2022-2023学年安徽省合肥市九年级上册数学期中专项突破模拟卷（卷一卷二）含解析

这是一份2022-2023学年安徽省合肥市九年级上册数学期中专项突破模拟卷（卷一卷二）含解析，共48页。试卷主要包含了选一选．，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省合肥市九年级上册数学期中专项突破模拟卷（卷一）
一、选一选（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）．
1. 下列图形中，既是对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2. 一元二次方程 根情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定
3. 下列中是必然发生的是（ ）.
A. 打开电视机，正播放新闻
B. 通过长期努力学习，你会成为数学家
C. 从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃
D. 某校在同一年出生的有367名学生，则至少有两人的生日是同
4. 下列四个命题中，正确的个数是(　　)
①三点一定可以画圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆；
③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤三角形的外心一定在三角形的外部.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
5. 将二次函数y＝x2图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A. y＝(x－1)2＋2 B. y＝(x＋1)2＋2 C. y＝(x－1)2－2 D. y＝(x＋1)2－2
6. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连结AD，GD．=50°，则∠AGD=（　　）

A. 50° B. 55° C. 65° D. 75°
7. 已知，与为二次函数图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8. 某地区2017年投入教育2500万元，预计到2019年共投入8000万元．设这两年投入教育的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A. 2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=8000 B. 2500x2=8000
C. 2500（1+x）2=8000 D. 2500（1+x）+2500（1+x）2=8000
9. 如图，AC、BD为圆O的两条互相垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O的路线作匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，那么表示y与t之间函数关系的图象大致为（　　）

A. B. C. D.
10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填 空 题（本大题共有5小题，每小题3分，共15分．请把答案填在题中的横线上．）
11. 已知点A（2，4）与点B（b﹣1，2a）关于原点对称，则ab＝_____．
12. 圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为_____cm2．
13. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P=________度．


14. 若关于的一元二次方程kx2-4x-1=0有实数根，则k的取值范围是_______________.
15. 将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是_____cm2．

三、解 答 题：本大题共9个小题，共75分，解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明．
16. 解方程：
17. 已知关于x的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根．
18. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为一个单位长度，已知△ABC．
（1）以O为旋转，将△ABC顺时针旋转90°，得△A1B1C1，画出 △A1B1C1，，则点C1的坐标是 ；
（2）求出线段AC扫过的面积．

19. 商场某种商品平均每天可30件，每件盈利50元． 为了尽快减少库存，商场
决定采取适当的降价措施． 经发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2
件．设每件商品降价x元． 据此规律，请回答：
（1）商场日量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件没有变、正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
20. （1）作△ABC的外接圆；
（2）若AC=BC，AB=8，C到AB距离是2，求△ABC的外接圆半径．

21.
甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、64张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．
22. 鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其单价没有高于每千克60元，没有低于每千克30元．经市场发现：日量y（千克）是单价x（元）的函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100．在过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司该原料日获利w（元）与单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当单价为多少元时，该公司日获利？获利是多少元？
23. 如图，在中，，是平分线，是上一点，以为半径的点．

（1）求证：是切线；
（2）若，，求的长．
24. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果没有存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积？求出四边形CDBF的面积及此时E点的坐标．



















2022-2023学年安徽省合肥市九年级上册数学期中专项突破模拟卷（卷一）
一、选一选（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）．
1. 下列图形中，既是对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据对称图形的定义：旋转180度之后与自身重合称为对称，轴对称是折叠后能够与自身完全重合称为轴对称，根据定义去解题.
【详解】解：A、是对称图形，没有是轴对称图形，故本选项错误；
B、没有是对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、没有是对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．
本题考查的是对称图形和轴对称图形的定义.
2. 一元二次方程 根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定
【正确答案】A

【详解】解：x2+2x-5=0，
这里a=1，b=2，c=-5，
∵b2-4ac=22-4×1×（-5）=24＞0，
∴有两个没有相等的实数根，
故选A．
根与系数的关系，当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个没有相等的实数根；当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，一元二次方程无实数根．
3. 下列中是必然发生的是（ ）.
A. 打开电视机，正播放新闻
B. 通过长期努力学习，你会成为数学家
C. 从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃
D. 某校在同一年出生的有367名学生，则至少有两人的生日是同
【正确答案】D

