高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用1 平均变化率与瞬时变化率1.1 平均变化率复习练习题

【特供】1.1 平均变化率-1同步练习

一．填空题

1．

若对任意的非零实数，均有直线与曲线相切，则直线必过定点___________.

2．函数在处的切线方程为___________.

3．函数的图象在点处的切线方程为_____．

4．函数的图象在点处的切线方程为________．

5．

曲线在点处的切线方程为__________.

6．函数的图象在处的切线方程为___________.

7．已知函数有且只有一个零点，则______．

8．

已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.

9．

已知函数，若，则实数的取值范围是__________．

10．已知，，则的最小值为______．

11．

已知直线与曲线相切，则的最大值为______.

12．已知函数，则在点处的切线方程为___________.

13．函数在处的切线方程经过点，则__________．

14．

过点(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为________________．

15．函数的图象在点处的切线方程为___________.

16．

已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．

17．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______．

18．函数在处的切线方程为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】

设切点横坐标为，又，

∴，又，

∴，即切点为，由切点在切线上得，

∴，即直线必过定点.

故答案为：.

2．【答案】

【解析】分析：利用导数可求得切线斜率，结合可得切线方程.

详解：，，又，

所求切线方程为：，即.

故答案为：.

3．【答案】

【解析】分析：求导得，进而得，，再根据    切线方程公式计算即可.

详解：解：，

∴，，

所以，

函数图象在点处的切线方程为：，

即函数图象在点处的切线方程为；

故答案为：．

4．【答案】

【解析】分析：求出．的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.

详解：，，则．

因为，所以所求切线方程为，即．

故答案为：．

5．【答案】

【解析】

，

，

，又，

所求的切线方程为，即，

故答案为：.

6．【答案】

【解析】分析：求出在处的导数，即切线斜率，即可求出切线方程.

详解：函数的导数为，

所以在处的切线斜率为，切点为，

所以函数在处的切线方程为，

即.

故答案为：.

7．【答案】

【解析】分析：根据题意，若函数函数有且只有一个零点，则函数，与有一个交点，即两曲线在交点处有公切线，结合计算即可得出结果．

详解：令，，

有且只有一个零点，

与有一个交点，即两曲线在交点处有公切线，设切点为，

，，

，即 ，代入到中，即 ，

化简得：，

即，

，.

故答案为：

【点睛】

思路点睛：本题主要考查函数的零点以及导数的几何意义，有一个零点 在交点处有公切线.

8．【答案】1

【解析】

由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，

所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3－2x0＋2，

所以＝3，所以x0＝1.

故答案为：1

9．【答案】

【解析】

因为，

当时，，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，,

当时，，当时，，此时单调递增．

图象如图所示:

令，将向右平移至与相切，此刻取最大值，即，得到，，

将代入

∴，（舍去）；

将向左平移至与相切，此刻取最小值，即，得到，，

将代入，

∴，（舍去）；

∴.

故答案为：.

10．【答案】

【解析】分析：利用算术根的几何意义，把所求转化为两个图形上点的距离最小值即可作答.

详解：可看成点到点的距离，

而点的轨迹是直线，点的轨迹是曲线，

则所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值，而曲线在直线上方，

平移直线使其与曲线相切，则切点到直线距离即为所求，

设切点，，由得，切点为

则到直线距离.

故答案为：

【点睛】

关键点睛：涉及多变量的算术根问题，利用算术根的几何意义转化为两个动点的距离是解题的关键.

11．【答案】

【解析】

由得：，

设直线与曲线相切与点，

则，又，则，

，

令，

，

，，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

，即的最大值为.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】分析：根据导数的几何意义，求出导数得到，即可由点斜式写出切线方程．

详解：因为，所以，所以在点处的切线方程为，即．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数几何意义的应用，解题关键是“在某点”和“过某点”的区分，“在某点”该点一定是切点，“过某点”该点不一定是切点．

13．【答案】；

【解析】分析：对求导，写出在指定点处的切线方程，由切线所过点即可得解.

详解：因，则，切线斜率为，

切线方程为：，则点在切线上，

即有，即.

故答案为：

14．【答案】2x－y－1＝0和10x－y－25＝0

【解析】

解析：y′＝．

设所求切线的切点为A(x0，y0)．

∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝．

又∵A是切点，

∴过点A的切线的斜率k＝2x0．

∵所求的切线过点(3，5)和A(x0，y0)两点，

∴其斜率又为，

∴2x0＝，

解得x0＝1或x0＝5．

从而切点A的坐标为(1，1)或(5，25)．

当切点为(1，1)时，切线的斜率k1＝2x0＝2；

当切点为(5，25)时，切线的斜率k2＝2x0＝10．

∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，

即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0．

故答案为：2x－y－1＝0和10x－y－25＝0

15．【答案】

【解析】分析：求导，求得， ，根据导函数的几何意义可得答案．

详解：因为，所以，又因为，

所以的图象在点处的切线方程为，即.

故答案为：．

16．【答案】eln 3

【解析】

设切点为，，

的导数为，

由题意可得，

且，

解得，．

故答案为：eln 3．

17．【答案】

【解析】分析：首先求函数的导数，再根据导数的几何意义求切线方程.

详解：，∴，

∴曲线在点处的切线方程为，

即．

故答案为：．

18．【答案】

【解析】分析：求出函数在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程.

详解：，，

，即切线斜率为，

又，则切线方程为，即.

故答案为：.