2022-2023学年高考数学二轮复习立体几何妙招 3 双半径单交线公式（原卷＋解析版）

第3讲  双半径单交线公式

知识与方法

当平面 平面 和 外接圆半径分别为 ,

则三棱锥 的外接球半径 .

不管是柱体还是锥体, 只要有两个平面垂直,就可以用此公式,此公式让立体几何平面化,即使没有空 间想象力,也可以轻松搞定这一类外接球题型的半径, 可以说是解决外接球的一大法宝。

证明 : 如图,

典型例题

【例1】1在三棱锥 中, 中点为 平面 , 则三棱锥外接 球的表面积为

【解析】

【解法1】 平面 外接球的球心 在直线 上, 且 , 设 , 则外接球的半径 ,

又 , 解得 ,

外接球的表面积 . 故答案为 .

【解法2】由双半径单交线公式得,交线,

,

【例2】已知三棱锥是直角三角形,其斜边平面,,则三棱锥的外接球的表面积为(  )

A. B. C. D.

【解析】

【解法1】如图所示,直角三角形的外接圆的圆心为中点,过作面的垂线,球心在该垂线上,过作球的弦的垂线,垂足为,则为中点,球半径棱锥的外接球的表面积为,

【解法2】平面平面,设,直角三角形外接圆半径为斜边的一半外接圆半径,外接圆半径,交线,根据双半径单交线所以外接球的表面积为

【答案】D.

【例3】如图,平面四边形中,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面.四面体顶点在同一个球面上,则该球的体积为        。

【解析】

【解法1】平面四边形中,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面.四面体顶点在同一个球面上,和都是直角三角形,的中点就是球心,所以,球的半径为;所以球的体积为:;

【解法2】双半径单交线公式

【答案】.

【例4】三棱锥的各顶点都在同一球面上,若,侧面为正三角形,且与底面垂直,则此球的表面积等于        。

【解析】

【解法1】三棱锥的各顶点都在同一球面上,若,,由可得:,则,所以的外接圆的半径为,侧面为正三角形,且与底面垂直,侧面为的高为.

三棱锥的外接球的半径为:.此球的表面积.

【解法2】侧面底面中,,则,所以的外接圆的半径为,的外接圆的半径为,,此球的表面积.

【答案】.

【例5】四面体中,和均为正三角形,且它们所在平面互相垂直,已知,则四面体外接球的表面积为(  )

A. B. C. D.

【解析】

【解法1】设三角形外接圆半径,圆心,球的半径,球心,取中点,由和均为正三角形,且它们所在平面互相垂直可得平面,过作平面的垂线,过作的平行线,两直线交于,则四边形为矩形,在上,,由正弦定理得,即,故,设,则所以,解得,

则四面体外接球的表面积.

【解法2】双半径单交线公式,交线,

【答案】C.

【例6】已知中,,平面外一点满足,则三棱锥的外接球的表面积是(  )

A. B. C. D.

【解析】

【解法1】如图所示,中,,斜边的中点为的外心,.,连接,则平面..

设三棱锥的外接球的球心为点,则点在线段上.设球的半径为,

则,【解析】得.

三棱锥的外接球的表面积.

【解法2】双半径单交线公式,交线,外接圆半径为,外接圆半径为,由勾股定理得,解得,根据公式.

【答案】A.

强化训练

1.已知是以为斜边的直角三角形,为平面外一点,且平面平面,则三棱锥外接球的表面积为        。

【解析】

【解法1】由题意知的中点为外接圆的圆心,且平面平面.过作面的垂线,则垂线一定在面内.

根据球的性质,球心一定在垂线上,

球心一定在平面内,且球心也是外接圆的圆心.

在中,由余弦定理得,

由正弦定理得:,解得三棱锥的外接球的表面积

.

【解法2】双半径单交线公式,三角形外接圆的半径,三角形外接圆的半径,交线.

【答案】.

2.在中,为外一点,满足,则三棱锥的外接球的半径为        。

【解析】

【解法1】在中,,所以,

为外一点,满足,

则平面,球心为上一点,如图所示:

所以:,

设球的半径为,所以,解得:.

【解法2】双半径单交线公式,三角形外接圆的半径

,三角形外接圆的半径,交线.

【答案】

3.在三棱锥中,面面则三棱锥的外接球的表面积是        。

【解析】

【解法1】如图,设中点为中点为,

面面过作面的垂线,

球心必在该垂线上,连接,则.在中,,

,即三棱锥的外接球的半径为2,

三棱锥的外接球的表面积.

【解法2】Q面面的外接圆的半径为的外接圆

的半径为,外接球的表面积.

【答案】.

4.已知四棱锥的底面是矩形,其中,平面平面,且直线与所成角的余弦值为,则四棱锥的外接球表面积为（ ）

A. B. C. D.

【解析】

【解法1】如图,取的中点,连接,则平面平面,且平面平面平面平面,设四棱锥的外接球的球心为,连接,设,连接,则底面,直线与所成角的余弦值为,即,设,则,平面平面,且平面平面平面平面,则,又,

,【解析】得,可得,又四棱锥的外接球的半径满足:四棱锥的外接球表面积为.【解法2】面面的外接圆的半径为的外接圆半径为,.外接球的表面积.

【答案】A.

5.在中,,顶点在以为直径的圆上,点在平面上的射影为的中点,,则其外接球的表面积为        。

A. B. C. D.

【解析】

【解法1】如图,顶点在以为直径的圆上,为的外心,又平面,且平面,可得平面平面,则的外心即为三棱锥外接球的球心.在中,由余弦定理可得,,设外接圆的半径为,则,得其外接球的表面积为.

【解法2】面面的外接圆的半径为的外接圆半径为,外接球的表面积.

【答案】D.

6.在四边形中,为等边三角形,将沿边折起,使得平面平面,则三棱锥外接球的表面积为(  )

A. B. C. D.

【解析】

【解法1】如图,取中点,连接为等边三角形,

,又平面平面,且平面平面平面平面,又是直角三角形,是三角形的外心,则等边三角形的外心为三棱锥外接球的球心,三棱锥外接球的半径三棱锥外接球的表面积为.

【解法2】面面的外接圆的半径为的外接圆半径,外接球的表面积.

【答案】D.

7.已知点是等边外一点,且点在所在平面内的射影恰好在边上,若的边长为2,三棱锥的外接球体积为,则三棱锥体积的最大值为        。

【解析】

【解法1】如图,点在过直线与平面垂直的球的小圆面的圆周上,当点在平面的射影为中点时,三棱锥体积最大,设等边三角形的中心为,三棱锥的四个顶点都在球上,球的体积为外接球的半径的边长为2,点在所在平面内的射影恰好在边上,设为,过作,垂足为,依题意可得,,又三棱锥体积的最大值为.

【解法2】面面的外接圆的半径为的外接圆半径为,外接球的表面积,得到,在中,,此时

8.已知平面图形为矩形,是以为顶点的等腰直角三角形,如图所示,将沿着翻折至,当四棱锥体积的最大值为,此时四棱锥外接球的表面积为(  )

A. B. C. D.

【解析】

【解法1】当翻折至与平面垂直时,四棱锥的体积最大.因为平行四边形面积不变,四棱锥的高最大时,该几何体的体积最大,,则,取与交点,过点作一直线垂直于平面,取中点,过点作一直线垂直于平面,可知两直线交于点,所以就是四棱锥外接球的球心,所以就是球的半径,因为,所以四棱锥外接球的表面积,

【解法2】

矩形中,外接圆半径

中,外接圆半径,交线

【答案】C.