北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 导数的几何意义精练

【名师】2.2 导数的几何意义-1课堂练习

一．填空题

1．已知函数的图象在处的切线方程为，则的值是________.

2．已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______.

3．曲线在点处的切线的倾斜角为_____．

4．曲线在点处的切线与直线垂直，则________.

5．已知且满足1，则的最小值为_____.

6．函数在点处的切线方程是 ________

7．已知a，b∈R+，直线y＝x﹣a与曲线y＝1n（x+b）相切，则的最小值为_____．

8．已知函数，若函数在处的切线方程为，则的值为______．

9．已知函数．则曲线在点处的切线方程为______．

10．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为____________.

11．曲线在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a＝_____.

12．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.

13．已知函数，若函数的图像在点处的切线方程为，则______.

14．已知函数图象上一点处的切线方程为，则_______．

15．函数=2lnx+在x=1处的切线方程是_____

16．如图，直线l是曲线在处的切线，则____________.

17．曲线在点处的切线方程为________.

18．曲线在点A（1,1）处的切线方程为__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】4

【解析】由切点在切线上可得，再运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得，即可求出结果.

详解：由题意知切点为，

切点在切线上，，

又是的图象在处的切线的斜率，

，

.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，属于基础题.

2．【答案】2

【解析】分析：求出导函数，利用可求得．

详解：由已知，∵曲线在处的切线与直线平行，∴，．

故答案为：2.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，掌握导数几何意义是解题基础．

3．【答案】

【解析】分析：求得的导数，将代入，可得切线的斜率，再由直线的斜率公式，计算可得所求倾斜角．

详解：函数的导数为，

可得曲线在点处的切线的斜率为，

则切线的倾斜角满足，，解得.

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查运算能力，属于基础题．

4．【答案】．

【解析】先对函数求导，求出其在点处的切线斜率，进而可求出结果.

详解：因为，所以，

因此，曲线在点处的切线斜率为；

又该切线与直线垂直，所以.

故答案为

【点睛】

本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.

5．【答案】ln2

【解析】将，分别看成函数与上任意一点，问题转化为曲线上的动点与直线上的动点之间的最小值的平方问题.

详解：因为，

所以可将，分别看成函数与上任意一点，

问题转化为曲线上的动点与直线上的动点之间的最小值的平方问题，

设是曲线的切点，因为

故点M处的切斜的斜率，

由题意可得，解得，

也即当切线与已知直线平行时，此时切点到已知直线的距离最近，

最近距离，

也即.

故答案为：ln2

【点睛】

本题考查导数的几何意义．两点间的距离公式．曲线的切线，考查函数与方程思想．转化与化归思想．数形结合思想，考查逻辑推理能力．运算求解能力.

6．【答案】

【解析】分析：求导函数，根据导数的几何意义可得在点处的切线的斜率，求出切点坐标，根据点斜式，即可求得切线方程.

详解：因为，所以，

所以函数在点处的切线斜率，

又当时，，所以切点坐标为，

所以切线方程为，即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查在一点处切线方程的求法，同时考查导数的几何意义，属于基础题.

7．【答案】不存在

【解析】对曲线y＝1n（x+b）求导，由直线y＝x﹣a与曲线y＝1n（x+b）相切，可得切线斜率为1，切点为（1﹣b，0），可得a＝1﹣b，转化，研究单调性，得到取值范围即得解.

详解：y＝ln（x+b）的导数为y′，

由切线的方程y＝x﹣a可得切线的斜率为1，

可得切点的横坐标为1﹣b，切点为（1﹣b，0），

代入y＝x﹣a，得a+b＝1，则a＝1﹣b，

∵a，b∈R+，∴0＜b＜1，则，

由2在（0，1）上单调递减，可得2∈（1，+∞）．

∴的最小值不存在．

故答案为：不存在

【点睛】

本题考查了导数在切线，最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.

8．【答案】4

【解析】分析：由切线方程可知，，由此构造方程求得，进而得到结果.

详解：，，解得：；

由切线方程可知，，解得：；

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据曲线在某一点处的切线方程求解参数值的问题，关键是明确切线方程能够提供给我们函数值和导数值两个条件.

9．【答案】

【解析】求出，即可求出切线的点斜式方程，化简得出结论.

详解：,

所以曲线在点处的切线方程是，

即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，注意已知点是否为切点，属于基础题.

10．【答案】

【解析】利用导数求出切线方程，即可得到切线与坐标轴围成的三角形的面积.

详解：，，

，，

切线方程为：即，

当，时，当，时，

三角形面积为：.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查的是利用导数求切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，是基础题.

11．【答案】1

【解析】求出，并由，建立的方程，即可求解.

详解：，

，.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，属于基础题.

12．【答案】

【解析】分析：

设，，分两种情况进行讨论，当的右支，即与相切时，根据导数的几何意义，得出，根据题意，结合图象，得出满足题意，当的左支，即与相交于点，由，确定的值，根据题意，结合图象，得出满足题意，综合两种情况，得出实数的取值范围.

详解：

令，

①当的右支，即与相切时

其图象如下图所示

设切点为，，

因为，所以，

，解得，此时

要使得在上恒成立，则

②当的左支，即与相交于点，其图象如下图所示

由，解得

要使得在上恒成立，则

综上，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式的恒成立问题，涉及了导数的几何意义的应用，属于较难题.

13．【答案】

【解析】由题求导代值表示，，由函数的图象在点处的切线方程为，且由导数的几何意义可解得答案.

详解：由已知可得切点，则，，由

，由

，则，

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数导数的几何意义，属于简单题.

14．【答案】3

【解析】求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得．

详解：由题意，

∵函数图象在点处的切线方程为，

∴，解得，

∴．

故答案为：3.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础，

15．【答案】

【解析】欲求在点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

详解：，，

，当时，,得切线的斜率为；

所以曲线在点处的切线方程为：

，即．

故答案为：．

【点睛】

本小题主要考查直线的斜率．导数的几何意义．利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

16．【答案】

【解析】由题意可得的值，结合两点的斜率公式和导数的几何意义，计算可得所求和．

详解：解：由图象可得，

直线经过，，可得直线的斜率为，

即有，可得+．

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查两点的斜率公式，以及数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．

17．【答案】

【解析】求导，求出切线的斜率 ，用直线方程的点斜式，即可求解.

详解：,

所以切线方程为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查切线的几何意义，属于基础题.

18．【答案】

【解析】∵，∴，∴k=1，∴点A（1,1）处的切线方程为y-1=x-1即y=x

考点：本题考查了导数的几何意义

点评：在某点的切线斜率等于在该点处的导函数值