高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册4 数列在日常经济生活中的应用巩固练习

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册4 数列在日常经济生活中的应用巩固练习，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

4数列在日常经济生活中的应用检测A卷(基础巩固）

一、单选题
1．假设一个蜂巢里只有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了2个伙伴：第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，则到第4天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中全部蜜蜂的只数是（ ）．
A．1 B．3 C．9 D．81
2．某高一学生家长于月日在某购物平台采用分期付款的形式购买了一台价值元的平板电脑给学生进行网上学习使用，该平台规定：分个月还清，从下个月日，即月日，开始偿还，每月日还款，且每个月还款钱数都相等．若购物平台的月利率为，则该家长每月的偿还金额是（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
3．某单位制作了一个热气球用于广告宣传.已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米至少要经过（ ）
A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟
4．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为1.75%，若按复利计算，将这1000元存满5年，可以获得利息（ ）（参考数据：，，）
A．110元 B．91元 C．72元 D．88元
5．某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下：
存期
1年
2年
3年
5年
年利率(%)
2．25
2．4
2．73
2．88
某人在该段时间存入10 000元，存期两年，利息税为所得利息的5%．则到期的本利和为（ ）元．
A．10373 B．10396 C．10422 D．10456
6．某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么五年后这个小镇的人口数为（ ）
A．20×(1.01)5万 B．20×(1.01)4万
C．20×万 D．20×万
7．某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后共10次付清，也可以一次付清（此后一年定期存款税后利率设为2%，按复利计算）并优惠，为鼓励购房者一次付款，问优惠率应不低于多少？（ ）（a取整数，计算过程中参考以下数据：）
A．8% B．9% C．11% D．19%
8．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y元.则y-x的值为（ ）(参考数据：1.01512≈1.2)
A．0 B．1200 C．1030 D．900

二、多选题
9．参加工作年的小郭，因工作需要向银行贷款万元购买一台小汽车，与银行约定：这万元银行贷款分年还清，贷款的年利率为，每年还款数为万元，则（ ）
A．
B．小郭第年还款的现值为万元
C．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”
D．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”
10．市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2021年7月7日贷款到账，则2021年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004，则下列说法正确的是（ ）（参考数据：，计算结果取整数）
A．选择方式①，若第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，则小张该笔贷款的总利息为289200元
B．选择方式②，小张每月还款额为3800元
C．选择方式②，小张总利息为333840元
D．从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①
11．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ）
A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件
B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件
C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态
D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列
12．斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即，记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．


三、填空题
13．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数解析式是_________．
14．某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写________个大字．
15．若某政府增加环境治理费用a亿元，每个受惠的居民会将50%的额外收入用于国内消费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为400亿元，则______ （最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1，）．
16．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，如果该塔形几何体的最上层正方体的棱长等于1，那么该塔形几何体中正方体的个数是______．


四、解答题
17．在我国古代，9是数学之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比前1圈多9块，共有9圈，则：

(1)第9圈共有多少块石板？
(2)前9圈一共有多少块石板？







18．李政道博士曾经在访问中国科技大学时，给少年班同学提出一个“猴子分苹果”的趣题：海滩边五只猴子分一堆苹果，第一只猴子把苹果分成五等份，还多一个，把多的一个扔到海里，取走一份；第二只猴子把剩下的分成五等份，也多一个，把多的一个扔到海里，取走一份，以后的3只猴子都是如此办理，问最初至少有多少个苹果，最后至少剩下多少个苹果？




19．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.







20．甲､乙两家电子商店同时上市一批移动硬盘，原价800元/个.为了促销，甲商店推出如下优惠政策：买1个，单价为780元；买2个，单价为760元……依此类推，每多买1个，则单价减少20元，但价格底线为440元/个.乙商店一律按原价的75%降价促销.某单位需购买一批该型号的移动硬盘，问：选择去哪一家商店购买，才能使得花费较少？














21．某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
（1）用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；
（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？







22．某林区原有树木量为a，改变植树计划，第一年植树增长率为200%，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的.
（1）假设成活率为100%，第四年末，林区的树木量a4是原来的树木量的多少倍？
（2）如果每年都有5%的树木死亡，设第n年末的树木量为bn，写出数列{bn}的递推公式．
参考答案
1．D
【分析】
先由前几天结束时，蜂巢中的蜜蜂数量观察出其组成了首项为3，公比为3的等比数列，求出通项公式，把4直接代入即可.
【详解】
由题意知，
第一天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有1+2=3只蜜蜂，
第二天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂，
第三天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂，

