数学选择性必修 第二册4 数列在日常经济生活中的应用随堂练习题

1.4 数列在日常经济生活中的应用

1.龙门石窟是中国石刻艺术宝库.某洞窟的浮雕共7层，它们构成一幅优美的图案.若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像个数依次是下层个数的2倍，该洞窟浮雕像总共有1 016个，则第5层浮雕像的个数为(　　)

A.64 B.128 

C.224 D.512

【答案】B

【解析】设最下层的浮雕像的数量为a1，依题意有公比q=2，n=7，S7==1 016，解得a1=8，则an=8×2n-1=2n+2(1≤n≤7，n∈N+)，所以a5=27=128.

2.我国工农业总产值从2001年到2021年的20年间翻了两番，设平均每年的增长率为x，则有(　　)

A.(1+x)19=4 B.(1+x)20=3

C.(1+x)20=2 D.(1+x)20=4

【答案】D

【解析】设2001年总产值为1，由于我国工农业总产值从2001年到2021年的20年间翻了两番，说明2021年的工农业总产值是2001年工农业总产值的4倍，则(1+x)20=4.

3.某市利用省运会的契机，鼓励全民健身，从2021年7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材.已知7月投放A型健身器材300台、B型健身器材64台，计划8月起，A型健身器材每月的投放量均为a台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2 000台，则a的最小值为(　　)

A.243 B.172 C.122 D.74

【答案】D

【解析】设B型健身器材这6个月投放量构成数列{bn}，则数列{bn}是首项b1=64，公比q=的等比数列，其前6项的和S6==1 330，∴5a+300+1 330≥2 000，解得a≥74，故选D.

4.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时，乌龟爬行的总距离为(　　)

A.米 B.米

C.米 D.米

【答案】B

【解析】由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{an}，且a1=100，q=，an=10-2，所以乌龟爬行的总距离为Sn=(米).

5.将n个大小不同的正方体形状的积木从上到下、从小到大堆成塔状，平放在桌面上.上面一个正方体积木下底面的四个顶点正好是它下面一个正方体积木的上底面各边的中点，按此规律不断堆放.如果最下面的正方体积木的棱长为1，且这些正方体积木露在外面的面积之和为Sn，则Sn=(　　)

A.8- B.9-

C.10- D.10-

【答案】B

【解析】最底层正方体的棱长为1，则该正方体除下底面外的表面积为5×12=5;

第二个正方体的棱长为1×，

它的侧面积为4×2，

第3个小正方形的边长为=2，

它的侧面积为4×2×2;

第n个小正方形的边长为n-1，

它的侧面积为4×2(n-1)=4×n-1，

则它们的表面积为5+4×1+2+3+…+n-1=5+4×=9-=9-.

6.某运动员一脚把球踢到32米高处，从此处开始计算，假设足球每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，则第5次着地时，该球所经过的总路程为　　　　米. 

【答案】92

【解析】足球第1次落地经过的路程为32;

足球第2次落地经过的路程为32+32××2=64;

足球第3次落地经过的路程为64+32×2×2=80;

足球第4次落地经过的路程为80+32×3×2=88;

足球第5次落地经过的路程为88+32×4×2=92.

7.有纯酒精a(a>1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精　　　　　升. 

【答案】1-82-

【解析】由题意可知，取出的纯酒精数量是一个以1为首项，1-为公比的等比数列，

即:第一次取出的纯酒精为1升，

第二次取出的纯酒精为1-升，

第三次取出的纯酒精为1-2升，

……，

第n次取出的纯酒精为1-n-1升，

则第九次和第十次共取出的纯酒精数量为

a9+a10=1-8+1-9

=1-82-(升).

8.小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a元后，他的账户中一共有　　　　元;到2022年的1月1日不再存钱且将所有的存款和利息全部取出，则可取回　　　　　元. 

【答案】ap+2a　[(1+p)5-(1+p)]

【解析】依题意，2019年1月1日存款a元后，账户中一共有a(1+p)+a=(ap+2a)元;

银行利息为单利计息，故2022年1月1日可取出钱的总数为

a(1+p)4+a(1+p)3+a(1+p)2+a(1+p)

=a·

=[(1+p)5-(1+p)].

9.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线?

解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位:小时)依次设为a1，a2，…，a25.

由题意可知，此数列为等差数列，且a1=24，公差d=-.

25辆翻斗车完成的工作量为a1+a2+…+a25=25×24+25×12×-=500，

而需要完成的工作量为24×20=480.

∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.

10.据有关文献记载:我国古代一座9层塔挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多d(d为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的顶层共有灯(　　)

A.2盏 B.3盏 C.4盏 D.5盏

【答案】A

【解析】设顶层有x盏灯，则最下面有(x+8d)盏，则x+8d=13x，即d=x，由题意得x+(x+d)+(x+2d)+…+(x+8d)=126，整理得9x+36d=126，所以9×+36d=126，解得d=3，x=2，所以顶层有2盏灯.故选A.

11.某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2 100元、绩效工资为2 000元.从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的110%.照此推算，此人2021年的年薪为(结果精确到0.1)(　　)

A.9.3万元 B.10.4万元

C.12.14万元 D.14万元

【答案】C

【解析】由题意可得，基础工资是以2 100元为首项，以210元为公差的等差数列，绩效工资以2 000元为首项，以1.1为公比的等比数列，则此人2021年每月的基础工资为2 100+210(12-1)=4 410(元)，每月的绩效工资为2 000×1.111≈5 706.23(元)，则此人2021年的年薪为12(4 410+5 706.23)≈12.14(万元).

12.在我国明代数学家“珠算之父”程大位(1533—1606)所著的《算法统宗》中，有许多用诗歌形式表达的数学问题，如八子分棉歌:“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”此问题(第八数)的答案为(单位:斤)(　　)

A.150 B.167 C.184 D.201

【答案】C

【解析】设第一子分a1斤棉，则{an}是公差为17的等差数列，由题意得8a1+×17=996，解得a1=65(斤)，所以a8=65+7×17=184(斤).

13.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是m，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗?设侏罗纪蜘蛛网的长度为Sn，则(　　)

A.Sn无限大 B.Sn<3(3+) m

C.Sn=3(3+) m D.Sn可以取100 m

【答案】B

【解析】由题意，从外到内正方形的边长依次为a1=m，

a2=，

a3=，

……

则数列{an}是以m为首项，以为公比的等比数列，所以Sn=4·，当n→∞时，Sn→3(3+)m.故选B.

14.如图，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后作新三角形的内切圆……如此下去，前n个内切圆的面积和为　　　　　. 

【答案】π

【解析】根据题意知第一个内切圆的半径为×3=，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，……这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故前n个内切圆的面积之和为π.

15.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里;驽马初日行九十二里，日减一里;良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.两匹马在第　　　　日相逢. 

【答案】4

【解析】由题意，可知良马第n日行程记为an，则数列{an}是首项为97，公差为15的等差数列，

驽马第n日行程记为bn，则数列{bn}是首项为92，公差为-1的等差数列，则an=97+15(n-1)=15n+82，bn=92-(n-1)=93-n.

∵数列{an}的前n项和为，

数列{bn}的前n项和为，∴=840，

整理得14n2+364n-1 680=0，即n2+26n-120=0，解得n=4(n=-30舍去)，即两匹马在第4日相逢.

16.某企业2018年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从2019年起每年比上一年纯利润减少20万元，2019年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(2019年为第一年)的利润为5001+万元(n为正整数).

(1)设从2019年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An，Bn的表达式;

(2)依上述预测，从2019年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?

解(1)依题设，

An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2，

Bn=5001++1++…+1+-600=500n--100.

(2)Bn-An=500n--100-(490n-10n2)=10n2+10n--100=10n(n+1)--10，

因为数列n(n+1)--10在(0，+∞)上为递增数列，

当1≤n≤3时，n(n+1)--10≤12--10<0;

当n≥4时，n(n+1)--10≥20--10>0，

所以当n≥4时，Bn>An，所以至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.

17.某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.

(1)设第n年该生产线的维护费用为an，求an的表达式;

(2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线，求该生产线前n年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线.

解(1)当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，an=4+2(n-1)=2n+2，当n≥8时，数列{an}是首项为a8，公比为的等比数列，又a7=16，a8=16×，

∴an=16×n-7，∴an的表达式为an=n∈N+.

(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得，当1≤n≤7时，Sn==n2+3n，

当n≥8时，由S7=70，Sn=S7+16×=80·n-7-10，

该生产线前n年每年的平均维护费用

n∈N+，

当1≤n≤7时，为递增数列，

当n≥8时，

∵>0，∴也为递增数列.

又，∴为递增数列.

又=10<12，=11.25<12，>12，则第10年年初需要更新该生产线.