2022-2023学年高考数学二轮复习立体几何妙招 2 正棱锥与线面垂直模型（原卷＋解析版）

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第2讲  正棱锥与线面垂直模型知识与方法技巧 正棱锥外接球半径的秒杀方法 为侧棱长, 为棱锥的高.证明: , 在直角三角形 中, , 即 .正四面体:外接球半径 ( 为棱长), 可用补形法求的内切球半径 .技巧 线面垂直模型其中外接球半径 , 高 , 底面半径 证明:如图典型例题【例1】已知 是面积为 的等边三角形, 且其顶点都在球 的球面上. 若球 的表面积为 ,则 到平面 的距离为( )A.  B.  C. 1 D. 【解析】【解法1】由题意可知图形如图: 是面积为 的等边三角形, 可得 ,, 可得: ,球 的表面积为 , 外接球的半径为 : ;所以 , 解得 ,所以 到平面 的距离为: .【解法2】 假设侧棱垂直于 则 . 则 , 根据 , 又 , 所以 , 【答案】 . 【例2】 已知 为球 的球面上的三个点, 为 的外接圆. 若 的面 积为 , 则球 的表面积为 ( )A.  B.  C.  D. 【解析】【解法1】由题意可知图形如图: 的面积为 , 可得 ,则 ，,外接球的半径为: ,球 的表面积: .【解法2】假设侧棱垂直于 , 则 ,根据 , 所以 , 【答案】 . 【例3】如果三棱锥的每条侧棱和底面的边长都是 , 那么这个三棱锥的外接球的体积是 (）A.  B.  C.  D. 【解析】【解法1】正三棱锥 的所有棱长均为 此三棱锥一定可以放在棱长为 的正方体 中, 此四面体的外接球即为此正方体的外接球, 外接球的直径为正方体的对角线长, 外接球的半径为 , 球的体积为 ;【解法2】根据正四面体的结论, 外接球半径为 , 外接球体积  【答案】 . 【例4】在正三棱锥 中, , 则该三棱锥外接球的直径为 ( )A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【解析】【解法1】 正三棱锥 中, , 如图所示. 设点 在底面  内的投影为 , 延长 至 , 使 , 则 是该三棱锥外接 球的直径, 连接 , 则 , 由射影定理得 ,即 , 解得 . 【解法2】,【答案】 A. 【例5】如图, 已知正三棱锥的侧棱长为 2 , 底面周长为 9 .(1)求这个正三棱锥的体积;(2) 求这个正三棱锥的外接球的体积.【解析】【解法1】 (1) 如图: 为正三棱锥, 在平面 上的射影为 的中心 .又 的周长是 ,连接 并延长交 于 , 则 ,, 三棱锥的高 ; 三棱锥的体积 (2)在平面 内作 的垂直平分线交 的延长线于 , 则 为正三棱锥的外接球的球心, 连接 , 设 , 则 ,由 , 得 , 解得 : . 这个正三棱锥的外接球的体积为 .【解法2】 【例6】已知三棱锥 底面 , 且 是边长为 的正三角 形, ,则该三棱锥的外接球表面积是 ( )A.  B.  C.  D. 【解析】【解法1】取 中心 , 连结 , 过 作 平面 , 则球心 在 上过球心 作 , 交 于 , 则球半径 , 三棱锥 底面 , 且 是边长为 的正三角形, ,,, 该三棱锥的外接球表面积是: .【解法2】CD=r=1, 【答案】C【例7】三棱锥 垂直于平面 2 ,则该三棱锥外接球的表面积【解析】【解法1】,, 的外接圆的半径为 ,设三棱锥的外接球的球心到平面 的距离为 ,则 , 该三棱锥的外接球半径为 ,表面积为 ,【解法2】三角形 外接圆半径 【答案】. 【例8】已知某三棱柱的侧棱垂直于底面,且底面是边长为 2 的正三角形, 若其外 接球的表面积为 , 则该三棱柱的高为( )A.  B. 3 C. 4 D. 【解析】【解法1】 设 是三棱柱上下底面的中心, 球心 为 的中点, 半径 , 由 ,可得 , 由正弦定理可得 , 所以 ,又 ,所以 , 故高 . 【解法2】 , 【答案】 B. 【例9】已知球 是三棱锥 的外接球, , 则 当点 到平面 的距离取最大值时,球 的表面积是( ( )A.  B.  C.  D. 【解析】【解法1】当点 到平面 的距离最大时, 平面 . 如图, 以 为底面, 为侧 棱补成一个直三棱柱, 则球 是该三棱柱的外接球, 球心 到底面 的距离 1. 可得 , 所以球 的半径为 , 所以球 的表面 积为 . 【解法2】 底面 为正三角形, 【答案】 . 【例10】在四棱锥 中, 平面 ,四边形 是 平行四边形, , 经过直线 且与直线 平行的平面交直线 于点 ,则三棱锥 的外接球的表面积为 ( )A.  B.  C.  D.  【解析】【解法1】如图, 连接 , 交 于 , 四边形 是平行四边形, 为 的中点, 平面 平面 平面 , , 则 为 的中点, 设三角形 的外心为 , 外 接圆半径为 , 由已知可得, , 则 , 再设三棱锥 的外接球的球心为 , 连接 , 则 平面 , 又 平面 , 且 , 外接球半径 满足 , 则三棱锥 的外接球的表面积为 .【解法2】由题意得 是 中点, 底面 , 在 中, , 【答案】 B.  【例11】㧥尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式, 宋代称为撮尖, 清代称为损尓. 依 其平面有圆形㧥尖、三角㧥尖、四角㧥尖、六角㧥尖等, 也有单檐和重檐之分, 多见于亭阁式建筑. 