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2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一卷二）含解析
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这是一份2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一卷二）含解析，共50页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）
一、选一选（本题有12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上.）
1. 如图所示的工件，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
2. 当时，函数的图象在【 】
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 象限
3. 如果，那么下列等式中没有一定成立的是（ ）
A. B. C. D. ad=bc
4. 矩形、菱形、正方形都一定具有性质是( )
A. 邻边相等 B. 四个角都是直角
C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
5. 下列说确的是（ ）
A. 矩形都是相似图形； B. 菱形都是相似图形
C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形； D. 等边三角形都是相似三角形
6. 某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均没有小于5 m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
7. 某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. x（x+1）=1892 B. x（x−1）=1892×2
C. x（x−1）=1892 D. 2x（x+1）=1892
8. 如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE，BC交于点N、M，则下列式子中错误的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 2
10. 如已知：线段AB，BC，∠ABC =" 90°." 求作：矩形ABCD.
以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说确的是
A. 两人都对 B. 两人都没有对
C. 甲对，乙没有对 D. 甲没有对，乙对
11. 如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x−2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，且OA=AD，则以下结论错误的是（ ）
A. 当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小；
B k=4
C. 当0＜x＜2时，y1＜y2
D. 当x=4时，EF=4
12. 如图，已知矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动.连接BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连接EF，交BD于点G，交BC于点M，连接CF，给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③；④GH的值为定值；上述结论中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（本题有4小题，每小题3分，共12分，把答案填在答题卡上）
13. 如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为_____．
14. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似点是点O，，则＝_____．
15. 如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），已知AB＝2 ，则AC=_________．
16. 如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积________．
三、解 答 题（本大题有7题，其中17题8分，18题6分，19题6分，20题7分，21题8分，22题8分，23题9分，共52分）
17. 解下列方程（1）x²+2x−1=0 （2）x（2x+3）=4x+6
18. 某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用 A1、A2、A3 表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 T1、T2 表示）．
（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P 为 ；
（2）该同学从 5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1，利用列表法或树状图加以说明；
（3）该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目概率 P2 为 ．
19. 如图，晚上，小亮在广场凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．
（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）如果灯杆高PO＝12m，小亮的身高AB＝1.6m，小亮与灯杆的距离BO＝13m，请求出小亮影子的长度．
20. 苏宁电器某种冰箱，每台的进货价为2600元，发现，当价为3000元时，平均每天能售出8台，而当价每降低100元时，平均每天就能多售出8台. 商场要使这种冰箱的利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价为多少元？
21. 如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，且满足BF＝EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作FG的平行线，交DA的延长线于点N，连接NG．
（1）求证：BE＝2CF；
（2）试猜想四边形BFGN是什么的四边形，并对你的猜想加以证明．
22. 如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 RtDABC和 RtDBED 的边长，已知，这时我们把关于 x 的形如二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于 x “勾系一元二次方程”，必有实数根；
(3)若 x = -1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是6，求DABC 的面积．
23. 如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（没有包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的值；
②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若没有能，请说明理由．
2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）
一、选一选（本题有12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上.）
1. 如图所示的工件，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，内圆是虚线，
故选：B．
2. 当时，函数的图象在【 】
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 象限
【正确答案】A
【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
【详解】∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第二、四象限．
∴当时，图象位于第四象限．故选A．
3. 如果，那么下列等式中没有一定成立的是（ ）
A. B. C. D. ad=bc
【正确答案】B
【详解】试题分析：A、∵＝，∴＋1＝＋1，∴＝，故此选项正确；
B、当b＋d＝0时此选项错误；
C、∵＝，∴()2＝()2，∴＝，故此选项正确；
D、∵＝，∴ad＝bc，故此选项正确．
故选B．
4. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是( )
A. 邻边相等 B. 四个角都是直角
C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
【正确答案】D
【详解】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，所以一定都具有的性质是平行四边形的性质，即对角线互相平分.
故选：D.
5. 下列说确的是（ ）
A. 矩形都是相似图形； B. 菱形都是相似图形
C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形； D. 等边三角形都是相似三角形
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据相似多边形的判定法则可以得出所有的等边三角形都是相似三角形.
考点：相似多边形的判定
6. 某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均没有小于5 m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】由草坪面积为100m2，可知x、y存在关系y=，然后根据两边长均没有小于5m，可得x≥5、y≥5，则x≤20，
故选 ：C．
7. 某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. x（x+1）=1892 B. x（x−1）=1892×2
C. x（x−1）=1892 D. 2x（x+1）=1892
【正确答案】C
【详解】∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x－1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x(x－1)＝1892．
故选：C．
8. 如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE，BC交于点N、M，则下列式子中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵DE∥BC，
∴△ADN∽△ABM，△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，
∴，， ，
所以A、B、C正确；
∵DE∥BC，
∴△AEN∽△ACM，
∴，
∴，
所以D错误．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质．注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边成比例．注意数形思想的应用．
9. 如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 2
【正确答案】A
【详解】∵菱形ABCD周长为16，∠ABC=120°，
∴∠BAD=60°，AC⊥BD，AD=AB=4
∴△ABD为等边三角形，
∴EB=
在Rt△ABE中，
AE=
故可得AC=2AE=．
故选A．
10. 如已知：线段AB，BC，∠ABC =" 90°." 求作：矩形ABCD.
以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说确的是
A. 两人都对 B. 两人都没有对
C. 甲对，乙没有对 D. 甲没有对，乙对
【正确答案】A
【详解】对于甲：由两组对边分别相等的四边形是平行四边形及∠B=90°，得四边形ABCD是矩形，正确；
对于乙：对角线互相平分的四边形是平行四边形及∠B=90°，得四边形ABCD是矩形，，正确．
因此，对于两人的作业，两人都对．
故选A．
11. 如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x−2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，且OA=AD，则以下结论错误的是（ ）
A. 当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小；
B. k=4
C. 当0＜x＜2时，y1＜y2
D. 当x=4时，EF=4
【正确答案】D
【详解】试题分析：A、从图象可知：当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项没有符合题意；
B、y1＝2x－2，
当y＝0时，x＝1，
即OA＝1，
∵OA＝AD，
∴OD＝2，
把x＝2代入y＝2x－2得：y＝2，
即点C的坐标是（2，2），
把C的坐标代入双曲线y2＝（x＞0）得：k＝4，故本选项没有符合题意；
C、根据图象可知：当0＜x＜2时，y1＜y2，故本选项没有符合题意；
D、当x＝4时，y1＝2×4－2＝6，y2＝＝1，
所以EF＝6－1＝5，故本选项符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了反比例函数与函数的交点问题，函数的图象和性质，能熟记函数的性质是解此题的关键，注意数形思想的运用．
12. 如图，已知矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动.连接BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连接EF，交BD于点G，交BC于点M，连接CF，给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③；④GH的值为定值；上述结论中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】试题分析：作CN⊥BD，连接AC．
∵四边形ABCD是矩形，AD∥BC，AB＝DC，
∴∠CDA＝∠DCB＝∠DAB＝∠ABC＝90°，
设E点和F点的运动时间为t，则CE＝t，BF＝3t，
∴，，
∴，
在△CDE和△CBF中，
，
∴△CDE∽△CBF，故①正确，
∴∠DCE＝∠BCF，
∵∠DCE＋∠BCE＝90°，
∴∠BCE＋∠BCF＝90°，
∴∠ECF＝90°，
∵，
∴，
∵∠DCB＝∠ECF，
∴△DCB∽△ECF，
∴∠DBC＝∠EFC，故②正确；
∴∠CDB＝∠CEF，
∵∠CDB＋∠DCN＝90°，∠DCN＋∠NCB＝90°，
∴∠DCB＝∠NCB＝∠CEF，
∵CN⊥BD，EH⊥DB，
∴CN∥EH，
∴∠NCE＝∠CEH，
∴∠ECB＝∠HEG，
∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∴∠DEC＝∠HEG，
∵∠EDC＝∠EHG＝90°，
∴△EDC∽△EHG，
∴，
∵AB＝DC，
∴，故③错误；
∵AD＝BC＝6，AB＝2，
∴BD＝＝，
∵∠EDH＝∠ADB，∠EHD＝∠DAB，
∴△DEH∽△DBA，
∴，
∴，
∴EH＝，
∵，
∴，
∴HG＝，故④正确．
综上所述①②④正确．
故选C．
点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定等知识，综合性较强，利用同角的余角相等证明角相等是解题的关键，本题还用到比例式和勾股定理解决线段的长度问题．
二、填 空 题（本题有4小题，每小题3分，共12分，把答案填在答题卡上）
13. 如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为_____．
【正确答案】0.600
【详解】观察图象可知，该射手击中靶心的频率维持在0.600左右，所以该射手击中靶心的概率的估计值为0.600.
14. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似点是点O，，则＝_____．
【正确答案】
【详解】试题分析：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似点是点O，
∴＝＝，
则＝＝＝．
故答案为．
点睛：本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
15. 如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），已知AB＝2 ，则AC=_________．
【正确答案】##
【分析】由黄金分割点的含义知，由AB=2即可求得AC的值．
【详解】∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）
∴
∵AB=2
∴
故
本题考查了黄金分割点的含义，掌握此知识点是关键．
16. 如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积________．
【正确答案】8
【分析】根据函数y=-x与函数y=-的图象相交于A，B两点，可以得到点A和点B的坐标，然后根据过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，即可得到四边形ACBD的形状，然后根据平行四边形的面积公式即可解答本题．
【详解】∵函数y=-x与函数y=-的图象相交于A，B两点，
∴,解得，,或，
∴点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（2，-2），
∵A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，
∴AC=BD=2，AC∥BD，CD=4，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∴四边形ACBD的面积是2×4=8．
本题考查反比例函数与函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形的思想解答．
三、解 答 题（本大题有7题，其中17题8分，18题6分，19题6分，20题7分，21题8分，22题8分，23题9分，共52分）
17. 解下列方程（1）x²+2x−1=0 （2）x（2x+3）=4x+6
【正确答案】（1）x1=−1+，x2=−1−；（2）x1=2，x2=−
【详解】试题分析：（1）方程的左边利用完全平方公式分解因式，然后利用直接开平方法求解即可；
（2）方程右边提出公因式2后，移至左边，然后再提出公因式（2x＋3）分解因式，进而转化为一元方程求解即可．
试题解析：
解：（1）x²＋2x−1＝0,
(x＋1)²＝2,
x＋1＝，
x1＝−1＋，x2＝−1−；
（2）x(2x＋3)＝4x＋6
x(2x＋3)＝2(2x＋3)
(x−2)(2x＋3)＝0
x1＝2，x2＝−．
点睛：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18. 某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用 A1、A2、A3 表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 T1、T2 表示）．
（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P 为 ；
（2）该同学从 5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1，利用列表法或树状图加以说明；
（3）该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率 P2 为 ．
【正确答案】（1）；（2） ；（3）；
分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出一个径赛项目和一个田赛项目的结果数，然后根据概率公式计算一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1；
（3）找出两个项目都是径赛项目的结果数，然后根据概率公式计算两个项目都是径赛项目的概率P2．
【详解】解：（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P=；
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为12，
所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1==；
（3）两个项目都是径赛项目的结果数为6，
所以两个项目都是径赛项目的概率P2==．
故答案为．
考点：列表法与树状图法．
19. 如图，晚上，小亮在广场凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．
（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）如果灯杆高PO＝12m，小亮的身高AB＝1.6m，小亮与灯杆的距离BO＝13m，请求出小亮影子的长度．
【正确答案】（1）（2）2m
【分析】（1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端；
（2）根据投影的特点可知△CAB∽△CPO，利用相似比即可求解．
【详解】（1）连接PA并延长交地面于点C，线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）在△CAB和△CPO中，
∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠POC＝90°
∴△CAB∽△CPO
∴，
∴
∴BC＝2m，
∴小亮影子的长度为2m
本题综合考查了投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用投影的特点可知在这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段．
20. 苏宁电器某种冰箱，每台的进货价为2600元，发现，当价为3000元时，平均每天能售出8台，而当价每降低100元时，平均每天就能多售出8台. 商场要使这种冰箱的利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价为多少元？
【正确答案】要使这种冰箱的利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为2850元时.
【详解】试题分析：利润＝一台冰箱的利润×冰箱数量，一台冰箱的利润＝售价－进价，降低售价的同时，量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利×的件数＝5000元，即可列方程求解．
试题解析：
解：设每台冰箱价格降低100x元，量为8＋8x，
(3000−100x−2600)(8＋8x)＝5000，
解得x＝1.5，
冰箱定价＝3000−100x＝3000−100×1.5＝2850（元），
答：要使这种冰箱的利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为2850元．
点睛：考查一元二次方程的应用，得到利润的等量关系是解决本题的关键，难点是得到售出冰箱的台数．
21. 如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，且满足BF＝EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作FG的平行线，交DA的延长线于点N，连接NG．
（1）求证：BE＝2CF；
（2）试猜想四边形BFGN是什么的四边形，并对你的猜想加以证明．
【正确答案】（1）见解析；（2）四边形BFGN是菱形，理由见解析.
【分析】（1）过F作FH⊥BE于点H，可证明四边形BCFH为矩形，可得到BH＝CF，且H为BE中点，可得BE＝2CF；
（2）由条件可证明△ABN≌△HFE，可得BN＝EF，可得到BN＝GF，且BN∥FG，可证得四边形BFGN为菱形．
【详解】（1）证明：过F作FH⊥BE于H点，
在四边形BHFC中，∠BHF＝∠CBH＝∠BCF＝90°，
所以四边形BHFC为矩形，
∴CF＝BH，
∵BF＝EF，FH⊥BE，
∴H为BE中点，
∴BE＝2BH，
∴BE＝2CF；
（2）四边形BFGN是菱形．
证明：
∵将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，
∴EF＝GF，∠GFE＝90°，
∴∠EFH＋∠BFH＋∠GFB＝90°
∵BN∥FG，
∴∠F＋∠GFB＝180°，
∴∠A＋∠ABC＋∠CBF＋∠GFB＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A＋∠CBF＋∠GFB＝180°−90°＝90°，
由BHFC是矩形可得BC∥HF，∴∠BFH＝∠CBF，
∴∠EFH＝90°−∠GFB−∠BFH＝90°−∠GFB−∠CBF＝∠A，
由BHFC是矩形可得HF＝BC，
∵BC＝AB，∴HF＝AB，
在△ABN和△HFE中，，
∴△ABN≌△HFE，
∴＝EF，
∵EF＝GF，
∴＝GF，
又∵∥GF，
∴FG是平行四边形，
∵EF＝BF，∴＝BF，
∴平行四边FG是菱形．
点睛：本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，菱形的判定等，作出辅助线是解决（1）的关键．在（2）中证得△ABN≌△HFE是解题的关键．
22. 如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 RtDABC和 RtDBED 的边长，已知，这时我们把关于 x 的形如二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”，必有实数根；
(3)若 x = -1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是6，求DABC 的面积．
【正确答案】（1）(答案没有)（2）见解析（3）1.
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）根据根的判别式即可求解；
（3）根据方程的解代入求出a,b,c的关系，再根据完全平方公式的变形进行求解.
【详解】（1）当a=3,b=4,c=5时，
勾系一元二次方程为；
（2）依题意得△=（）2-4ab=2c2-4ab,
∵a2+b2=c2,∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，
即△≥0，故方程必有实数根；
（3）把x=-1代入得a+b=c
∵四边形 ACDE 的周长是6，
即2(a+b)+ c=6，故得到c=2，
∴a2+b2=4，a+b=2
∵(a+b)2= a2+b2+2ab
∴ab=2,
故DABC 的面积为ab=1.
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方公式的应用.