第n天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂，
所以归巢后的蜜蜂数列组成了首项为3，公比为3的等比数列，
所以其通项公式为：，
所以，第四天共有只蜜蜂.
故选：D
2．B
【分析】
设每月的偿还金额都是元，根据等比数列的求和公式可得出关于的等式，即可求得结果.
【详解】
设每月的偿还金额都是元，则，
即，得．
故选：B.
3．B
【分析】
根据题意可知热气球在每分钟上升的高度构成等比数列，，公比，再根据等比数列的前项和公式可求得，然后由即可解出．
【详解】
由题意知，热气球在每分钟上升的高度构成等比数列，则表示热气球在第分钟上升的高度（单位：米），且，公比.
经过分钟，热气球上升的总高度.
因为，，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米.
故选：B.
4．B
【分析】
根据已知求出存满5年后的本息和，再减去本金，即可得出答案.
【详解】
解：将1000元钱按复利计算，则存满5年后的本息和为，故可以获得利息（元）.
故选：B.
5．D
【分析】
先求出存期两年的利息与本金和，再求得利息税，作差即可.
【详解】
由题意存期两年的利息与本金为10 000×(1＋2×2.4%)，利息税为10 000×2×2.4%×5%，
所以到期的本利和为10 000×(1＋2×2.4%)－10 000×2×2.4%×5%＝10 456．
故选：.
6．A
【分析】
利用增长率公式即得.
【详解】
某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么
1年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)，
2年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)2，
3年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)3，
4年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)4，
5年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)5＝20×(1.01)5.
故选：A.
7．B
【分析】
设优惠率应不低于，由已知可得，，解不等式可得答案.
【详解】
设优惠率应不低于，
由题意可得，，
即，
解得，
又∵a取整数，
∴优惠率应不低于9%，
故选：B．
8．C
【分析】
设小闯同学每个月还款元，则可依次求每次还款元后，还欠本金及利息，由题意可得，求出，从而可求出的值，再利用单利求出，进而可求出的值
【详解】
解：由题意知，按复利计算，设小闯同学每个月还款元，则小闯同学第一次还款元后，还欠本金及利息为元，
第二次还款元后，还欠本金及利息为，
第三次还款元后，还欠本金及利息为，
依次类推，直到第十二次还款后，全部还清，即
，
即，解得，
故元，
按照单利算利息，12月后，所结利息共元，
故元，
所以，
故选：C
9．BD
【分析】
因为小郭每年还款钱数相等，所以小郭选择为“等额本息还款法”，所以利用等比数列前项和公式求出，再设小郭第3年还款的现值为，根据复利规则求出．
【详解】
解：小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，
小郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D正确，C错误，
设每年应还元，还款10次，
则该人10年还款的现金与利息和为，
银行贷款元10年后的本利和为．
，
，
即，故A错误．
设小郭第三年还款的现值为，则，所以，故B正确；
故选：BD
10．ACD
【分析】
等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为，则，，等额本息还款方式中，设小张每月还款额为元，
则，
分别利用等差数列、等比数列模型研究，依次判断即可
【详解】
对于A，由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为，表示数列的前项和，则，，
则，
故小张该笔贷款的总利息为（元），故A正确.
对于B，设小张每月还款额为元，
则，
所以，
即，故B错误.
对于C，小张采取等额本息贷款方式的总利息为（元），故C正确.
对于D，因为，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①，故D正确.
故选：ACD
11．ABC
【分析】
设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，可得，即可判断四个选项的正误.
【详解】
设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，
由可得，两式相减得：，
所以，所以每分钟内新感染的病毒构成以为首项，为公比的等比数列，
所以，
在第3分钟内，该计算机新感染了个文件，故选项A正确；
经过5分钟，该计算机共有个病毒文件，故选项B正确；
10分钟后，计算机感染病毒的总数为，
所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；
该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确；
故选：ABC
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第分钟之内新感染的文件数为与
前分钟内新感染的病毒文件数之和为之间的递推关系为，从而求得.
12．AB
【分析】
选项A分别求出可判断，选项B由，得，相加得可判断,选项C，由，，
两式错位相减可判断.选项D.由可判断.
【详解】
因为，，所以，则A正确；
由，得，相加得，
所以，所以B正确；
因为，，
两式错位相减可得，
所以，所以C错误；
因为，所以，所以D错误.
故选：AB.
【点睛】
关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由，，两式错位相减可得，以及由递推关系可得，属于中档题.
13．y＝a(1＋r)x，x∈N*
【分析】
先写出1期后本利和，2期后本利和，3期后本利和，由此得出规律，得出答案.
【详解】
已知本金为a元，利率为r，
则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，
2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2
3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…
x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*.
故答案为：y＝a(1＋r)x，x∈N*.
14．4
【分析】
“每天比前一天都多写，且多写的字数相同”阐述的是一个等差数列的意思，根据和，可求得公差.
【详解】
由题意可知此人每天所写大字数构成首项为，第三项为的等差数列，所以.
【点睛】
本小题主要考查实际生活中等差数列的应用.从阅读题目中知道题目的数学知识是等差数列，则可利用等差数列公差的计算公式来求解公差，属于基础题.
15．200
【分析】
由题意可知，国内消费额构成等比数列，由等比数列求和公式求解即可.
【详解】
由题意可知，
，
解得．
故答案为：200.
16．7
【分析】
设从最底层开始的第n层的正方体棱长为，则由题意分析得为以8为首项，为公比的等比数列，直接利用通项公式即可求解.
【详解】
设从最底层开始的第n层的正方体棱长为，
则由题意得为以8为首项，为公比的等比数列，
其通项公式为．
令，得，故该塔形几何体中正方体的个数为7．
故答案为：7.
17．（1）81；（2）405
【解析】
【分析】
（1）依题意可知，第圈到第圈石板数所成数列为等差数列，利用等差数列的通项公式可求得第圈的石板数.（2）利用等差数列前项和公式求得前圈一共有的石板数.
【详解】
(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9.由等差数列的通项公式，得第9圈石板块数为a9＝a1＋(9－1)·d＝9＋(9－1)×9＝81(块)．
(2)由等差数列前n项和公式，得前9圈石板总数为S9＝9a1＋d＝9×9＋×9＝405(块)．
∴第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板．
【点睛】
本小题主要考查数列在日常生活中的应用，考查了等差数列的通项公式和前项和公式.属于基础题，代入公式即可计算得到结果.
18．1020
【分析】
首先根据题意分析得到两次之间的规律，即，然后将其配凑成等比数列，利用等比数列的通项公式来求得最初值和最后的值.
【详解】
设最初的苹果数为a1，五只猴子分剩的苹果数依次为a2，a3，a4，a5，a6.
由题意得an＋1＝an－1－(an－1)＝an－.
不难得出an＋1＋4＝ (an＋4)，
∴an＋4＝(a1＋4)n－1，n＝2,3,4,5,6.
a6＝(a1＋4)·5－4，a6是整数．
∴a1＋4的最小值是55，即a1的最小值是55－4＝3 121.即最初至少有3 121个苹果，从而最后至少剩下a6＝45－4＝1 020(个)苹果．
【点睛】
本小题主要考查数列在日常生活中的应用，考查利用凑配法求数列的通项公式.首先从阅读题意中得到数列的递推关系，然后对这个递推关系凑配，配成等比数列，再利用等比数列的通项公式，可求得数列的通项公式，进而求得题目要求的数值.属于中档题.
19．（Ⅰ），，.
（Ⅱ）企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为４０００元
【详解】
（Ⅰ）由题意得，
，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
.
整理得　.
由题意，
解得.
故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为４０００元.
【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出与an的关系式，第二问，只要把第一问中的迭代，即可以解决