【详解】试题分析：必然就是一定发生的，即发生的概率是1的．A、B、C选项可能发生，也可能没有发生，是随机．故没有符合题意；
D、是必然．
故选D．
考点：随机；必然．
4. 下列四个命题中，正确的个数是(　　)
①三点一定可以画圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆；
③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤三角形的外心一定在三角形的外部.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B

【详解】试题分析：①必须没有在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，错误；
②任意一个三角形一定有一个外接圆，正确；
③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，正确；
④三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，正确；
⑤三角形的外心没有一定在三角形的外部，错误；
故选B．
考点：命题与定理．
5. 将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A. y＝(x－1)2＋2 B. y＝(x＋1)2＋2 C. y＝(x－1)2－2 D. y＝(x＋1)2－2
【正确答案】A

【详解】试题分析：根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y=（x﹣1）2+2，
故选A．
考点：二次函数图象与几何变换．
6. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连结AD，GD．=50°，则∠AGD=（　　）

A. 50° B. 55° C. 65° D. 75°
【正确答案】C

【分析】首先连接OC，BD，根据弧与圆心角的关系，可求得∠BOC的度数，又由弦CD⊥AB，由垂径定理可得，则可求得∠BAD的度数，又由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠B的度数，然后由圆周角定理，求得答案．
【详解】解：连接OC，BD，

∵=50°，
∴∠BOC=50°，
∵弦CD⊥AB，
∴，
∴∠BAD=∠BOC=25°，
∵AB是O直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B=90°−∠BAD=65°，
∴∠AGD=∠B=65 °.
故选C.
此题考查了圆周角定理、垂径定理以及弧与圆心角的关系．注意准确作出辅助线是解此题的关键
7. 已知，与为二次函数图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】一种方法是将已知三点代入抛物线解析式，求出的值，再进行比较；另一种方法是先确定抛物线开口方向，再求出抛物线的对称轴，然后判断三点离对称轴的远近并用抛物线的增减性来进行比较判断.
【详解】解：解法1：将，与代入，得，∴；
解法2：抛物线的对称轴为，在，与三点中，离对称轴最近，次之为，最远的是，又因为抛物线开口向下，所以.
故选B.
本题考查了二次函数的图象和性质，此类题的解题思路是先确定抛物线开口方向，再确定抛物线的对称轴，抛物线的增减性进行判断.
8. 某地区2017年投入教育2500万元，预计到2019年共投入8000万元．设这两年投入教育的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A. 2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=8000 B. 2500x2=8000
C. 2500（1+x）2=8000 D. 2500（1+x）+2500（1+x）2=8000
【正确答案】A

【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育的年平均增长率为x，根据2017年投入2500万元，预计2019年投入8000万元即可得出方程．
【详解】设教育的年平均增长率为x，

则2018的教育为：2500×(1+x)

2019的教育为：2500×(1+x)2.

那么可得方程：2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=8000.
故选A.
本题考查的是一元二次方程的实际应用，正确列出方程是解题的关键.
9. 如图，AC、BD为圆O的两条互相垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O的路线作匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，那么表示y与t之间函数关系的图象大致为（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】当P与O重合时，∠APB的度数为90度；
P向C运动过程中，∠APB的度数逐渐减小；
当P运动到C时，利用圆周角定理得到∠APB的度数为45度；
当P在弧CD上运动时，∠APB的度数没有变，都为45度；
当P从D运动到O时，∠APB的度数逐渐增大，
作出函数y与t的大致图象，如图所示：

故选C.
10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B

【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填 空 题（本大题共有5小题，每小题3分，共15分．请把答案填在题中的横线上．）
11. 已知点A（2，4）与点B（b﹣1，2a）关于原点对称，则ab＝_____．
【正确答案】2

【详解】由题意，得
b−1=−2，2a=−4，
解得b=−1，a=−2，
∴ab=(−2) ×(−1)=2，
故答案为2．
12. 圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为_____cm2．
【正确答案】．

【详解】试题分析：因为圆内接正六边形的两条半径与正六边形边长组成等边三角形，由边心距可求得正六边形的边长是，把正六边形分成6个这样的三角形，则这个正六边形的面积为4×÷2×6=．
考点：圆内接正多边形面积计算．

13. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P=________度．


【正确答案】60

【分析】连接OA，BO，由圆周角定理知可知∠AOB=2∠E=120°，PA、PB分别切⊙O于点A、B，利用切线的性质可知∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和可求得∠P=180°-∠AOB=60°．
【详解】解：连接OA，BO；
∵∠AOB=2∠E=120°，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=180°-∠AOB=60°．
故60．

本题利用了圆周角定理，切线的性质，四边形的内角和为360度求解，熟练掌运用切线的性质是解题关键．
14. 若关于的一元二次方程kx2-4x-1=0有实数根，则k的取值范围是_______________.
【正确答案】

【详解】∵一元二次方程有实数根,
∴ ,
解得：k≥－4且k≠0．
故答案是：k≥－4且k≠0．
主要运用一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
15. 将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是_____cm2．

【正确答案】

【详解】∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，
∵∠CAC′=15°，
∴∠C′AB=∠CAB﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，AC′=AC=5，
∴阴影部分的面积=×5×tan30°×5=．
三、解 答 题：本大题共9个小题，共75分，解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明．
16. 解方程：
【正确答案】，

【分析】先把方程化为：，再利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：方程整理得：
，
分解因式得：
，
可得或，
解得：，．
本题考查是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．
17. 已知关于x的方程
（1）当该方程一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根．
【正确答案】（1），；（2）证明见解析

【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可；
（2）要证方程都有两个没有相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可．
【详解】（1）设方程的另一根为x1，
∵该方程的一个根为1，
∴，解得．
∴a的值为，该方程的另一根为．
（2）∵，
∴没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根．
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用．
18. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为一个单位长度，已知△ABC．
（1）以O为旋转，将△ABC顺时针旋转90°，得△A1B1C1，画出 △A1B1C1，，则点C1的坐标是 ；
（2）求出线段AC扫过的面积．

【正确答案】（1）答案见解析，C1（2，1）；（2）2π．

【详解】分析：①根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；②根据勾股定理求出面积即可．
本题解析：
解：（1）如图 ，点C1的坐标是（2，1）

（2）由勾股定理可得：OA2=13，OC2=5
线段AC扫过的面积为：S扇形AOA1-S扇形COC1==
19. 商场某种商品平均每天可30件，每件盈利50元． 为了尽快减少库存，商场
决定采取适当的降价措施． 经发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2
件．设每件商品降价x元． 据此规律，请回答：
（1）商场日量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件没有变、正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【正确答案】（1） 2x，，（2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．

【详解】（1） 2x，．
(2)解：由题意，得(30＋2x)(50－x)＝2 100
解之得x1＝15，x2＝20．
∵该商场为尽快减少库存，降价越多越吸引顾客．
∴x＝20．
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．
20. （1）作△ABC的外接圆；
（2）若AC=BC，AB=8，C到AB的距离是2，求△ABC的外接圆半径．

【正确答案】（1）作图见解析；（2）△ABC的外接圆半径为5．

【详解】试题分析：（1）如图1，分别作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点O，连结OB，然后以OB为半径作 O即可；（2）连结OA，作CD⊥AB于D，如图2，设 O的半径为r，根据等腰三角形的性质得AD=BD=4，再利用垂径定理的推论可判断点O在CD上，则OD=CD-OC=8-r，然后利用勾股定理得到（r-2）2+42=r2，再解方程即可．
试题解析：（1）如图1，⊙O为所求；

（2）连结OA，作CD⊥AB于D，如图2，

设⊙O的半径为r，
∵AC=BC，
∴AD=BD=4，
∴点O在CD上，
∴OD=CD﹣OC=8﹣r，
在Rt△OAD中，∵OD2+AD2=OA2，
∴（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，
即△ABC的外接圆半径为5．
21.
甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．
【正确答案】没有公平，理由略．

【详解】解：这个游戏没有公平，游戏所有可能出现的结果如下表：
第二次
次

3

4

5

6

3

33

34

35

36

4

43

44

45

46

5

53

54

55

56

6

63

64

65

66


表中共有16种等可能结果，小于45的两位数共有6种．··········· （5分）
．·················· （7分）
，
这个游戏没有公平．··························· （8分）
22. 鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其单价没有高于每千克60元，没有低于每千克30元．经市场发现：日量y（千克）是单价x（元）的函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100．在过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司该原料日获利w（元）与单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当单价为多少元时，该公司日获利？获利是多少元？
【正确答案】（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x－65）2 +2000）;（3）当单价为60元时，该公司日获利，为1950元