如图所 示,某园林建筑屋顶为六角㧥尖, 它的主轮廓可近似看作一个正六棱锥 (底面为正六边形, 从顶点向底面作 垂线,垂足是底面中心). 若正六棱锥的侧棱与高线所成的角为 , 则其外接球半径与侧棱长的比值 为  A.  B.  C.  D. 【解析】【解法1】如图, 设 为底面中心, 设底面边长为 , 因为底面为正六边形,所以 , 连结 , 则 底面 , 所以侧棱 与高 所成的角即为 ,则 , 所以侧棱长 , 设外接球的半径为 ,则 ,因为 , 所以 , 在 Rt 中, ,所以 ,所以 ,所以 ,故其外接球半径与侧棱长的比值为 .【解法2】, 根据题得 ,那么 ,【答案】 .强化训练1.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4 ,底面边长为 2 , 则该球的表面积为 ( )A.  B.  C.  D. 【解析】【解法1】设球的半径为 棱锥的高为 4 ,底面边长为 , 球的表面积为 . 【解法2】,【答案】 A.2.已知直三棱柱 的各顶点都在球 的球面上, 且 , 若球 的体积 为 , 则这个直三棱柱的体积等于（）A.  B.  C. 2 D. 【解析】【解法1】 设 和 的外心分别为 , 连接 , 可得外接球的 球心 为 的中点, 连接 中, , 根据正弦定理, 得 外 接圆半径 球 的体积为 , 中, , 可得 , 直三棱柱 的底面积 , 直三棱柱 的体积为 . 【解法2】 底面 , 在 中, , , 得到 【答案】 B. 3..已知三棱锥 是直角三角形,其斜边 平面 , , 则三棱锥的外接球的表面积为 A.  B.  C.  D. 【解析】过 作球的弦 的垂线,垂足为 ,则 为 中点,根据勾股定理求出球半径 , 代入球表面积公式即可.【解法1】如图所示,直角三角形 的外接圆的圆心为 中点 , 过 作面 的垂线,球心 在该垂线上,过 作球的弦 的垂线, 垂足为 , 则 为 的中点, 直角三角形 是 球的半径 . 故棱锥的外接球的表面积为 , 【解法2】, 【答案】 .4．我国古代数学经典名著《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂 直的四棱锥称为阳马, 将四个面都为直角三角形的三棱锥称为瞥臑. 若三棱锥 为鳖臑, 且 平面 , 且该憋臑的外接球的表面积为 , 则该暼臑的表面积为【解析】【解法1】 设三棱锥 的外接球的半径为 , 则 ,得 , 设直角三角形的外接圆直径为 , 则 , 由于直角三角形的外接圆的直径为其斜边,所以, 不是直角 的斜边, 则 为该直角三角形的一条直角边, 如图所示, 平面 平面 , 所以, , 所以, 和 都是直角三角形,设 为直角 的斜边, 则 , 即 , 平面 平面 , 所以, , 平面 , 平面 .则 是以 为直角的直角三角形, 且 , 因此,三棱锥 的表面积为 .【解法2】 底面 , 在 中, , 得 到 . 【答案】 .  5.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 2 的正方形和 4 个边 长为 2 的正三角形组成,则该多面体的外接球的表面积为( )A.  B.  C.  D. 【解析】【解法1】该多面体是一个棱长都为 2 的四棱锥 , 设正方形 的中心为 , 则 . 又 为四棱锥外接球的球心,球的半径为 该多面体的外接球的表面 积 . 【解法2】, 由题意可知, 棱长均为 .【答案】 C. 6.已知长方体 的底面是边长为 2 的正方形,高为 是 中 点,则三棱锥 的外接球的表面积为 ( )A.  B.  C.  D. 【解析】【解法1】 如图,因为在三棱锥 中, 平面 且 为直角三角 形,所以外接球球心是 的中点, 不妨设球的半径为 , 则 , 所 以球的表面积 .【解法2】 底面 , 在 中, , 【答案】 B.  7.在三棱锥 中, 平面 是边长为 3 的正三角形, , 则该三棱锥的外接球的表面积为 ( )A.  B.  C.  D. 【解析】【解法1】如图,设 中点 , 连接 , 是边长为 3 的正三角形,则底面三角形外接圆的半径为 , 又 平面 三棱锥的外接球的半径 满足 该三棱锥的外接球的表面 积为 .【解法2】 底面 , 在 中, .【答案】 D. 8.四面体 中, , 且 面 , 则四面 体 的外接球表面积为( )A.  B.  C.  D. 【解析】【解法1】根据题意,构造一个直三棱柱如图所示, 分别为上下底面外接圆的圆 心, 根据球的性质,球心 必为的 中点,则球的半径为 , 设为 , 设 的外接圆半径为 , 在 中, 由余弦定理可得, , 由正弦定理可得 , 球的表面积 ,【解法2】 底面 , 在 中, (由正、余弦定理得到), 【答案】 D.  9.四面体 中, 面 , 则四面体 外接球的表面积为( )A.  B.  C.  D. 【解析】【解法1】由正弦定理可得 , 即 , 即四面体 外接球的表面积为 , 【解法2】 底面 , 在 中, , 【答案】 A. 10.如图,在直三棱柱 的侧面展开图中, 是线段 的三等分 点, 且 . 若该三棱柱的外接球 的表面积为 , 则 为 ( ) A.  B. 2 C.  D. 【解析】【解法1】由展开图可知, 直三棱柱 的底面是边长为 的等边三角形,其外接圆的半径满 足 . 由 , 得 . 由球的性质可知,球心 到底面 的距离为 , 结合球和直三棱柱的对称性可知, , 【解法2】 底面 , 在 中, ,  【答案】 D.