23. 如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（没有包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的值；
②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若没有能，请说明理由．
【正确答案】（1）①函数的最小值为0；②函数图象的对称轴为直线x=-3；y=；（2）①；②在点D运动的过程中，四边形PAEC没有能为平行四边形．理由见解析．
【分析】（1）根据函数性质，函数图象可写出新函数的两条性质；求新函数的解析式，可分两种情况进行讨论：①x≥-3时，显然y=x+3；②当x＜-3时，利用待定系数法求解；
（2）①先把点C（1，a）代入y=x+3，求出C（1，4），再利用待定系数法求出反比例函数解析式为y=．由点D是线段AC上一动点（没有包括端点），可设点D的坐标为（m，m+3），且-3＜m＜1，那么P（，m+3），PD=-m，再根据三角形的面积公式得出△PAD的面积为S=（-m）×（m+3）=-m2-m+2=-（m+）2+，然后利用二次函数的性质即可求解；
②先利用中点坐标公式求出AC的中点D的坐标，再计算DP，DE的长度，如果DP=DE，那么根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形PAEC为平行四边形；如果DP≠DE，那么没有是平行四边形．
【详解】（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0；
②函数图象的对称轴为直线x=-3；
由题意得A点坐标为（-3，0）．分两种情况：
①x≥-3时，显然y=x+3；
②当x＜-3时，设其解析式为y=kx+b．
在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，
则点（-4，-1）关于x轴对称点为（-4，1）．
把（-4，1），（-3，0）代入y=kx+b，
得
解得
∴y=-x-3．
综上所述，新函数的解析式为y= ；
（2）如图2，
①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，
∴a=1+3=4．
∵点C（1，4）在双曲线y=上，
∴k=1×4=4，y=．
∵点D是线段AC上一动点（没有包括端点），
∴可设点D的坐标为（m，m+3），且-3＜m＜1．
∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，
∴P（，m+3），
∴PD=-m，
∴△PAD的面积为
S=（-m）×（m+3）=-m2-m+2=-（m+）2+，
∵-＜0，
∴当m=-时，S有值，，
又∵-3＜-＜1，
∴△PAD的面积的值为；
②在点D运动的过程中，四边形PAEC没有能为平行四边形．理由如下：
当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（-5，2），
∵DP=3，DE=4，
∴EP与AC没有能互相平分，
∴四边形PAEC没有能为平行四边形．
本题是反比例函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求反比例函数、函数的解析式，反比例函数、函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数最值的求法，平行四边形的判定等知识，综合性较强，难度适中．利用数形、分类讨论是解题的关键．
2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. x﹣2=0 B. x2﹣4x﹣1=0 C. x3﹣2x﹣3=0 D. xy+1=0
3. 下列中，是必然的是（ ）
A. 明天太阳从东方升起
B. 打开电视机，正在播放体育新闻
C. 射击运动员射击，命中靶心
D. 有交通信号灯的路灯，遇到红灯
4. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，则∠AOB度数为（ ）
A 35° B. 55° C. 145° D. 70°
5. 抛物线y=2（x﹣1）2+3的对称轴为（ ）
A. 直线x=1 B. 直线y=1 C. 直线y=﹣1 D. 直线x=﹣1
6. 在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. （﹣1，﹣2） B. （﹣1，2） C. （1，﹣2） D. （2，1）
7. 下列说确的是（ ）
A. 三点确定一个圆
B. 三角形外心到三角形各顶点的距离相等
C. 相等的圆心角所对的弧相等
D. 圆内接四边形的对角互余
8. 已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的可能性是，则袋中球的总个数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9. 在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10. 关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A. m≥1 B. m＜1 C. m=1 D. m＜﹣1
11. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
A. 5 B. 7 C. 8 D. 10
12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：①AC＜0；②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3；③b=2a；④函数的值是c﹣a．其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 抛物线y=x2+5x﹣1的开口方向是_____．
14. 任意掷一枚质地均匀骰子，朝上的点数是奇数的概率是______．
15. 将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是_____．
16. 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=___度．
17. 某工程一月份的产值为600万元，三月份的产值达到了726万元，设每月产值的增长率x相同，则可列出方程为_____．
18. 如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是_____．
三、解 答 题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 解关于x的方程：x2﹣4x=0．
20. 如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且BE=DE，求证.
21. 已知2是关于x的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长．
求m值；
求的周长．
22. 如图，在方格纸上，每个小方格都是边长为1cm的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A′B′C′（其中A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′）．
（1）画出旋转后的△A′B′C′；
（2）求点A在旋转过程中所的路线的长．（结果保留π）
23. 如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字，小明做了60次投掷试验，结果统计如下：
朝下数字
1
2
3
4
出现的次数
16
20
14
10
（1）求上述试验中“2朝下”的频率；
（2）随机投掷正四面体两次，请用列表或画树状图法，求两次朝下的数字之和大于5的概率．
24. 某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销．据市场，价为每件40元时，每周的量是180件，而价每上涨1元，则每周的量就会减少5件，设每件商品的价上涨x元，每周的利润为y元．
（1）用含x的代数式表示：每件商品的价为 元，每件商品的利润为 元，每周的商品量为 件；
（2）求y关于x的函数关系式（没有要求写出x的取值范围）；
（3）应怎样确定价，使该商品的每周利润？利润是多少？
25. 如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
26. 如图，直线y=x+3与两坐标轴交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若没有存在，说明理由．
2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. x﹣2=0 B. x2﹣4x﹣1=0 C. x3﹣2x﹣3=0 D. xy+1=0
【正确答案】B
【详解】解：A．没有是一元二次方程，故此选项错误；
B．是一元二次方程，故此选项正确；
C．没有是一元二次方程，故此选项错误；
D．没有是一元二次方程，故此选项错误．
故选B．
3. 下列中，是必然的是（ ）
A. 明天太阳从东方升起
B. 打开电视机，正在播放体育新闻
C. 射击运动员射击，命中靶心
D. 有交通信号灯的路灯，遇到红灯
【正确答案】A
【详解】解：A．明天太阳从东方升起是必然，故A符合题意；
B．打开电视机，正在播放体育新闻是随机，故B没有符合题意；
C．射击运动员射击，命中靶心是随机，故C没有符合题意；
D．有交通信号灯的路灯，遇到红灯是随机，故D没有符合题意．
故选A．
4. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A 35° B. 55° C. 145° D. 70°
【正确答案】D
【详解】∵∠C=35°，
∴∠AOB=2∠C=70°．
故选D．
5. 抛物线y=2（x﹣1）2+3的对称轴为（ ）
A. 直线x=1 B. 直线y=1 C. 直线y=﹣1 D. 直线x=﹣1
【正确答案】A
【详解】解：∵y=2（x﹣1）2+3，∴该抛物线的对称轴是直线x=1．故选A．
6. 在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. （﹣1，﹣2） B. （﹣1，2） C. （1，﹣2） D. （2，1）
【正确答案】A
【分析】根据若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵P（1，2），
∴点P关于原点对称的点的坐标是：（-1，-2）．
故选：A
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是掌握两个点关于原点对称时坐标变化特点：横纵坐标均互为相反数．
7. 下列说确的是（ ）
A. 三点确定一个圆
B. 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C. 相等的圆心角所对的弧相等
D. 圆内接四边形的对角互余
【正确答案】B
【详解】解：没有在同一直线上的三点确定一个圆，A错误；
三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，B正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，C错误；
圆内接四边形的对角互补，D错误．
故选B．
8. 已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的可能性是，则袋中球的总个数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【正确答案】D
【详解】试题解析：袋中球的总个数是：2÷=8（个）．
故选D．
9. 在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】A
【详解】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图．∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4．在Rt△AOC中，OA=5，∴OC=，即圆心O到AB的距离为3．故选A．
10. 关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A. m≥1 B. m＜1 C. m=1 D. m＜﹣1
【正确答案】C
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（﹣2）2﹣4m=0，解得：m=1．故选C．
11. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
A. 5 B. 7 C. 8 D. 10
【正确答案】D
【分析】由切线长定理可得PA=PB, CA=CE,DE=DB, 由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD, 所以△PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA, 故可求得三角形的周长.
【详解】解:PA、PB为圆的两条相交切线,
PA=PB,
同理可得: CA=CE, DE=DB.
△PCD的周长=PC+CE+ED+PD,
△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA,
△PCD的周长=10,
故选D
本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用.