【分析】（1）设出函数解析式，把相应数值代入即可．
（2）根据利润计算公式列式即可；
（3）进行配方求值即可．
【详解】（1）设y=kx+b，根据题意得解得：
∴y=－2x+200（30≤x≤60）
（2）W=（x－30）（－2x+200）－450
=－2x2+260x－6450
=－2（x－65）2 +2000）
（3）W =－2（x－65）2 +2000
∵30≤x≤60
∴x=60时,w有值为1950元
∴当单价为60元时，该公司日获利，为1950元
考点：二次函数的应用．
23. 如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的点．

（1）求证：是切线；
（2）若，，求的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）如图，连接OD．欲证BC是⊙O切线，只需证明OD⊥BC即可．
（2）过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的长，再通过设未知数利用勾股定理得出AC的长．
【详解】（1）证明：如解图1所示，连接．

平分．
，，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）如解图2，过作于
，
又平分，
，
，，
，
在中，，由勾股定理，得，
设，则，
在中，则由勾股定理，得：，
解得：，
的长为．

本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了角平分线的性质，勾股定理．
24. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果没有存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积？求出四边形CDBF的面积及此时E点的坐标．

【正确答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2
(2)存在，P1（，4），P2，P3（，﹣）
(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积，S四边形CDBF的面积=．

【详解】试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元方程组，解方程组即可得出m、n的值；
（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+nA（﹣1，0），C（0，2）．
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；
（2）∵y=﹣x2+x+2，

∴y=﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴是x=．
∴OD=．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=CP2=CP3=CD．
作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，
∴DP1=4．
∴P1（，4），P2，P3（，﹣）；
（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣1，x2=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），
∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，
=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），
=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．
=﹣（a﹣2）2+
∴a=2时，S四边形CDBF的面积=，
∴E（2，1）．

考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值


2022-2023学年安徽省合肥市九年级上册数学期中专项突破模拟卷（卷二）
一.单 选 题（共10题；共30分）
1. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=40°，则∠B的度数为       （  ）

A. 20° B. 40° C. 50° D. 60°
2. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠BOC=40°，则∠C的度数等于（　　）

A. 20° B. 40° C. 60° D. 80°
3. 如图，△ABC三边分别切⊙O于D，E，F，若∠A=50°，则∠DEF=（　　）

A. 65° B. 50° C. 130° D. 80°
4. 方程的根为（ ）．
A. B. C. D.
5. 如图，PA、PB是⊙O切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P＝50°，那么∠ACB等于（　　）

A. 40° B. 50° C. 65° D. 130°
6. 如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）

A. AE＝OE B. CE＝DE C. OE＝CE D. ∠AOC＝60°
7. 已知一个圆锥底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（　　）
A. 15πcm2 B. 30πcm2 C. 60πcm2 D. 3cm2
8. 某商品原价500元，连续两次降价a%后售价为200元，下列所列方程正确的是
A. 500（1+a%）2=200 B. 500（1-a%）2=200
C. 500（1-2a%）=200 D. 500（1-a2%）=200
9. 用公式法解时，先求出、、值，则、、依次为（ ）
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
10. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于（ ）

A. 36° B. 44° C. 46° D. 54°
二.填 空 题（共8题；共24分）
11. 小华在解一元二次方程x2-4x=0时，只得出一个根是x=4，则被他漏掉的一个根x=___
12. 如图，⊙O是ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为_____．

13. 如图，内接于，于点，若，，的半径，则________．

14. 如图，PA 、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是_____．

15. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______.

16. 已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1，则m=______，另一个根为______．
17. 如图，线段与相切于点，线段与相交于点，，，则半径长为__________.

18. 若关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是_____．
　
三.解 答 题（共6题；共36分）
19. 如图，为的劣弧的中点，，分别为，的中点，求证.

