高考数学三轮冲刺压轴小题05 双重最值问题的解决策略 (2份打包，解析版+原卷版)

双重最值问题的解决策略

一、方法综述

形如求等的问题称为“双重最值问题”．按其变元的个数可分为一元双重最值问题和多元双重最值问题．在本文中，提供一个常用的结论，取不同的值可得到很多命题．一个结论：设，，，，为正常数，则

（1）；

（2）．

证明：设，则，，，

所以，

当且仅当时取等，即．

二、解题策略

一、一元双重最值问题

1．分段函数法：分类讨论，将函数写成分段函数形式，求函数值域即可．

例1．对于a，bR，记Max｛a，b｝= ，函数f（x）=Max｛，｝（xR）的最小值是（    ）

(A)．       (B)．1      (C)．     (D)．2

2．数形结合法：分别画出几个函数图象，结合图象直接看出最值点，联立方程组求出最值．

例2．设函数f（x）＝min{x2﹣1，x+1，﹣x+1}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中

的最小者．若f（a+2）＞f（a），则实数a的取值范围为（　　）

A．（﹣1，0） B．[﹣2，0] 

C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0） D．[﹣2，+∞）

二、多元一次函数的双重最值问题

1．利用不等式的性质

例3．设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是__________．

2．利用绝对值不等式

例4．设，，求的值．

3．利用均值不等式

例5．设max{f(x)，g(x)}=，若函数n(x)=x2+px+q(p，q∈R)的图象经过不同的两点（，0）、（，0），且存在整数n使得n<<<n+1成立，则（     ）

A．max{n(n)，n(n+1)}>1                    B．max{n(n)，n(n+1)}<1

C．max{n(n)，n(n+1)}>                   D．max{n(n)，n(n+1)}>

4．利用柯西不等式

例6．若，，且，求．

5．分类讨论

例7．若，，求的值．

6．待定系数法

例8．若，，求的值．

7．构造函数

例9．已知二元函数f（x，θ）＝（x∈R，θ∈R），则f（x，θ）的最大值和最小值分别为？

8．利用韦达定理

例10．若，，且，，求．

9．数形结合

例11．设函数f（x）＝min{|x﹣2|，x2，|x+2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小

者．下列说法错误的是（　　）

A．函数f（x）为偶函数                          B．若x∈[1，+∞）时，有f（x﹣2）≤f（x） 

C．若x∈R时，f（f（x））≤f（x）                 D．若x∈[﹣4，4]时，|f（x）﹣2|≥f（x）

三、强化训练

1．已知实数，不等式对任意恒成立，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．2

2．已知函数y=f（x），若给定非零实数a，对于任意实数x∈M，总存在非零常数T，使得af（x）=f（x+T）恒成立，则称函数y=f（x）是M上的a级T类周期函数，若函数y=f（x）是[0，+∞）上的2级2类周期函数，且当x∈[0，2）时，f（x）=，又函数g（x）=﹣2lnx+x2+x+m．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．[） D．[）

3．已知函数，当时设的最大值为，则当取到最小值时（    ）

A．0 B．1 C．2 D．

4．已知函数的定义域为，，若存在实数，，，使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．定义：表示，两数中较小的数．例如.已知，，若对任意，存在，都有成立，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

6．如果函数在区间上单调递减，那么的最大值为(　　)

A．16 B．18 C．25 D．

7．已知函数，函数，若，，使得不等式成立，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

8．已知函数的定义域为，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是

A． B． C． D．