2022-2023学年高考数学二轮复习立体几何妙招 6 法向量求法秒杀技能（原卷＋解析版）

第6讲  法向量求法秒杀技能

知识与方法

在求立体几何线面角、二面角问题时, 往往用向量的方法求解时需要求法向量, 下面我们介绍一种简单的方法: 叉乘法求解法向量.

结论:若 ,

设平面 的法向量 ,

则有 .

例题: 若 .

常规解法: 设 为法向量,

则有

令 , 则 .

叉乘法: 设 为法向量,

则 ,

,

,

, 即 .

典型例题

【例1】如图，直三棱柱中，，AC＝BC＝，D是棱的中点, 求二面角 的大小 (用空间向量法).

【解析】

【解法1】设 , 以 为原点, 为 轴, 为 轴, 为 轴, 建立空间直角坐标系, 则 ,,

设平面 的法向量 , 则 取 , 得 .

设平面 的法向量 , 则 取 , 得 . ,

二面角 的大小为 .

【解法2】 ,

设平面 的一个法向量 ,

则 , 按此公式求解, 则 ,

得平面 的法向量 , 同理可以求出平面 的法向量 , 接下来常规操作用向量数量积求解即可.

【例2】已知正四棱柱 中, 分别是棱 上的点, 且满足 .

(1) 求异面直线 所成角的余弦值;

(2)求面 与面 所成的锐二面角的余弦值.

【解析】 在正四棱柱 中, 平面 , 底面 是正方形, 所以 两两垂直,

以 为原点, 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系,

又因为 分别是棱 上的点,

且满足 ,

所以 ,

所以 ,

设异面直线 所成角为 ,

所以 ,

所以异面直线 所成角的余弦值为 .

(2) ,

设平面 的一个法向量为 , 则 ,

所以 令 , 所以 ,

平面 的一个法向量为 , 则

所以 令 , 所以 , 所以 ，

所以面 与面 所成的锐二面角的余弦值为 .

【解法2】 , 设 , 则

按此公式求解, 则

所以平面 的一个法向量 , 同理可求出平面 的一个法向量 , 接下来用向量的数量积求夹角即可.

【例3】 如图, 在四面体 中, 平面 是 的中点, 是 的中点, 点 在线段 上, 且 .

(1) 证明: 平面 ;

(2) 若二面角 的大小为 , 求 的大小.

【解析】

【解法1】 (1) 证明: 以 为原点, 为 轴, 为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设 , 则由已知得 ,

, 平面 的法向量 , 又 平面 平面 .

(2)  , 设平面 的法向量 , 则

取 , 得 .

设平面 的法向量 , 则 取 , 得 , 二面角 的大小为 ,

,

由 , 【解析】【解法1】得 .

【解法2】 先用参数将向量表示出来,

, ,

同除以 , 则 ,因此平面 的法向量为 , 同理可以求出平面 的法向量 , 结合题目给的夹角可以求出参数 的值, 求解该题.

【例4】如图,四棱柱 的底面 是边长为 2 的正方形,侧面 为矩形, 且侧面 底面 分别是 的中点.

(I) 求证: 平面 ;

(II) 求二面角 的余弦值.

【解析】 ( I) 证明: 连结 , 因为 分别为 的中点, 所以 , 且 ,

又因为 为 的中点, 所以 , 由题设知 且 , 可得 且 , 故 且 , 因此四边形 为平行四边形, 所以 , 又 平面 平面 , 所以 平面 ;

(II) 【解法1】 因为底面 是正方形, 所以 , 又因为侧面 底面 , 且侧面 底面 平面 , 所以 平面 , 又 平面 , 所以 , 又因为侧面 为矩形, 所以 , 以点 为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示, 其中 , 所以 , 因为 平面 , 所以 平面 , 故 为平面 的一个法向量,

设 为平面 面的法向量, 则 , 即 ,

令 , 可得 , 所以 , 因为二面角 的平面角是钝角, 所以二面角 的余弦值 . 方【解法2】 , 设 为平面 的法向量, , 按此公式求解, 化简为 .

【例5】如图, 在四棱锥 中, 底面 是菱形,

(1) 证明: 平面 .

(2) 求二面角 的余弦值.

【解析】 (1) 证明: 因为底面 是菱形. 所以 , 因为 , 且 平面 , 所以 平面 , 因为 平面 , 所以 , 因为 , 且 , 所以 ,

因为 , 所以 , 则 ,

因为 平面 , 所以 平面 .