20. 如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝3，BC＝4．

（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边BC相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，没有写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的值？若能，请你求出S的值；若没有能，请你说明没有能确定S的值的理由．
21. 已知：△ABC（如图）

（1）求作：作△ABC的内切圆⊙I.（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，没有写作法，没有要求证明）．
（2）在题（1）已经作好的图中，若∠BAC=88°，求∠BIC的度数.
22. 如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数．

23. 岳一中初三某学生聆听了感恩励志主题演讲《没有要让爱你的人失望》后，写了一份《改变，从现在开始》的倡议书在传播，规则为：将倡议书发表在自己的，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互没有相同的好友转发倡议书，依此类推，已知两轮传播后，共有421人参与了传播，求n的值．
24. 在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽AB为6cm，当油面宽AB为8cm时，油上升了多少cm？

　
四.综合题（10分）
25. 如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求△ABC的面积．








2022-2023学年安徽省合肥市九年级上册数学期中专项突破模拟卷（卷二）
一.单 选 题（共10题；共30分）
1. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=40°，则∠B的度数为       （  ）

A. 20° B. 40° C. 50° D. 60°
【正确答案】C

【详解】试题分析：根据圆周角定理：直径所对的圆周角为直角，可以得到△ABC是直角三角形，根据直角三角形的两锐角互余即可求解．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=40°，
∴∠B=50°，
故选C．
考点：圆周角定理；直角三角形的性质．
2. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠BOC=40°，则∠C的度数等于（　　）

A. 20° B. 40° C. 60° D. 80°
【正确答案】A

【详解】利用三角形外角和等腰三角形的性质即可求出答案.
∵∠BOC=40°，
∴∠C+∠A=40°，
AO=CO，
∴∠C=∠A=20°．
故选A．
3. 如图，△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F，若∠A=50°，则∠DEF=（　　）

A. 65° B. 50° C. 130° D. 80°
【正确答案】A

【分析】连OD，OF．则得到∠DOF与∠DEF的数量关系．而∠DOF与∠A是互补的，因此先求出∠DOF，再就能得到∠DEF．
【详解】解：连OD，OF，如图，

则OD⊥AB，OF⊥AC；
∴∠DOF=180°-∠A=180°-50°=130°，
又∵∠DEF=∠DOF=×130°=65°，
故选：A．
本题考查三角形内切圆．熟练掌握切线的性质定理和圆周角定理．记住四边形的内角和为360°．
4. 方程的根为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】因式分解法解方程．
【详解】解：，
，
故选C．
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是关键．
5. 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P＝50°，那么∠ACB等于（　　）

A. 40° B. 50° C. 65° D. 130°
【正确答案】C

【详解】解：连接OA，OB．

根据切线的性质，得∠OBP=∠OAP=90°，
根据四边形的内角和定理得∠AOB=130°，
再根据圆周角定理得∠C=∠AOB=65°．
故选C．
6. 如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）

A. AE＝OE B. CE＝DE C. OE＝CE D. ∠AOC＝60°
【正确答案】B

【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧求解．
【详解】解：∵直径AB⊥弦CD
∴CE＝DE
故选B.
本题考查垂径定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握垂径定理，即可完成．
7. 已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（　　）
A 15πcm2 B. 30πcm2 C. 60πcm2 D. 3cm2
【正确答案】B

【详解】这个圆锥的侧面积= cm2．
故选B
8. 某商品原价500元，连续两次降价a%后售价为200元，下列所列方程正确的是
A. 500（1+a%）2=200 B. 500（1-a%）2=200
C. 500（1-2a%）=200 D. 500（1-a2%）=200
【正确答案】B

【分析】根据平均增长（降低）率公式列出方程即可.
【详解】解：依题意得：500（1﹣a%）2=200．
故选B．
9. 用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（ ）
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
【正确答案】A

【分析】把方程变为一般式，即可确定a，b，c．注意a，b，c可同时乘以一个没有为零的数．
【详解】把方程化为一元二次方程的一般形式为，
∴a=1，b=−3，c=1.
但选项里没有这组值，方程两边同乘以−1，得：，
此时a=−1，b=3，c=−1.
故选:A.
考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.
10. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于（ ）

A. 36° B. 44° C. 46° D. 54°
【正确答案】A

【详解】利用圆周角定理即可得出答案.
解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ADC=54°，
∴∠ABC=54°，
∴∠BAC=180°﹣90°﹣54°=36°.
故选A．
点睛：本题考查圆的基本性质.利用圆周角定理得出∠B=∠D是解题的关键.
二.填 空 题（共8题；共24分）
11. 小华在解一元二次方程x2-4x=0时，只得出一个根是x=4，则被他漏掉的一个根x=___
【正确答案】0．

【详解】试题分析：x（x-4）=0
∴x1=4,x2=0
故漏掉的另一根为0
考点：解一元二次方程—因式分解
12. 如图，⊙O是ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为_____．