12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：①AC＜0；②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3；③b=2a；④函数的值是c﹣a．其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
【正确答案】B
【详解】解：∵函数图象开口向下，故a＜0，抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，故①正确；
∵图象与x轴有两个交点，则方程有两个没有相等的实数根，两根是x1=﹣1，x2=3，故②正确；
对称轴为x=1=﹣，则2a+b=0，故③错误；
又∵当x=1时，y=a+b+c=a﹣2a+c=c﹣a，故④正确．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数问题，解答此题要注意函数与方程的关系，关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 抛物线y=x2+5x﹣1的开口方向是_____．
【正确答案】向上
【详解】解：在y=x2+5x﹣1中，∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．故答案为向上．
14. 任意掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是奇数的概率是______．
【正确答案】
【分析】根据共有6种可能，朝上的点数是奇数的有3种，可得概率．
【详解】解：任意掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数可能是1，2，3，4，5，6，其中有三个奇数，因此朝上的点数是奇数的概率是，
故．
本题考查概率公式的应用，关键是分析出朝上的点数中有几个是奇数．
15. 将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是_____．
【正确答案】y=﹣x2﹣4x﹣4
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是y=-（x+2）2，即y=-x2-4x-4．
故答案为y=-x2-4x-4．
16. 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=___度．
【正确答案】20
【详解】∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=40°．
在△ABB′中，∠ABB′=（180°﹣∠BAB′）=（180°﹣40°）=70°．
∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣70°=20°．
17. 某工程一月份的产值为600万元，三月份的产值达到了726万元，设每月产值的增长率x相同，则可列出方程为_____．
【正确答案】600（1+x）2=726
【详解】解：设平均每月增长率是x，由题意得：600（1+x）2=726．故答案为600（1+x）2=726．
点睛：本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．
18. 如图，点A在以BC为直径⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是_____．
【正确答案】
【详解】解：如图，连接AO，∠BAC=120°．∵BC=2，∠OAC=60°，∴OC=，∴AC=2，设圆锥的底面半径为r，则2πr==π，解得：r=．故答案为．
点睛：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够了解圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长，难度没有大．
三、解 答 题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 解关于x的方程：x2﹣4x=0．
【正确答案】x1=0，x2=4．
【详解】试题分析：先分解因式，即可得出两个一元方程，求出方程的解即可．
试题解析：解：x2﹣4x=0，x（x﹣4）=0，则x=0，x﹣4=0，解得：x1=0，x2=4．
20. 如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且BE=DE，求证.
【正确答案】证明见解析
【详解】试题分析：由圆周角定理很快确定∠A=∠C，∠B=∠D，进而得出△AED≌△CEB，问题就迎刃而解了．
试题解析：证明：在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（AAS），∴AD=BC，∴=．
21. 已知2是关于x的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长．
求m的值；
求的周长．
【正确答案】（1）m=4；（2）△ABC的周长为14．
【详解】试题分析：（1）直接把x=2代入方程x2﹣2mx+3m=0可求出m的值；
（2）先解方程x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，再利用三角形三边的关系确定等腰三角形的腰与底，然后计算它的周长．
试题解析：解：（1）把x=2代入方程得：4﹣4m+3m=0，解得：m=4；
（2）当m=4时，原方程变为x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6．∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且没有存在三边为2，2，6的等腰三角形
∴△ABC的腰为6，底边为2，∴△ABC的周长为6+6+2=14．
点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．
22. 如图，在方格纸上，每个小方格都是边长为1cm的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A′B′C′（其中A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′）．
（1）画出旋转后的△A′B′C′；
（2）求点A在旋转过程中所的路线的长．（结果保留π）
【正确答案】（1）画图见解析；（2）.
【详解】试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C旋转后的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用勾股定理列式求出OA的长，再根据弧长公式列式计算即可得解．
试题解析：解：（1）△A′B′C′如图所示：
（2）由勾股定理得：OA==2，∴点A在旋转过程中所的路线的长为=π．
23. 如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字，小明做了60次投掷试验，结果统计如下：
朝下数字
1
2
3
4
出现的次数
16
20
14
10
（1）求上述试验中“2朝下”的频率；
（2）随机投掷正四面体两次，请用列表或画树状图法，求两次朝下的数字之和大于5的概率．
【正确答案】（1）；（2）P（两次朝下的数字之和大于5）=．
【详解】试题分析：（1）根据试验中“2朝下”的总次数除以总数即可得出答案；
（2）列表列举出所有的可能的结果，然后利用概率公式解答即可．
试题解析：解：（1）“2朝下”的频率：=；
（2）根据题意列表如下：
总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次朝下数字之和大于5的结果有6种．
则P（两次朝下的数字之和大于5）==．
点睛：本题主要考查列表法与树状图法求概率，以及频率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
24. 某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销．据市场，价为每件40元时，每周的量是180件，而价每上涨1元，则每周的量就会减少5件，设每件商品的价上涨x元，每周的利润为y元．
（1）用含x的代数式表示：每件商品的价为 元，每件商品的利润为 元，每周的商品量为 件；
（2）求y关于x的函数关系式（没有要求写出x的取值范围）；
（3）应怎样确定价，使该商品的每周利润？利润是多少？
【正确答案】（1）x+40，x+10，180﹣5x；（2） y=﹣5x2+130x+1800；（3）当售价为53元时，可获得利润2645元．
【详解】试题分析：（1）根据题意分别表示每件商品的价以及每件商品的利润和每周的商品量；
（2）利用每件利润×每周销量=总利润，进而得出答案；
（3）利用公式法求出二次函数最值进而得出答案．
试题解析：解：（1）每件商品的价为：（x+40）元，每件商品的利润为：（x+10）元，每周的商品量为：（180﹣5x）件；
故答案为x+40，x+10，180﹣5x；
（2）所求函数关系式为：y=（x+10）（18﹣5x）
即y=﹣5x2+130x+1800；
（3）∵在y=﹣5x2+130x+1800中，a=﹣5＜0，b=130，x=1800，∴当x=﹣=﹣=13时，x+40=13+40=53，y有值且值：=1800﹣=2645（元），∴当售价为53元时，可获得利润2645元．
点睛：本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
25. 如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为．
【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．
【详解】解：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAE，
∴∠OAC=∠CAE，
∴∠OCA=∠CAE，
∴OC∥AE，
∴∠OCD=∠E，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，
∴CD是圆O的切线；
（2）在Rt△AED中， ∵∠D=30°，AE=6，
∴AD=2AE=12，
在Rt△OCD中，∵∠D=30°，
∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，
∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，
∴CD=
∴S△OCD==8，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°，
∴S扇形OBC=×π×OC2=，
∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC
∴S阴影=8﹣，
∴阴影部分的面积为8﹣．
26. 如图，直线y=x+3与两坐标轴交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若没有存在，说明理由．
【正确答案】（1）B（0，3），A（﹣3，0）；（2）抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；顶点D坐标为（﹣1，4）；（3）存在，符合条件的点P的坐标为（﹣1，4）或（2，﹣5）．
详解】试题分析：（1）分别令x=0和y=0代入y=x+3中可得结论；
（2）利用待定系数法求二次函数的解析式，根据配方法可得顶点D的坐标；
（3）分两种情况：设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）．根据两点距离公式可得：AB2=32+32=18，AP2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，BP2=t2+（﹣t2﹣2t）2．
①如图1，如果点B为直角顶点，那么AB2+BP2=AP2；
②如图2，如果点A为直角顶点，那么AP2+AB2=BP2，列方程可得结论．
试题解析：解：（1）当x=0时，y=3，∴B（0，3），当y=0时，x+3=0，x=﹣3，∴A（﹣3，0）；
（2）把A（﹣3，0），B（0，3）分别代入y=﹣x2+bx+c得：
，解得：，∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
顶点D坐标为（﹣1，4）
（3）存在．
设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）．
∵A（﹣3，0），B（0，3），∴AB2=32+32=18，AP2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，BP2=t2+（﹣t2﹣2t）2．
当△PAB是以AB为直角边的直角三角形时，可分两种情况：
①如图1，如果点B为直角顶点，那么AB2+BP2=AP2
（事实这里的点P与点D 重合）
即18+t2+（﹣t2﹣2t）2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，整理得t2+t=0，解得t1=﹣1，t2=0（没有合题意舍去），则点P的坐标为（﹣1，4）；
②如图2，如果点A为直角顶点，那么AP2+AB2=BP2，即18+（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2=t2+（﹣t2﹣2t）2，整理得t2+t﹣6=0，解得t1=2，t2=﹣3（没有合题意舍去），则点P的坐标为（2，﹣5）；
综上所述：所有符合条件的点P的坐标为（﹣1，4）或（2，﹣5）．
另解：如图3，作DE⊥y轴于点E，发现∠ABO=∠DBE=45°
可知顶点D满足△DAB是直角三角形，这时点P的坐标为（﹣1，4）；
作PA⊥AB交抛物线于点P，作PF⊥x轴于点F，发现∠PAF=∠APF=45°，由PF=AF求出另一点P为（2，﹣5）．
2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）
一、选一选（本题有12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上.）
1. 如图所示的工件，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
2. 当时，函数的图象在【 】
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 象限
3. 如果，那么下列等式中没有一定成立的是（ ）
A. B. C. D. ad=bc
4. 矩形、菱形、正方形都一定具有性质是( )
A. 邻边相等 B. 四个角都是直角
C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
5. 下列说确的是（ ）
A. 矩形都是相似图形； B. 菱形都是相似图形
C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形； D. 等边三角形都是相似三角形
6. 某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均没有小于5 m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
7. 某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. x（x+1）=1892 B. x（x−1）=1892×2
C. x（x−1）=1892 D. 2x（x+1）=1892
8. 如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE，BC交于点N、M，则下列式子中错误的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 2
10. 如已知：线段AB，BC，∠ABC =" 90°." 求作：矩形ABCD.
