2022-2023学年高考数学二轮复习立体几何妙招 2 正棱锥与线面垂直模型（原卷＋解析版）

第2讲  正棱锥与线面垂直模型

知识与方法

技巧 正棱锥外接球半径的秒杀方法

为侧棱长, 为棱锥的高.

证明: , 在直角三角形 中, ,

即 .

正四面体:外接球半径 ( 为棱长), 可用补形法求的内切球半径 .

技巧 线面垂直模型

其中外接球半径 , 高 , 底面半径 证明:如图

典型例题

【例1】已知 是面积为 的等边三角形, 且其顶点都在球 的球面上. 若球 的表面积为 ,则 到平面 的距离为( )

A.  B.  C. 1 D.

【解析】

【解法1】由题意可知图形如图: 是面积为 的等边三角形, 可得 ,

, 可得: ,

球 的表面积为 , 外接球的半径为 : ;

所以 , 解得 ,

所以 到平面 的距离为: .

【解法2】 假设侧棱垂直于

则 . 则 , 根据 , 又 , 所以 ,

【答案】 .

【例2】 已知 为球 的球面上的三个点, 为 的外接圆. 若 的面 积为 , 则球 的表面积为 ( )

A.  B.  C.  D.

【解析】

【解法1】由题意可知图形如图: 的面积为 , 可得 ,

则 ，

,

外接球的半径为: ,

球 的表面积: .

【解法2】假设侧棱垂直于 , 则 ,

根据 , 所以 ,

【答案】 .

【例3】如果三棱锥的每条侧棱和底面的边长都是 , 那么这个三棱锥的外接球的体积是 (）

A.  B.  C.  D.

【解析】

【解法1】正三棱锥 的所有棱长均为 此三棱锥一定可以放在棱长为 的正方体 中, 此四面体的外接球即为此正方体的外接球, 外接球的直径为正方体的对角线长,

外接球的半径为 ,

球的体积为 ;

【解法2】根据正四面体的结论, 外接球半径为 , 外接球体积

【答案】 .

【例4】在正三棱锥 中, , 则该三棱锥外接球的直径为 ( )

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

【解析】

【解法1】 正三棱锥 中, , 如图所示. 设点 在底面

内的投影为 , 延长 至 , 使 , 则 是该三棱锥外接 球的直径, 连接 , 则 , 由射影定理得 ,

即 , 解得 .

【解法2】,

【答案】 A.

【例5】如图, 已知正三棱锥的侧棱长为 2 , 底面周长为 9 .

(1)求这个正三棱锥的体积;

(2) 求这个正三棱锥的外接球的体积.

【解析】

【解法1】 (1) 如图: 为正三棱锥,

在平面 上的射影为 的中心 .

又 的周长是 ,

连接 并延长交 于 , 则 ,

,

三棱锥的高 ;

三棱锥的体积

(2)在平面 内作 的垂直平分线交 的延长线于 , 则 为正三棱锥的外接球的球心, 连接 , 设 , 则 ,

由 , 得 , 解得 : .

这个正三棱锥的外接球的体积为 .

【解法2】

【例6】已知三棱锥 底面 , 且 是边长为 的正三角 形, ,则该三棱锥的外接球表面积是 ( )

A.  B.  C.  D.

【解析】

【解法1】取 中心 , 连结 , 过 作 平面 , 则球心 在 上

过球心 作 , 交 于 , 则球半径 ,

三棱锥 底面 , 且 是边长为 的正三角形, ,

,

,

该三棱锥的外接球表面积是: .

【解法2】CD=r=1,

【答案】C

【例7】三棱锥 垂直于平面 2 ,则该三棱锥外接球的表面积

【解析】

【解法1】,

,

的外接圆的半径为 ,

设三棱锥的外接球的球心到平面 的距离为 ,

则 ,

该三棱锥的外接球半径为 ,表面积为 ,

【解法2】三角形 外接圆半径

【答案】.