20．当购买硬盘少于个时，到乙商场花费较少；当购买硬盘等于个时，到两商场的花费相同；当购买硬盘大于个时，到甲商场花费较少；
【分析】
利用等差数列的通项公式求出甲商场每个商品的销价再求出乙商场的每个商品的销价，讨论的取值即可求解.
【详解】
设某单位需要购买硬盘个，
在甲商场购买时，所买硬盘的销价为，
由题意可知销价构成等差数列，
且首项为780，公差为，
所以，
又因为，得，
即购买的硬盘数不超过个时，每个销价为元，
购买硬盘数超过个时，每个销价为元，
即（），
到乙商场购买时，每个硬盘的销价为元，
当时，
差价
，
①当时，，即到乙商场花费较少；
②当时，，到两商场的花费相同；
③当时，，到甲商场花费较少；
④当时，，到甲商场花费较少；
综上所述，当购买硬盘少于个时，到乙商场花费较少；
当购买硬盘等于个时，到两商场的花费相同；
当购买硬盘大于个时，到甲商场花费较少；
21．（1）；（2）8.857万元．
【分析】
（1）由等比数列定义，知这辆车的价值构成等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，根据等比通项公式即可求解；
（2）由（1）中的通项公式，令即可求解．
【详解】
（1）从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，
a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.
∴第n年车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元；
（2）当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×(0.9)5－1≈8.857.
∴用满4年时卖掉时，他大概能得到8.857万元．
22．（1）倍；（2）bn＝.
【分析】
（1）设林区调整计划后，第n年末的树木量为an(n＝1，2，3，…)，然后根据题意依次可求出，
（2）由题意可得b1＝a(1＋200%)(1－5%)＝×a(1＋200%)＝a，bn＝bn－1(1＋)×(1－5%)＝×bn－1×(1＋)，从而可得答案
【详解】
（1）设林区调整计划后，第n年末的树木量为an(n＝1，2，3，…)，则
a1＝a(1＋200%)＝3a，
a2＝a1(1＋100%)＝2a1＝6a，a3＝a2(1＋)＝a2＝9a，
a4＝a3(1＋)＝a3＝a.
所以第四年末，林区树木量是原来树木量的倍．
（2） 由题知，第n年末的树木量为：
b1＝a(1＋200%)(1－5%)＝×a(1＋200%)＝a，
b2＝b1×(1＋100%)×(1－5%)＝×b1(1＋)，
b3＝b2(1＋)×(1－5%)＝×b2(1＋)，
b4＝b3(1＋)×(1－5%)＝×b3(1＋)，
b5＝b4(1＋)×(1－5%)＝×b4(1＋)，
bn＝bn－1(1＋)×(1－5%)＝×bn－1×(1＋)，
∴bn＝.