专题1.5 双重最值问题的解决策略-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（原卷版）

玩转压轴题，突破140分之高三数学选择题、填空题高端精品

一、方法综述

形如求等的问题称为“双重最值问题”．按其变元的个数可分为一元双重最值问题和多元双重最值问题．在本文中，提供一个常用的结论，取不同的值可得到很多命题．一个结论：设，，，，为正常数，则

（1）；

（2）．

证明：设，则，，，

所以，

当且仅当时取等，即．

二、解题策略

一、一元双重最值问题

1．分段函数法：分类讨论，将函数写成分段函数形式，求函数值域即可．

例1．对于a，bR，记Max｛a，b｝= ，函数f（x）=Max｛，｝（xR）的最小值是（    ）

(A)．       (B)．1      (C)．     (D)．2[来源:学&科&网]

2．数形结合法：分别画出几个函数图象，结合图象直接看出最值点，联立方程组求出最值．

例2．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8．设H1(x)＝max，H2(x)＝min (max表示p，q中的较大值，min表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝(　　)

A．16    B．－16       C．a2－2a－16    D．a2＋2a－16

二、多元一次函数的双重最值问题

1．利用不等式的性质

例3．设（，，，，），，，求的最小值．

2．利用绝对值不等式

例4．求函数在区间上的最大值的最小值．

3．利用均值不等式

例5．设max{f(x)，g(x)}=，若函数n(x)=x2+px+q(p，q∈R)的图象经过不同的两点（，0）、（，0），且存在整数n使得n<<<n+1成立，则（     ）

A．max{n(n)，n(n+1)}>1                    B．max{n(n)，n(n+1)}<1

C．max{n(n)，n(n+1)}>                   D．max{n(n)，n(n+1)}>

4．利用柯西不等式

例6．若，，且，求．

5．分类讨论[来源:学&科&网]

例7．若，，求的值．

[来源:学,科,网]

6．待定系数法

例8．若，，求的值．

7．构造函数

例9．设，，，（），求．

8．利用韦达定理[来源:Z&xx&k.Com]

例10．若，，且，，求．

9．数形结合

例11．【2019山西实验中学月考一】设f（x）=min{2x，16﹣x，x2﹣8x+16}（x≥0），其中min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则f（x）的最大值为（　　）

A．6    B．7    C．8    D．9

三、强化训练

1．【2019广东中山一中第一次段考】已知定义在上的函数在上是减函数，当时，的最大值与最小值之差为，则的最小值为（   ）

A．    B．1    C．    D．2

2．【2019湖南衡阳一中10月月考】已知 =min{}，则的值域是（   ）

A．    B．    C．    D．

3．记min{a，b}为a，b两数的最小值．当正数x，y变化时，令，则t的最大值为________．

4．已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．

5．【2019浙江杭州学军中学期中考】设max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{|x|，|x-t|}关于x=1对称，则t=______．

6．【2018广东汕头模拟】定义为中的最大值，函数的最小值为，如果函数在上单调递减，则实数的范围为__________

7．对任意两实数a、b，定义运算“max{a，b}”如下：max{a，b}=，则关于函数

，下列命题中：

①函数f（x）的值域为[，1]；②函数f（x）的对称轴为， ；③函数f（x）是周期函数； ④当且仅当x=2kπ（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值1； ⑤当且仅当时，f（x）＜0；   正确的是______________________ （填上你认为正确的所有答案的序号）

8．【2015浙江高考】设，在上的最大值为，

求证：当时，．

9．设，若对任意的，存在使得，求的最大值．

10．若，，，求的值．

11．设，求的最小值．

12．若实数，，满足，，求．[来源:学科网ZXXK]

13．设，，求的值．

14．设（），求．

 15．设，求的最小值．

16．设（），求．