【正确答案】42°．

【详解】试题分析：根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．∵OA=OB，∠OBA=48°，∴∠OAB=∠OBA=48°，∴∠AOB=180°﹣48°×2=84°，∴∠C=∠AOB=42°，
考点：圆周角定理
13. 如图，内接于，于点，若，，的半径，则________．

【正确答案】

【分析】首先作直径AE，连接CE，易证得△ABH∽△AEC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得⊙O半径．
【详解】解：作直径AE，连接CE，

∴∠ACE=90°，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB=90°，
∴∠ACE=∠AHB，
∵∠B=∠E，
∴△ABH∽△AEC，
∴，
∴AB=，
∵AC=24，AH=18，AE=2OC=26，
∴AB=，
故答案为．
此题考查了圆周角定理与相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形思想的应用．
14. 如图，PA 、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是_____．

【正确答案】4．

【详解】考点：切线的性质．
分析：由切线长定理知，AE=CE，FB=CF，PA=PB=2，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．
解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，
∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=2，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=4．
故填空答案：4．
15. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______.

【正确答案】(x+1)2=25

【分析】此图形的面积等于两个正方形面积的差，据此即可列出方程.
【详解】根据题意得：（x+1） 2 -1=24，
即：（x+1） 2 =25．
故答案为（x+1） 2 =25．
本题考查了一元二次方程的应用——图形问题，解题的关键是明确图中没有规则图形的面积计算方法.
16. 已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1，则m=______，另一个根为______．
【正确答案】 ①. 2 ②. 2

【详解】试题分析：∵关于的方程的一个根是1，
∴.
∴关于的方程为，解得.
∴，另一个根为2.
考点：1.方程的根；2.解一元二次方程.
17. 如图，线段与相切于点，线段与相交于点，，，则半径长为__________.

【正确答案】5

【分析】连接OB，根据切线的性质求出∠ABO=90°，在△ABO中，由勾股定理即可求出⊙O的半径长．
【详解】连接OB，
∵AB切⊙O于B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
设⊙O的半径长为r，
由勾股定理得：
r2+122=（8+r）2，
解得r=5．
故答案为5．

本题考查了切线的性质和勾股定理的应用，关键是得出三角形ABO为直角三角形.
18. 若关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是_____．
【正确答案】k＜

【详解】解：由题意得：△=9﹣4k＞0，
解得：k＜，
故k＜．
　
三.解 答 题（共6题；共36分）
19. 如图，为的劣弧的中点，，分别为，的中点，求证.

【正确答案】见解析

【分析】由于C为的劣弧的中点，可得，故，由D,E分别为的中点，可得，，可得可证，即可证结论
【详解】证明：为的劣弧的中点，，
连接，

分别为的中点，
，.


在和中，



本题考查了圆的有关性质，掌握圆的有关性质及全等的证明是解题的关键.
20. 如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝3，BC＝4．

（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边BC相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，没有写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的值？若能，请你求出S的值；若没有能，请你说明没有能确定S的值的理由．
【正确答案】(1)作图见解析；（2）．

【分析】（1）作出∠B的角平分线BD，再过X作OX⊥AB，交BD于点O，则O点即为⊙O的圆心；
（2）由于⊙P与△ABC哪两条边相切没有能确定，故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切；⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时；⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论．
【详解】（1）如图所示：


①以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交BC、AB于点G、H；②分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于D，连接BD；③过X作OX⊥AB，交直线BD于点O，则点O即为⊙O的圆心．
（2）①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质可知，动点P是∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1（没有为∠ABC的顶点）
∵OX=BOsin∠ABM，P1Z=BPsin∠ABM，当BP1＞BO时，P1Z＞OX即P与B的距离越大，⊙P的面积越大，这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度的点； 如图2，

∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上，
∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与CB相切于C，与边AB相切于E，即这时⊙P是符合题意的圆，
时⊙P的面积就是S的值，
∵AC=1，BC=2，∴AB=，
设PC=x，则PA=AC-PC=1-x
在直角△APE中，PA2=PE2+AE2，
∴（1-x）2=x2+（-2）2，
∴x=2-4；
②如图3，

同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC=y，则（2-y）2=y2+（-1）2，
∴y=；
③如图4，