【例8】已知某三棱柱的侧棱垂直于底面,且底面是边长为 2 的正三角形, 若其外 接球的表面积为 , 则该三棱柱的高为( )

A.  B. 3 C. 4 D.

【解析】

【解法1】 设 是三棱柱上下底面的中心, 球心 为 的中点, 半径 , 由 ,

可得 , 由正弦定理可得 , 所以 ,

又 ,

所以 , 故高 .

【解法2】 ,

【答案】 B.

【例9】已知球 是三棱锥 的外接球, , 则 当点 到平面 的距离取最大值时,球 的表面积是( ( )

A.  B.  C.  D.

【解析】

【解法1】当点 到平面 的距离最大时, 平面 . 如图, 以 为底面, 为侧 棱补成一个直三棱柱, 则球 是该三棱柱的外接球, 球心 到底面 的距离 1. 可得 , 所以球 的半径为 , 所以球 的表面 积为 .

【解法2】 底面 为正三角形,

【答案】 .

【例10】在四棱锥 中, 平面 ,四边形 是 平行四边形, , 经过直线 且与直线 平行的平面交直线 于点 ,则三棱锥 的外接球的表面积为 ( )

A.  B.  C.  D.

【解析】

【解法1】如图, 连接 , 交 于 ,

四边形 是平行四边形, 为 的中点,

平面 平面 平面 , , 则 为 的中点, 设三角形 的外心为 , 外 接圆半径为 , 由已知可得, , 则 , 再设三棱锥 的外接球的球心为 , 连接 , 则 平面 , 又 平面 , 且 ,

外接球半径 满足 , 则三棱锥 的外接球的表面积为 .

【解法2】由题意得 是 中点, 底面 , 在 中, ,

【答案】 B.

【例11】㧥尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式, 宋代称为撮尖, 清代称为损尓. 依 其平面有圆形㧥尖、三角㧥尖、四角㧥尖、六角㧥尖等, 也有单檐和重檐之分, 多见于亭阁式建筑. 如图所 示,某园林建筑屋顶为六角㧥尖, 它的主轮廓可近似看作一个正六棱锥 (底面为正六边形, 从顶点向底面作 垂线,垂足是底面中心). 若正六棱锥的侧棱与高线所成的角为 , 则其外接球半径与侧棱长的比值 为

A.  B.  C.  D.

【解析】

【解法1】如图, 设 为底面中心, 设底面边长为 , 因为底面为正六边形,所以 , 连结 , 则 底面 , 所以侧棱 与高 所成的角即为 ,

则 , 所以侧棱长 , 设外接球的半径为 ,

则 ,

因为 , 所以 , 在 Rt 中, ,

所以 ,

所以 ,

所以 ,

故其外接球半径与侧棱长的比值为 .【解法2】, 根据题得 ,

那么 ,

【答案】 .

强化训练

1.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4 ,底面边长为 2 , 则该球的表面积为 ( )

A.  B.  C.  D.

【解析】

【解法1】设球的半径为 棱锥的高为 4 ,底面边长为 ,

球的表面积为 .

【解法2】,

【答案】 A.

2.已知直三棱柱 的各顶点都在球 的球面上, 且 , 若球 的体积 为 , 则这个直三棱柱的体积等于（）

A.  B.  C. 2 D.

【解析】

【解法1】 设 和 的外心分别为 , 连接 , 可得外接球的

球心 为 的中点, 连接 中, , 根据正弦定理, 得 外 接圆半径 球 的体积为 , 中, , 可得 , 直三棱柱 的底面积 ,

直三棱柱 的体积为 .

【解法2】 底面 , 在 中, , , 得到

【答案】 B.

3..已知三棱锥 是直角三角形,其斜边 平面 , , 则三棱锥的外接球的表面积为

A.  B.  C.  D.

【解析】过 作球的弦 的垂线,垂足为 ,则 为 中点,根据勾股定理求出球半径 ,

代入球表面积公式即可.

