北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线3 抛物线3.1 抛物线及其标准方程课时作业

2.3 抛物线

一、   概念练习

1.若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是().

A. B. C. D.

2.已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则(   )

A. B. C.3 D.2

3.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是()

A. B. C.1 D.

4.点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()

A.  B.或

C.  D.或

5.已知F为抛物线的焦点，，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为()

A.16 B.14 C.12 D.10

二、能力提升

6.设抛物线的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则(   )

A.5 B.6 C.7 D.8

7.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则(   )

A.2 B.3 C.4 D.8

8.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知，，则C的焦点到准线的距离为()

A.2 B.4 C.6 D.8

9.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则(   )

A.2 B. C.8 D.4

10.已知点在抛物线上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()

A.2 B.1 C.4 D.8

11.已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则______________.

12.抛物线上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则此抛物线的方程为______________.

13.若抛物线过点，则抛物线的标准方程为______________.

14.点P是抛物线上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是，求的最小值，并求出此时点P的坐标.

15.如图所示，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点.

（1）若，求抛物线的方程；

（2）求的最大值.

答案以及解析

1.答案：B

解析：由题意知，则准线为，点到焦点的距离等于其到准线的距离，即，，则.

故选B.

2.答案：A

解析：，点Q在P、F之间，过Q作，垂足为M，由抛物线的定义知，设抛物线的准线l与x轴的交点为N，则，又易知，则，即，

，即.故选A.

3.答案：B

解析：抛物线的焦点为，到双曲线的一条渐近线的距离为，故选B.

4.答案：D

解析：当时，抛物线的标准方程为，则，，因此，焦点，准线.

依题意得，，解得.

当时，抛物线方程为，则，，因此焦点，准线，依题意得，，解得（舍去）.

因此，抛物线方程为或，故选D.

5.答案：A

解析：如图所示，设直线AB的倾斜角为，过A，B分别作准线的垂线，垂足为，，

则，，过点F向引垂线FG，得，

则，同理，，

则，即，

因为与垂直，所以直线DE的倾斜角为或，

则，则，

则易知的最小值为16.

故选A.

6.答案：D

解析：设，.由已知可得直线的方程为，即，由得.

由根与系数的关系可得，，

，，，，故选D.

7.答案：D

解析：抛物线的焦点坐标为，椭圆的一个焦点为，，

又，.

8.答案：B

解析：不妨设，，

则.

由题意可知，

，解得.故选B.

9.答案：A

解析：双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，设A在x轴上方，则，，，.

又的周长为，

，.

10.答案：C

解析：抛物线的准线为，因为为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以，所以，即焦点F到抛物线准线的距离等于4，故选C.

11.答案：6

解析：如图，过M、N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为、，设抛物线的准线与x轴的交点为，则，.因为M为FN的中点，所以，由抛物线的定义知，从而.

12.答案：

解析：过点M作准线的垂线，垂足为P.设抛物线的焦点为F，依题意得，，即，解得，

抛物线的方程为.

13.答案：或

解析：由在第二象限，得抛物线的开口向上或开口向左，设其标准方程为或.将的坐标代入得或，解得或，

因此所求抛物线的标准方程为或.

14.答案：的最小值是4，点P的坐标是

解析：易知抛物线的准线方程是，那么点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，如图所示，过点P作PD垂直准线，垂足为D，那么.

当M，P，D三点共线时，的值最小，且最小值为，所以的最小值是4.

此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是.

15.答案：（1）

（2）

解析：（1）由条件知，与联立，消去y，得，则.由抛物线的定义得.

又因为，所以，所以抛物线的方程为.

（2）解法一：由（1）知，且，设，

则M到AB的距离.

因为点M在直线AB的上方，

所以，

则

.

当时，.

故的最大值为.

解法二：由（1）知，且，

设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为，

代入抛物线方程，得.

令，得.

所以与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为，

两平行直线间的距离，

故的最大值为.