以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说确的是
A. 两人都对 B. 两人都没有对
C. 甲对，乙没有对 D. 甲没有对，乙对
11. 如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x−2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，且OA=AD，则以下结论错误的是（ ）
A. 当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小；
B k=4
C. 当0＜x＜2时，y1＜y2
D. 当x=4时，EF=4
12. 如图，已知矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动.连接BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连接EF，交BD于点G，交BC于点M，连接CF，给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③；④GH的值为定值；上述结论中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（本题有4小题，每小题3分，共12分，把答案填在答题卡上）
13. 如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为_____．
14. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似点是点O，，则＝_____．
15. 如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），已知AB＝2 ，则AC=_________．
16. 如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积________．
三、解 答 题（本大题有7题，其中17题8分，18题6分，19题6分，20题7分，21题8分，22题8分，23题9分，共52分）
17. 解下列方程（1）x²+2x−1=0 （2）x（2x+3）=4x+6
18. 某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用 A1、A2、A3 表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 T1、T2 表示）．
（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P 为 ；
（2）该同学从 5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1，利用列表法或树状图加以说明；
（3）该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目概率 P2 为 ．
19. 如图，晚上，小亮在广场凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．
（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）如果灯杆高PO＝12m，小亮的身高AB＝1.6m，小亮与灯杆的距离BO＝13m，请求出小亮影子的长度．
20. 苏宁电器某种冰箱，每台的进货价为2600元，发现，当价为3000元时，平均每天能售出8台，而当价每降低100元时，平均每天就能多售出8台. 商场要使这种冰箱的利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价为多少元？
21. 如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，且满足BF＝EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作FG的平行线，交DA的延长线于点N，连接NG．
（1）求证：BE＝2CF；
（2）试猜想四边形BFGN是什么的四边形，并对你的猜想加以证明．
22. 如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 RtDABC和 RtDBED 的边长，已知，这时我们把关于 x 的形如二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于 x “勾系一元二次方程”，必有实数根；
(3)若 x = -1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是6，求DABC 的面积．
23. 如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（没有包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的值；
②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若没有能，请说明理由．
2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）
一、选一选（本题有12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上.）
1. 如图所示的工件，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，内圆是虚线，
故选：B．
2. 当时，函数的图象在【 】
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 象限
【正确答案】A
【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
【详解】∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第二、四象限．
∴当时，图象位于第四象限．故选A．
3. 如果，那么下列等式中没有一定成立的是（ ）
A. B. C. D. ad=bc
【正确答案】B
【详解】试题分析：A、∵＝，∴＋1＝＋1，∴＝，故此选项正确；
B、当b＋d＝0时此选项错误；
C、∵＝，∴()2＝()2，∴＝，故此选项正确；
D、∵＝，∴ad＝bc，故此选项正确．
故选B．
4. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是( )
A. 邻边相等 B. 四个角都是直角
C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
【正确答案】D
【详解】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，所以一定都具有的性质是平行四边形的性质，即对角线互相平分.
故选：D.
5. 下列说确的是（ ）
A. 矩形都是相似图形； B. 菱形都是相似图形
C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形； D. 等边三角形都是相似三角形
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据相似多边形的判定法则可以得出所有的等边三角形都是相似三角形.
考点：相似多边形的判定
6. 某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均没有小于5 m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】由草坪面积为100m2，可知x、y存在关系y=，然后根据两边长均没有小于5m，可得x≥5、y≥5，则x≤20，
故选 ：C．
7. 某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. x（x+1）=1892 B. x（x−1）=1892×2
C. x（x−1）=1892 D. 2x（x+1）=1892
【正确答案】C
【详解】∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x－1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x(x－1)＝1892．
故选：C．
8. 如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE，BC交于点N、M，则下列式子中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵DE∥BC，
∴△ADN∽△ABM，△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，
∴，， ，
所以A、B、C正确；
∵DE∥BC，
∴△AEN∽△ACM，
∴，
∴，
所以D错误．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质．注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边成比例．注意数形思想的应用．
9. 如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 2
【正确答案】A
【详解】∵菱形ABCD周长为16，∠ABC=120°，
∴∠BAD=60°，AC⊥BD，AD=AB=4
∴△ABD为等边三角形，
∴EB=
在Rt△ABE中，
AE=
故可得AC=2AE=．
故选A．
10. 如已知：线段AB，BC，∠ABC =" 90°." 求作：矩形ABCD.
以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说确的是
A. 两人都对 B. 两人都没有对
C. 甲对，乙没有对 D. 甲没有对，乙对
【正确答案】A
【详解】对于甲：由两组对边分别相等的四边形是平行四边形及∠B=90°，得四边形ABCD是矩形，正确；
对于乙：对角线互相平分的四边形是平行四边形及∠B=90°，得四边形ABCD是矩形，，正确．
因此，对于两人的作业，两人都对．
故选A．
11. 如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x−2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，且OA=AD，则以下结论错误的是（ ）
A. 当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小；
B. k=4
C. 当0＜x＜2时，y1＜y2
D. 当x=4时，EF=4
【正确答案】D
【详解】试题分析：A、从图象可知：当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项没有符合题意；
B、y1＝2x－2，
当y＝0时，x＝1，
即OA＝1，
∵OA＝AD，
∴OD＝2，
把x＝2代入y＝2x－2得：y＝2，
即点C的坐标是（2，2），
把C的坐标代入双曲线y2＝（x＞0）得：k＝4，故本选项没有符合题意；
C、根据图象可知：当0＜x＜2时，y1＜y2，故本选项没有符合题意；
D、当x＝4时，y1＝2×4－2＝6，y2＝＝1，
所以EF＝6－1＝5，故本选项符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了反比例函数与函数的交点问题，函数的图象和性质，能熟记函数的性质是解此题的关键，注意数形思想的运用．
12. 如图，已知矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动.连接BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连接EF，交BD于点G，交BC于点M，连接CF，给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③；④GH的值为定值；上述结论中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】试题分析：作CN⊥BD，连接AC．
∵四边形ABCD是矩形，AD∥BC，AB＝DC，
∴∠CDA＝∠DCB＝∠DAB＝∠ABC＝90°，
设E点和F点的运动时间为t，则CE＝t，BF＝3t，
∴，，
∴，
在△CDE和△CBF中，
，
∴△CDE∽△CBF，故①正确，
∴∠DCE＝∠BCF，
∵∠DCE＋∠BCE＝90°，
∴∠BCE＋∠BCF＝90°，
∴∠ECF＝90°，
∵，
∴，
∵∠DCB＝∠ECF，
∴△DCB∽△ECF，
∴∠DBC＝∠EFC，故②正确；
∴∠CDB＝∠CEF，
∵∠CDB＋∠DCN＝90°，∠DCN＋∠NCB＝90°，
∴∠DCB＝∠NCB＝∠CEF，
∵CN⊥BD，EH⊥DB，
∴CN∥EH，
∴∠NCE＝∠CEH，
∴∠ECB＝∠HEG，
∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∴∠DEC＝∠HEG，
∵∠EDC＝∠EHG＝90°，
∴△EDC∽△EHG，
∴，
∵AB＝DC，
∴，故③错误；
∵AD＝BC＝6，AB＝2，
∴BD＝＝，
∵∠EDH＝∠ADB，∠EHD＝∠DAB，
∴△DEH∽△DBA，
∴，
∴，
∴EH＝，
∵，
∴，
∴HG＝，故④正确．
综上所述①②④正确．
故选C．
点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定等知识，综合性较强，利用同角的余角相等证明角相等是解题的关键，本题还用到比例式和勾股定理解决线段的长度问题．
二、填 空 题（本题有4小题，每小题3分，共12分，把答案填在答题卡上）
13. 如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为_____．
【正确答案】0.600
【详解】观察图象可知，该射手击中靶心的频率维持在0.600左右，所以该射手击中靶心的概率的估计值为0.600.
14. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似点是点O，，则＝_____．
【正确答案】
【详解】试题分析：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似点是点O，
∴＝＝，
则＝＝＝．
故答案为．
点睛：本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
15. 如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），已知AB＝2 ，则AC=_________．
【正确答案】##
【分析】由黄金分割点的含义知，由AB=2即可求得AC的值．
【详解】∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）
∴
∵AB=2
∴
故
本题考查了黄金分割点的含义，掌握此知识点是关键．
16. 如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积________．
【正确答案】8
【分析】根据函数y=-x与函数y=-的图象相交于A，B两点，可以得到点A和点B的坐标，然后根据过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，即可得到四边形ACBD的形状，然后根据平行四边形的面积公式即可解答本题．
【详解】∵函数y=-x与函数y=-的图象相交于A，B两点，
∴,解得，,或，
∴点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（2，-2），
∵A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，
∴AC=BD=2，AC∥BD，CD=4，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∴四边形ACBD的面积是2×4=8．
本题考查反比例函数与函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形的思想解答．
三、解 答 题（本大题有7题，其中17题8分，18题6分，19题6分，20题7分，21题8分，22题8分，23题9分，共52分）
17. 解下列方程（1）x²+2x−1=0 （2）x（2x+3）=4x+6
【正确答案】（1）x1=−1+，x2=−1−；（2）x1=2，x2=−
【详解】试题分析：（1）方程的左边利用完全平方公式分解因式，然后利用直接开平方法求解即可；
（2）方程右边提出公因式2后，移至左边，然后再提出公因式（2x＋3）分解因式，进而转化为一元方程求解即可．
试题解析：
解：（1）x²＋2x−1＝0,
(x＋1)²＝2,
x＋1＝，
x1＝−1＋，x2＝−1−；
（2）x(2x＋3)＝4x＋6
x(2x＋3)＝2(2x＋3)
(x−2)(2x＋3)＝0
x1＝2，x2＝−．
点睛：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18. 某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用 A1、A2、A3 表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 T1、T2 表示）．
（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P 为 ；
（2）该同学从 5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1，利用列表法或树状图加以说明；
（3）该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率 P2 为 ．
【正确答案】（1）；（2） ；（3）；
分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出一个径赛项目和一个田赛项目的结果数，然后根据概率公式计算一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1；
（3）找出两个项目都是径赛项目的结果数，然后根据概率公式计算两个项目都是径赛项目的概率P2．
【详解】解：（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P=；
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为12，
所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1==；
（3）两个项目都是径赛项目的结果数为6，
所以两个项目都是径赛项目的概率P2==．
故答案为．
考点：列表法与树状图法．
19. 如图，晚上，小亮在广场凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．
（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）如果灯杆高PO＝12m，小亮的身高AB＝1.6m，小亮与灯杆的距离BO＝13m，请求出小亮影子的长度．
【正确答案】（1）（2）2m
【分析】（1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端；
（2）根据投影的特点可知△CAB∽△CPO，利用相似比即可求解．
【详解】（1）连接PA并延长交地面于点C，线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）在△CAB和△CPO中，
∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠POC＝90°
∴△CAB∽△CPO
∴，
∴
∴BC＝2m，
∴小亮影子的长度为2m
本题综合考查了投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用投影的特点可知在这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段．
20. 苏宁电器某种冰箱，每台的进货价为2600元，发现，当价为3000元时，平均每天能售出8台，而当价每降低100元时，平均每天就能多售出8台. 商场要使这种冰箱的利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价为多少元？
【正确答案】要使这种冰箱的利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为2850元时.
【详解】试题分析：利润＝一台冰箱的利润×冰箱数量，一台冰箱的利润＝售价－进价，降低售价的同时，量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利×的件数＝5000元，即可列方程求解．
试题解析：
解：设每台冰箱价格降低100x元，量为8＋8x，
(3000−100x−2600)(8＋8x)＝5000，
解得x＝1.5，
冰箱定价＝3000−100x＝3000−100×1.5＝2850（元），
答：要使这种冰箱的利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为2850元．
点睛：考查一元二次方程的应用，得到利润的等量关系是解决本题的关键，难点是得到售出冰箱的台数．
21. 如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，且满足BF＝EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作FG的平行线，交DA的延长线于点N，连接NG．
（1）求证：BE＝2CF；
（2）试猜想四边形BFGN是什么的四边形，并对你的猜想加以证明．
【正确答案】（1）见解析；（2）四边形BFGN是菱形，理由见解析.
【分析】（1）过F作FH⊥BE于点H，可证明四边形BCFH为矩形，可得到BH＝CF，且H为BE中点，可得BE＝2CF；
（2）由条件可证明△ABN≌△HFE，可得BN＝EF，可得到BN＝GF，且BN∥FG，可证得四边形BFGN为菱形．
【详解】（1）证明：过F作FH⊥BE于H点，
在四边形BHFC中，∠BHF＝∠CBH＝∠BCF＝90°，
所以四边形BHFC为矩形，
∴CF＝BH，
∵BF＝EF，FH⊥BE，
∴H为BE中点，
∴BE＝2BH，
∴BE＝2CF；
（2）四边形BFGN是菱形．
证明：
∵将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，
∴EF＝GF，∠GFE＝90°，
∴∠EFH＋∠BFH＋∠GFB＝90°
∵BN∥FG，
∴∠F＋∠GFB＝180°，
∴∠A＋∠ABC＋∠CBF＋∠GFB＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A＋∠CBF＋∠GFB＝180°−90°＝90°，
由BHFC是矩形可得BC∥HF，∴∠BFH＝∠CBF，
∴∠EFH＝90°−∠GFB−∠BFH＝90°−∠GFB−∠CBF＝∠A，
由BHFC是矩形可得HF＝BC，
∵BC＝AB，∴HF＝AB，
在△ABN和△HFE中，，
∴△ABN≌△HFE，
∴＝EF，
∵EF＝GF，
∴＝GF，
又∵∥GF，
∴FG是平行四边形，
∵EF＝BF，∴＝BF，
∴平行四边FG是菱形．
点睛：本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，菱形的判定等，作出辅助线是解决（1）的关键．在（2）中证得△ABN≌△HFE是解题的关键．
22. 如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 RtDABC和 RtDBED 的边长，已知，这时我们把关于 x 的形如二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”，必有实数根；
(3)若 x = -1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是6，求DABC 的面积．
【正确答案】（1）(答案没有)（2）见解析（3）1.
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）根据根的判别式即可求解；
（3）根据方程的解代入求出a,b,c的关系，再根据完全平方公式的变形进行求解.
【详解】（1）当a=3,b=4,c=5时，
勾系一元二次方程为；
（2）依题意得△=（）2-4ab=2c2-4ab,
∵a2+b2=c2,∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，
即△≥0，故方程必有实数根；
（3）把x=-1代入得a+b=c
∵四边形 ACDE 的周长是6，
即2(a+b)+ c=6，故得到c=2，
∴a2+b2=4，a+b=2
∵(a+b)2= a2+b2+2ab
∴ab=2,
故DABC 的面积为ab=1.
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方公式的应用.