【解法1】如图所示,直角三角形 的外接圆的圆心为 中点 , 过 作面 的垂线,球心 在该垂线上,过 作球的弦 的垂线, 垂足为 , 则 为 的中点, 直角三角形 是 球的半径 . 故棱锥的外接球的表面积为 ,

【解法2】,

【答案】 .

4．我国古代数学经典名著《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂 直的四棱锥称为阳马, 将四个面都为直角三角形的三棱锥称为瞥臑. 若三棱锥 为鳖臑, 且 平面 , 且该憋臑的外接球的表面积为 , 则该暼臑的表面积为

【解析】

【解法1】 设三棱锥 的外接球的半径为 , 则 ,得 , 设直角三角形的外接圆直径为 , 则 , 由于直角三角形的外接圆的直径为其斜边,所以, 不是直角 的斜边, 则 为该直角三角形的一条直角边, 如图所示,

平面 平面 , 所以, , 所以, 和 都是直角三角形,

设 为直角 的斜边, 则 , 即 , 平面 平面 , 所以, ,

平面 ,

平面 .

则 是以 为直角的直角三角形, 且 ,

因此,三棱锥 的表面积为 .

【解法2】 底面 , 在 中, , 得 到 .

【答案】 .

5.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 2 的正方形和 4 个边 长为 2 的正三角形组成,则该多面体的外接球的表面积为( )

A.  B.  C.  D.

【解析】

【解法1】该多面体是一个棱长都为 2 的四棱锥 , 设正方形 的中心为 , 则 . 又 为四棱锥外接球的球心,球的半径为 该多面体的外接球的表面 积 .

【解法2】, 由题意可知, 棱长均为 .

【答案】 C.

6.已知长方体 的底面是边长为 2 的正方形,高为 是 中 点,则三棱锥 的外接球的表面积为 ( )

A.  B.  C.  D.

【解析】

【解法1】 如图,因为在三棱锥 中, 平面 且 为直角三角 形,所以外接球球心是 的中点, 不妨设球的半径为 , 则 , 所 以球的表面积 .

【解法2】 底面 , 在 中, ,

【答案】 B.

7.在三棱锥 中, 平面 是边长为 3 的正三角形, , 则该三棱锥的外接球的表面积为 ( )

A.  B.  C.  D.

【解析】

【解法1】如图,设 中点 , 连接 ,

是边长为 3 的正三角形,则底面三角形外接圆的半径为 , 又 平面 三棱锥的外接球的半径 满足 该三棱锥的外接球的表面 积为 .

【解法2】 底面 , 在 中, .

【答案】 D.

8.四面体 中, , 且 面 , 则四面 体 的外接球表面积为( )

A.  B.  C.  D.

【解析】

【解法1】根据题意,构造一个直三棱柱如图所示, 分别为上下底面外接圆的圆

心, 根据球的性质,球心 必为的 中点,则球的半径为 , 设为 , 设 的外接圆半径为 , 在 中, 由余弦定理可得, , 由正弦定理可得 , 球的表面积 ,

【解法2】 底面 , 在 中, (由正、余弦定理得到),

【答案】 D.

9.四面体 中, 面 , 则四面体 外接球的表面积为( )

A.  B.  C.  D.

【解析】

【解法1】由正弦定理可得 , 即 , 即四面体 外接球的表面积为 ,

【解法2】 底面 , 在 中, ,

【答案】 A.

10.如图,在直三棱柱 的侧面展开图中, 是线段 的三等分 点, 且 . 若该三棱柱的外接球 的表面积为 , 则 为 ( )

A.  B. 2 C.  D.

【解析】

【解法1】由展开图可知, 直三棱柱 的底面是边长为 的等边三角形,其外接圆的半径满 足 . 由 , 得 . 由球的性质可知,球心 到底面 的距离为 , 结合球和直三棱柱的对称性可知, ,

【解法2】 底面 , 在 中, ,

【答案】 D.