同理可得，当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，设PF=z，
∵△APF∽△PBE，
∴PF：BE=AF：PE，
∴，
∴z=．
由①、②、③可知，
＞＞
∴z＞y＞x，
∴⊙P的面积S的值为π．
21. 已知：△ABC（如图）

（1）求作：作△ABC的内切圆⊙I.（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，没有写作法，没有要求证明）．
（2）在题（1）已经作好的图中，若∠BAC=88°，求∠BIC的度数.
【正确答案】（1）作图见解析；（2）134°．

【详解】试题分析：（1）分别作出∠BAC、∠ABC的平分线，两平分线的交点即为△ABC的内切圆的圆心I，过点I向BC作垂线，垂足为H，垂足与I之间的距离即为⊙I的半径，以I为圆心，IH为半径画圆即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB的度数，由三角形内角和定理即可求解．
试题解析：（1）①以A为圆心任意长为半径画圆，分别交AC、AB于点H、G；
②分别以H、G为圆心，以大于HG为半径画圆，两圆相交于K点，连接AK，则AK即为∠BAC的平分线；
③同理作出∠ABC的平分线BF，交AK于点I，则I即为△ABC内切圆的圆心；
④过I作IH⊥BC于H，以I为圆心，IH为半径画，则⊙I即为所求圆．

（2）∵∠BAC=88°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=×92°=46°，
∴∠BIC=180°-46°=134°．
考点: 三角形的内切圆与内心．
22. 如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数．

【正确答案】（1）证明见解析；
（2）∠APN的度数为108°．

【分析】（1）利用正五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，再利用全等三角形的判定得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出∠BAM+∠ABP=∠APN，进而得出∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC即可得出答案．
【详解】（1）∵正五边形ABCDE，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
∴在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°．
即∠APN的度数为108°．
考点：1.全等三角形的判定与性质2.多边形内角与外角．
23. 岳一中初三某学生聆听了感恩励志主题演讲《没有要让爱你的人失望》后，写了一份《改变，从现在开始》的倡议书在传播，规则为：将倡议书发表在自己的，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互没有相同的好友转发倡议书，依此类推，已知两轮传播后，共有421人参与了传播，求n的值．
【正确答案】20.

【详解】设邀请了n个好友转发倡议书，轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有421人参与，列出方程求解即可．
解：由题意，得，
n+n2+1=421，
解得：n1=﹣21（舍去），n2=20．
故n的值是20．
24. 在直径为10cm圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽AB为6cm，当油面宽AB为8cm时，油上升了多少cm？

【正确答案】油上升了1cm．

【详解】连接AO，过点O作OC⊥AB于点C，根据垂径定理勾股定理求出当AB=6cm和8cm时OC的长度，由此即可得出结论．
解：连接AO，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示．
∵OC⊥AB于C，且AB为弦，
∴AC=AB．
当AB=6cm时，在Rt△OAC中，OA==5cm，AC=3cm，
∴OC==4cm；
当AB=8cm时，在Rt△OAC中，OA==5cm，AC=4cm，
∴OC==3cm．
∴4cm﹣3cm=1cm．
答：油上升了1cm．

点睛：本题主要考查垂径定理.利用垂径定理与勾股定理是解题的关键.
　
四.综合题（10分）
25. 如图，点A是⊙O直径BD延长线上一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求△ABC的面积．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）．

【详解】试题分析：（1）连接OC，根据等腰三角形的性质：等边对等角，以及直径所对的圆周角是直角，利用等量代换证得∠ACO=90°，据此即可证得；
（2）易证∠A=∠B=∠1=∠2=30°，即可求得AC的长，作CE⊥AB于点E，求得CE的长，利用三角形面积公式求解．
试题解析：（1）连接OC．∵AC=BC，AD=CD，OB=OC，∴∠A=∠B=∠1=∠2．∵∠ACO=∠DCO+∠2，∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD，又∵BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠ACO=90°，又C在⊙O上，∴AC是⊙O的切线；
（2）由题意可得△DCO是等腰三角形，∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1，∴∠CDO=∠DOC，即△DCO是等边三角形，∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2，在直角△BCD中，BC===．又AC=BC，∴AC=．作CE⊥AB于点E．
在直角△BEC中，∠B=30°，∴CE=BC=，∴S△ABC=AB•CE=×6×=．

考点：切线的判定．