a,则P(X>2)=12(1-P(|X|<2))=1-a2,
故C错误;
E(2X+3)=2EX+3;D(2X+3)=4DX,故D错误.
综上,选AB.
答案:AB
5.已知一次考试共有60名同学参加,考生的成绩X~N(110,25).据此估计,有57人的分数在区间( ).
A.(90,110]内B.(95,125]内
C.(100,120]内D.(105,115]内
解析:5760=0.95,故可得大约应有57人的分数在区间(μ-2σ,μ+2σ]内,即在区间(110-2×5,110+2×5]内.
答案:C
6.若随机变量X~N(μ,σ2),则P(X≤μ)= .
解析:由于随机变量X~N(μ,σ2),其正态分布密度曲线关于直线x=μ对称,故P(X≤μ)=12.
答案:12
7.设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ<1)=12,P(ξ>2)=p,则P(0<ξ<1)= .
解析:由题意P(ξ<1)=12,则μ=1.
故P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2)=P(ξ<2)-P(ξ<1)=1-p-12=12-p.
答案:12-p
8.工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ,σ2),在一次正常的试验中,取1 000个零件,不属于(μ-3σ,μ+3σ]这个尺寸范围的零件可能有 个.
解析:因为P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9974,所以不属于区间(μ-3σ,μ+3σ]内的零点个数约为1000×(1-0.9974)=2.6≈3.
答案:3
9.在一次测试中,测试结果X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0).若X在区间(0,2)内取值的概率为0.2,求:
(1)X在区间(0,4)内取值的概率;
(2)P(X>4).
解:(1)由X~N(2,σ2),知正态曲线的对称轴为直线x=2,画出示意图,如答图.
(第9题答图)
因为P(0所以P(0(2)P(X>4)=12[1-P(010.在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从一个正态分布,即ξ~N(90,100).
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率;
(2)若这次考试共有2 000名考生参加,试估计考试成绩位于区间(80,100]内的考生有多少名.
解:因为ξ~N(90,100),所以μ=90,σ=100=10.
(1)由于正态分布随机变量在区间(μ-2σ,μ+2σ]内取值的概率约是0.9544,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率约是0.9544.
(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.
因为正态分布随机变量在区间(μ-σ,μ+σ]内取值的概率约是0.6826,所以考试成绩ξ位于区间(80,100]内的概率约是0.6826.
又一共有2000名考生,所以考试成绩在区间(80,100]内的考生大约有2000×0.6826≈1365(名).