23. 如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（没有包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的值；
②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若没有能，请说明理由．
【正确答案】（1）①函数的最小值为0；②函数图象的对称轴为直线x=-3；y=；（2）①；②在点D运动的过程中，四边形PAEC没有能为平行四边形．理由见解析．
【分析】（1）根据函数性质，函数图象可写出新函数的两条性质；求新函数的解析式，可分两种情况进行讨论：①x≥-3时，显然y=x+3；②当x＜-3时，利用待定系数法求解；
（2）①先把点C（1，a）代入y=x+3，求出C（1，4），再利用待定系数法求出反比例函数解析式为y=．由点D是线段AC上一动点（没有包括端点），可设点D的坐标为（m，m+3），且-3＜m＜1，那么P（，m+3），PD=-m，再根据三角形的面积公式得出△PAD的面积为S=（-m）×（m+3）=-m2-m+2=-（m+）2+，然后利用二次函数的性质即可求解；
②先利用中点坐标公式求出AC的中点D的坐标，再计算DP，DE的长度，如果DP=DE，那么根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形PAEC为平行四边形；如果DP≠DE，那么没有是平行四边形．
【详解】（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0；
②函数图象的对称轴为直线x=-3；
由题意得A点坐标为（-3，0）．分两种情况：
①x≥-3时，显然y=x+3；
②当x＜-3时，设其解析式为y=kx+b．
在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，
则点（-4，-1）关于x轴对称点为（-4，1）．
把（-4，1），（-3，0）代入y=kx+b，
得
解得
∴y=-x-3．
综上所述，新函数的解析式为y= ；
（2）如图2，
①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，
∴a=1+3=4．
∵点C（1，4）在双曲线y=上，
∴k=1×4=4，y=．
∵点D是线段AC上一动点（没有包括端点），
∴可设点D的坐标为（m，m+3），且-3＜m＜1．
∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，
∴P（，m+3），
∴PD=-m，
∴△PAD的面积为
S=（-m）×（m+3）=-m2-m+2=-（m+）2+，
∵-＜0，
∴当m=-时，S有值，，
又∵-3＜-＜1，
∴△PAD的面积的值为；
②在点D运动的过程中，四边形PAEC没有能为平行四边形．理由如下：
当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（-5，2），
∵DP=3，DE=4，
∴EP与AC没有能互相平分，
∴四边形PAEC没有能为平行四边形．
本题是反比例函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求反比例函数、函数的解析式，反比例函数、函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数最值的求法，平行四边形的判定等知识，综合性较强，难度适中．利用数形、分类讨论是解题的关键．
2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. x﹣2=0 B. x2﹣4x﹣1=0 C. x3﹣2x﹣3=0 D. xy+1=0
3. 下列中，是必然的是（ ）
A. 明天太阳从东方升起
B. 打开电视机，正在播放体育新闻
C. 射击运动员射击，命中靶心
D. 有交通信号灯的路灯，遇到红灯
4. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，则∠AOB度数为（ ）
A 35° B. 55° C. 145° D. 70°
5. 抛物线y=2（x﹣1）2+3的对称轴为（ ）
A. 直线x=1 B. 直线y=1 C. 直线y=﹣1 D. 直线x=﹣1
6. 在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. （﹣1，﹣2） B. （﹣1，2） C. （1，﹣2） D. （2，1）
7. 下列说确的是（ ）
A. 三点确定一个圆
B. 三角形外心到三角形各顶点的距离相等
C. 相等的圆心角所对的弧相等
D. 圆内接四边形的对角互余
8. 已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的可能性是，则袋中球的总个数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9. 在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10. 关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A. m≥1 B. m＜1 C. m=1 D. m＜﹣1
11. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
A. 5 B. 7 C. 8 D. 10
12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：①AC＜0；②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3；③b=2a；④函数的值是c﹣a．其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 抛物线y=x2+5x﹣1的开口方向是_____．
14. 任意掷一枚质地均匀骰子，朝上的点数是奇数的概率是______．
15. 将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是_____．
16. 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=___度．
17. 某工程一月份的产值为600万元，三月份的产值达到了726万元，设每月产值的增长率x相同，则可列出方程为_____．
18. 如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是_____．
三、解 答 题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 解关于x的方程：x2﹣4x=0．
20. 如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且BE=DE，求证.
21. 已知2是关于x的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长．
求m值；
求的周长．
22. 如图，在方格纸上，每个小方格都是边长为1cm的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A′B′C′（其中A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′）．
（1）画出旋转后的△A′B′C′；
（2）求点A在旋转过程中所的路线的长．（结果保留π）
23. 如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字，小明做了60次投掷试验，结果统计如下：
朝下数字
1
2
3
4
出现的次数
16
20
14
10
（1）求上述试验中“2朝下”的频率；
（2）随机投掷正四面体两次，请用列表或画树状图法，求两次朝下的数字之和大于5的概率．
24. 某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销．据市场，价为每件40元时，每周的量是180件，而价每上涨1元，则每周的量就会减少5件，设每件商品的价上涨x元，每周的利润为y元．
（1）用含x的代数式表示：每件商品的价为 元，每件商品的利润为 元，每周的商品量为 件；
（2）求y关于x的函数关系式（没有要求写出x的取值范围）；
（3）应怎样确定价，使该商品的每周利润？利润是多少？
25. 如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
26. 如图，直线y=x+3与两坐标轴交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若没有存在，说明理由．
2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. x﹣2=0 B. x2﹣4x﹣1=0 C. x3﹣2x﹣3=0 D. xy+1=0
【正确答案】B
【详解】解：A．没有是一元二次方程，故此选项错误；
B．是一元二次方程，故此选项正确；
C．没有是一元二次方程，故此选项错误；
D．没有是一元二次方程，故此选项错误．
故选B．
3. 下列中，是必然的是（ ）
A. 明天太阳从东方升起
B. 打开电视机，正在播放体育新闻
C. 射击运动员射击，命中靶心
D. 有交通信号灯的路灯，遇到红灯
【正确答案】A
【详解】解：A．明天太阳从东方升起是必然，故A符合题意；
B．打开电视机，正在播放体育新闻是随机，故B没有符合题意；
C．射击运动员射击，命中靶心是随机，故C没有符合题意；
D．有交通信号灯的路灯，遇到红灯是随机，故D没有符合题意．
故选A．
4. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A 35° B. 55° C. 145° D. 70°
【正确答案】D
【详解】∵∠C=35°，
∴∠AOB=2∠C=70°．
故选D．
5. 抛物线y=2（x﹣1）2+3的对称轴为（ ）
A. 直线x=1 B. 直线y=1 C. 直线y=﹣1 D. 直线x=﹣1
【正确答案】A
【详解】解：∵y=2（x﹣1）2+3，∴该抛物线的对称轴是直线x=1．故选A．
6. 在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. （﹣1，﹣2） B. （﹣1，2） C. （1，﹣2） D. （2，1）
【正确答案】A
【分析】根据若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵P（1，2），
∴点P关于原点对称的点的坐标是：（-1，-2）．
故选：A
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是掌握两个点关于原点对称时坐标变化特点：横纵坐标均互为相反数．
7. 下列说确的是（ ）
A. 三点确定一个圆
B. 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C. 相等的圆心角所对的弧相等
D. 圆内接四边形的对角互余
【正确答案】B
【详解】解：没有在同一直线上的三点确定一个圆，A错误；
三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，B正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，C错误；
圆内接四边形的对角互补，D错误．
故选B．
8. 已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的可能性是，则袋中球的总个数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【正确答案】D
【详解】试题解析：袋中球的总个数是：2÷=8（个）．
故选D．
9. 在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】A
【详解】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图．∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4．在Rt△AOC中，OA=5，∴OC=，即圆心O到AB的距离为3．故选A．
10. 关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A. m≥1 B. m＜1 C. m=1 D. m＜﹣1
【正确答案】C
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（﹣2）2﹣4m=0，解得：m=1．故选C．
11. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
A. 5 B. 7 C. 8 D. 10
【正确答案】D
【分析】由切线长定理可得PA=PB, CA=CE,DE=DB, 由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD, 所以△PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA, 故可求得三角形的周长.
【详解】解:PA、PB为圆的两条相交切线,
PA=PB,
同理可得: CA=CE, DE=DB.
△PCD的周长=PC+CE+ED+PD,
△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA,
△PCD的周长=10,
故选D
本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用.
