2022-2023学年高考数学二轮复习立体几何妙招 1外接球秒杀之补形法（原卷＋解析版）

第1讲  外接球秒杀之补形法

知识与方法

结论:长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,其体对角线为.当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,故球的半径.

补形法:把几何体放到规则图形里面规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,把多面体放到规则几何体里面

类型1:有一条棱垂直于底面

类型2:对棱相等

利用长方体相对面的对角线长度相等,把四面体放人其中

如图所示,,三棱锥可以放在长方体中,外接球直径为长方体体对角线.

典型例题

【例1】已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是(   )

A.  B.  C.  D.

【解析】用公式,则,

【答案】C.

【例2】长、宽、高分别为的长方体的外接球的体积为(   )

A.  B.  C.  D.

【解析】由题意长方体的对角线就是球的直径.长方体的对角线长为:,外接球的体积,

【答案】B.

【例3】已知直三棱柱 的 6 个顶点都在球 的球面上, 若 4 , 则球 的半径为 ( )

A.  B. C.  D.

【解析】 因为三棱柱 的 6 个顶点都在球 的球面上, 若 12 , 所以三棱柱的底面是直角三角形, 侧棱与底面垂直, 侧面 , 经过球的球心, 球的直径 是其对角线的长, 因为 , 所以球的半径为 .

【答案】 .

【例4】在三棱锥 中, , 则三棱锥 外接球的表面 积为

【解析】 将三棱锥补形为长方体, 三个长度为三对面的对角线长, 设长方体的长、 宽、高分别为 ,则 .

【答案】.

【例5】已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上, 是边 长为 2 的正三角形, 分别是 的中点, , 则球 的体积为 ( )

A.  B.  C. D.

【解析】 如图, 由 是边长为 2 的正三角形, 可知三棱锥 为正三棱锥, 则顶点 在底面的射影 为底面三角形的中 心, 连接 并延长, 交 于 , 则 , 又 , 可得 平面 , 则 分别是 的中 点, , 又 , 即 , 得 平 面 正三棱锥 的三条侧棱两两互相垂直, 把三棱锥补形为正方体, 则正方体外接 球即为三棱锥的外接球, 其直径为 , 故半径为 , 则球 的体积为 .

【答案】D.

【例6】在四面体 中, 是边长为 2 的等边三角形, 是以 为斜边的等腰直角三的等腰直角三角形,平面 平面 , 则四面体 的外接球的表面积为 ( )

A.  B.  C.  D.

【解析】在四面体 中, 是边长为 2 的等边三角形， 是以 为斜边的等腰直角三角形, , 平面 平面 ,如图, 可知 平面 , 可得 , 所以 是等腰直角三角形, 所以三棱锥 是正 方体的一个角,如图:外接球的直径就是长方体的体对角线的长度, 所以 , 四面体 的外接球的表面积为 .

【答案】

强化训练

1. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直, 且侧棱长均为 , 则其外接球的表面积是

【解析】依题可以构造一个正方体, 其体对角线就是外接球的直径. .

【答案】 .

2. 在正三棱锥 中, 分别是棱 的中点, 且 , 若侧棱 , 则正三棱锥 外接球的表面积是

【解析】第 2 题图 2. 分别是棱 的中点, , 可得 , 由正三棱锥的性质可得 平面 且 三棱锥 是正三棱锥, 三条侧棱两 两互相垂直. 侧棱 正三棱锥 的外接球的直径为 , 外接球的半径为 , 正三棱锥 的外接球的表面积是 .

【答案】.

3.三棱锥 的侧棱 两两互相垂直, 且 , 则三棱锥 的外接 球的体积是( )

A.  B.  C. D.

【解析】以 为过同一顶点的三条棱, 作长方体如图,则长方体的外接球 同时也是三棱锥 外接球. 长方体的对角线长为 外接球的直 径为 , 半径 , 因此,三棱锥 外接球的体积是 ,

【答案】 B.

4.在四面体 中, , 则四面 体的外接球的表面积为（）

1.             B.8        C.          D.

【解析】由题意可采用割补法,考虑到四面体 的四个面为全等的三角形,所以 可在其每个面补上一个以 为三边的三角形作为底面,且以分别 长、两两垂直的侧棱 的三棱锥,从而可得到一个长、宽、高分别为 的长方体,并且 , 则有 ( 为球的半径), 得 , 所以球的表面积为 ,

【答案】 .

5.在三棱锥 中, 底面 是等边三角形,顶点 在底面 的投影是 底面的中心, 侧面 侧面 , 则此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为 ( )

A. B.                C.              D.

【解析】将该三棱锥放置在正方体当中, 如图所示, 设正方体的棱长为 1 . 此三棱锥的体积 , 外接球的半径 , 外接球的体

积 此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为: .

【答案】 C.

6.阳马,中国古代算数中的一种几何体, 它是底面为长方形,两个三角面与底面垂 直的四棱锥. 已知在阳马 中, 平面 , 且阳马 的体积为 9 , 则 阳马 外接球表面积的最小值是（

A.  B.  C.  D.

【解析】由题意可知阳马的体积为: , 设阳马的外接球的半径为 , 则 , 当且仅当 时等号成立,所以阳马的外接球 的表面积 .

 【答案】 C.

7.《九章算术商功》有如下叙述: “斜解立方, 得两堵斜解堑堵, 其一为阳马,一为鳖 臑. 阳马居二, 鳖臑居一, 不易之率也.” (阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓). 取一个长 方体, 按如图所示将其一分为二, 得两个一模一样的三棱柱,均称为堑堵, 再沿堑堵的一顶点与相对 的棱剖开, 得四棱锥和三棱锥各一个. 其中以矩形为底, 有一棱与底面垂直的四棱锥, 称为阳马. 余 下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体,称为憋臑. 那么如图所示, 的阳马 外接球的表面积是( )

堑堵

阳马

牧臑

A.  B.  C.  D.

【解析】；因为长方体、堑堵、阳马、鳖臑,各个几何体的顶点都在同一个外接球的表面积上,所以它们的外接球是 相同的,外接球的直径就是长方体的体对角线的长度,所以外接球的半径为: , 阳马外接球的表面积是 .

【答案】 C.

8.在四面体 中, 平面 , 且 . 若四面体 外 接球的半径为 . 则 与平面 所成角的正切值为 )

A.  B.   C. 2 D. 3

【解析】因为 平面 , 且 , 所以四面体 可以补形为一个长方体, 故其外接球的半径 , 则 . 因为 与平面 所成角为 , 所以 .

 【答案】 B.