(2) 【解法1】 以 为坐标原点, 射线 分别为 轴正半轴, 过点 的垂线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 ,

设 , 则 , 从而 ,,

设平面 的法向量 . 则 ,

令 , 得 , 易知平面 的一个法向量 ,

则 , 设二面角 为 ,

由图可知 为锐角, 则 .

【解法2】,

设 为平面 的法向量, ,

按此公式求解, 化简为 .

【例6】如图所示, 在四棱锥 中, 底面 , 四边形 为矩形,

为 的中点.

(I) 求证: 平面 ;

(II) 求二面角 的余弦值.

【解析】

(I) 证明: 因为 平面 平面 ,

所以 , 因为四边形 为矩形, ,

为 的中点. 所以 ,

, 于是 ,

因为 , 所以 ,

所以 , 因为 平面 , 所以 平面 ;

(II)【解法1】 建立如图所示的空间直角坐标系, ,

, 设平面 和平面 的法向量分别为 ,

,

令 , 令 , 因为二面角 为锐角, 所以二面角 的余弦值为 .

【解法2】, 设 为平面 的法向量, ,

, 按此公式求解, 化简为 .

设 为平面 的法向量, , ,

按此公式求解, 化简为 .

强化训练

1.如图,在四棱雉 中, 底面 是正方形,侧棱 底面 是 的中点, 作 交 于点 . 建立适当的空间直角坐标系, 利用空间向量方法解答以下问题:

(1) 求证: 平面 ;

(2)求二面角 的正弦值.

2.如图,在四棱锥中,底面,底面是边长为2的菱形,为的中点.

(1)求异面直线与所成的角的大小;

(2)求二面角的正弦值.

【解析】(1)连接、,交于点在四棱锥中,底面,底面是边长为2的菱形,为的中点,∴以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,,,

设异面直线与所成的角为,则异面直线与所成的角为.

(2) 【解法1】,设平面的法向量,则取,得,设平面的法向量,则取,得,设二面角的平面角为,则二面角的正弦值为.

【解法2】

同除以,简化法向量,按此公式求解,则,平面的法向量,同理可得平面的法向量,接下来用向量数量积求解夹角即可.

3.已知正三棱柱的各棱长都是是的中点,在上,且.

(1)求证:;

(2)求二面角的平面角的余弦值.

【解析】(1)证明:以为原点,在平面中过作的垂线为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,.

(2) 【解法1】,设平面的法向量,则,取,得,平面的法向量,设二面角的平面角为,则二面角的平面角的余弦值为.

【解法2】(求解第二问)

同除以,简化法向量),按此公式求解,则.

所以平面的法向量,同理可求得平面的法向量,接下来就是常规操作了.

4.如图,已知四边形和均为直角梯形,,且,平面平面

(I)证明:平面.

(II)求锐二面角的余弦值.

【解析】证明:(I)∵平面平面,平面平面平面平面、、两两垂直,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则,,设平面的法向量,则,取,得平面平面.

（II) 【解法1】设平面的法向量,平面和平面成锐二面角为,,则,取,得,由(I)知平面的法向量

锐二面角的余弦值为.

【解法2】：(求解第二问)

同除以2,简化法向量),按此公式求解,则.

因此平面的法向量,同理可以算得平面的法向量,最后用向量数量积求解夹角即可.

5.如图,在梯形中,为的中点,为的中点,沿将三角形折起.

(1)证明:在折起过程中,平面平面;

(2)当折起到平面平面时,求二面角的余弦值.

【解析】(1)证明:在平面图形中,因为为的中点且,所以,又,所以为正三角形,所以,又,所以,又,所以,所以为等边三角形.在折起过程中,因为为的中点,所以,因为,所以,所以四边形为菱形,所以,所以,又平面,所以平面,又平面,所以平面平面.

(2)

【解法1】由(1)知,因为平面平面,平面平面平面,所以平面,从而,又,所以两两垂直.以点为坐标原点,的正方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),则,

即,即,,所以,.设平面的法向量为,则,即,令,可得平面的一个法向量;设平面的法向量为,则

令,可得平面的一个法向,所以.由于二面角为锐二面角,故二面角的余弦值为.

【解法2】.设为平面的法向量,,按此公式求解得到,化简得.

设为平面的法向量,,按此公式求解得到.

6.如图,在四棱锥中,平面是边长为2的正方形,为侧棱的中点.

(1)求四棱锥的体积;

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【解析】 (1)因为平面,则为棱一的高,是边长为2的正方形,所以,故;

（2）

【解法1】以点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,,所以,设平面的法向量为,即,令,则,故,所以

,故直线与平面所成角的正弦值为.

【解法2】,设为平面的法向量,,按此公式求解得到,化简得.