12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：①AC＜0；②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3；③b=2a；④函数的值是c﹣a．其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
【正确答案】B
【详解】解：∵函数图象开口向下，故a＜0，抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，故①正确；
∵图象与x轴有两个交点，则方程有两个没有相等的实数根，两根是x1=﹣1，x2=3，故②正确；
对称轴为x=1=﹣，则2a+b=0，故③错误；
又∵当x=1时，y=a+b+c=a﹣2a+c=c﹣a，故④正确．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数问题，解答此题要注意函数与方程的关系，关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 抛物线y=x2+5x﹣1的开口方向是_____．
【正确答案】向上
【详解】解：在y=x2+5x﹣1中，∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．故答案为向上．
14. 任意掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是奇数的概率是______．
【正确答案】
【分析】根据共有6种可能，朝上的点数是奇数的有3种，可得概率．
【详解】解：任意掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数可能是1，2，3，4，5，6，其中有三个奇数，因此朝上的点数是奇数的概率是，
故．
本题考查概率公式的应用，关键是分析出朝上的点数中有几个是奇数．
15. 将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是_____．
【正确答案】y=﹣x2﹣4x﹣4
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是y=-（x+2）2，即y=-x2-4x-4．
故答案为y=-x2-4x-4．
16. 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=___度．
【正确答案】20
【详解】∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=40°．
在△ABB′中，∠ABB′=（180°﹣∠BAB′）=（180°﹣40°）=70°．
∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣70°=20°．
17. 某工程一月份的产值为600万元，三月份的产值达到了726万元，设每月产值的增长率x相同，则可列出方程为_____．
【正确答案】600（1+x）2=726
【详解】解：设平均每月增长率是x，由题意得：600（1+x）2=726．故答案为600（1+x）2=726．
点睛：本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．
18. 如图，点A在以BC为直径⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是_____．
【正确答案】
【详解】解：如图，连接AO，∠BAC=120°．∵BC=2，∠OAC=60°，∴OC=，∴AC=2，设圆锥的底面半径为r，则2πr==π，解得：r=．故答案为．
点睛：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够了解圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长，难度没有大．
三、解 答 题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 解关于x的方程：x2﹣4x=0．
【正确答案】x1=0，x2=4．
【详解】试题分析：先分解因式，即可得出两个一元方程，求出方程的解即可．
试题解析：解：x2﹣4x=0，x（x﹣4）=0，则x=0，x﹣4=0，解得：x1=0，x2=4．
20. 如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且BE=DE，求证.
【正确答案】证明见解析
【详解】试题分析：由圆周角定理很快确定∠A=∠C，∠B=∠D，进而得出△AED≌△CEB，问题就迎刃而解了．
试题解析：证明：在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（AAS），∴AD=BC，∴=．
21. 已知2是关于x的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长．
求m的值；
求的周长．
【正确答案】（1）m=4；（2）△ABC的周长为14．
【详解】试题分析：（1）直接把x=2代入方程x2﹣2mx+3m=0可求出m的值；
（2）先解方程x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，再利用三角形三边的关系确定等腰三角形的腰与底，然后计算它的周长．
试题解析：解：（1）把x=2代入方程得：4﹣4m+3m=0，解得：m=4；
（2）当m=4时，原方程变为x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6．∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且没有存在三边为2，2，6的等腰三角形
∴△ABC的腰为6，底边为2，∴△ABC的周长为6+6+2=14．
点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．
22. 如图，在方格纸上，每个小方格都是边长为1cm的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A′B′C′（其中A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′）．
（1）画出旋转后的△A′B′C′；
（2）求点A在旋转过程中所的路线的长．（结果保留π）
【正确答案】（1）画图见解析；（2）.
【详解】试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C旋转后的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用勾股定理列式求出OA的长，再根据弧长公式列式计算即可得解．
试题解析：解：（1）△A′B′C′如图所示：
（2）由勾股定理得：OA==2，∴点A在旋转过程中所的路线的长为=π．
23. 如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字，小明做了60次投掷试验，结果统计如下：
朝下数字
1
2
3
4
出现的次数
16
20
14
10
（1）求上述试验中“2朝下”的频率；
（2）随机投掷正四面体两次，请用列表或画树状图法，求两次朝下的数字之和大于5的概率．
【正确答案】（1）；（2）P（两次朝下的数字之和大于5）=．
【详解】试题分析：（1）根据试验中“2朝下”的总次数除以总数即可得出答案；
（2）列表列举出所有的可能的结果，然后利用概率公式解答即可．
试题解析：解：（1）“2朝下”的频率：=；
（2）根据题意列表如下：
总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次朝下数字之和大于5的结果有6种．
则P（两次朝下的数字之和大于5）==．
点睛：本题主要考查列表法与树状图法求概率，以及频率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
24. 某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销．据市场，价为每件40元时，每周的量是180件，而价每上涨1元，则每周的量就会减少5件，设每件商品的价上涨x元，每周的利润为y元．
（1）用含x的代数式表示：每件商品的价为 元，每件商品的利润为 元，每周的商品量为 件；
（2）求y关于x的函数关系式（没有要求写出x的取值范围）；
（3）应怎样确定价，使该商品的每周利润？利润是多少？
【正确答案】（1）x+40，x+10，180﹣5x；（2） y=﹣5x2+130x+1800；（3）当售价为53元时，可获得利润2645元．
【详解】试题分析：（1）根据题意分别表示每件商品的价以及每件商品的利润和每周的商品量；
（2）利用每件利润×每周销量=总利润，进而得出答案；
（3）利用公式法求出二次函数最值进而得出答案．
试题解析：解：（1）每件商品的价为：（x+40）元，每件商品的利润为：（x+10）元，每周的商品量为：（180﹣5x）件；
故答案为x+40，x+10，180﹣5x；
（2）所求函数关系式为：y=（x+10）（18﹣5x）
即y=﹣5x2+130x+1800；
（3）∵在y=﹣5x2+130x+1800中，a=﹣5＜0，b=130，x=1800，∴当x=﹣=﹣=13时，x+40=13+40=53，y有值且值：=1800﹣=2645（元），∴当售价为53元时，可获得利润2645元．
点睛：本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
25. 如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为．
【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．
【详解】解：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAE，
∴∠OAC=∠CAE，
∴∠OCA=∠CAE，
∴OC∥AE，
∴∠OCD=∠E，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，
∴CD是圆O的切线；
（2）在Rt△AED中， ∵∠D=30°，AE=6，
∴AD=2AE=12，
在Rt△OCD中，∵∠D=30°，
∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，
∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，
∴CD=
∴S△OCD==8，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°，
∴S扇形OBC=×π×OC2=，
∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC
∴S阴影=8﹣，
∴阴影部分的面积为8﹣．
26. 如图，直线y=x+3与两坐标轴交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若没有存在，说明理由．
【正确答案】（1）B（0，3），A（﹣3，0）；（2）抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；顶点D坐标为（﹣1，4）；（3）存在，符合条件的点P的坐标为（﹣1，4）或（2，﹣5）．
详解】试题分析：（1）分别令x=0和y=0代入y=x+3中可得结论；
（2）利用待定系数法求二次函数的解析式，根据配方法可得顶点D的坐标；
（3）分两种情况：设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）．根据两点距离公式可得：AB2=32+32=18，AP2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，BP2=t2+（﹣t2﹣2t）2．
①如图1，如果点B为直角顶点，那么AB2+BP2=AP2；
②如图2，如果点A为直角顶点，那么AP2+AB2=BP2，列方程可得结论．
试题解析：解：（1）当x=0时，y=3，∴B（0，3），当y=0时，x+3=0，x=﹣3，∴A（﹣3，0）；
（2）把A（﹣3，0），B（0，3）分别代入y=﹣x2+bx+c得：
，解得：，∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
顶点D坐标为（﹣1，4）
（3）存在．
设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）．
∵A（﹣3，0），B（0，3），∴AB2=32+32=18，AP2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，BP2=t2+（﹣t2﹣2t）2．
当△PAB是以AB为直角边的直角三角形时，可分两种情况：
①如图1，如果点B为直角顶点，那么AB2+BP2=AP2
（事实这里的点P与点D 重合）
即18+t2+（﹣t2﹣2t）2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，整理得t2+t=0，解得t1=﹣1，t2=0（没有合题意舍去），则点P的坐标为（﹣1，4）；
②如图2，如果点A为直角顶点，那么AP2+AB2=BP2，即18+（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2=t2+（﹣t2﹣2t）2，整理得t2+t﹣6=0，解得t1=2，t2=﹣3（没有合题意舍去），则点P的坐标为（2，﹣5）；
综上所述：所有符合条件的点P的坐标为（﹣1，4）或（2，﹣5）．
另解：如图3，作DE⊥y轴于点E，发现∠ABO=∠DBE=45°
可知顶点D满足△DAB是直角三角形，这时点P的坐标为（﹣1，4）；
作PA⊥AB交抛物线于点P，作PF⊥x轴于点F，发现∠PAF=∠APF=45°，由PF=AF求出另一点P为（2，﹣5）．
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