河南省信阳市固始县2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份河南省信阳市固始县2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了下列说法正确的是，在平面直角坐标系中，已知点M，如图等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省信阳市固始县八年级第一学期期末数学试卷
一.选择题（每小题3分，共30分）.
1．如图是2022年北京冬奥运会吉祥物冰墩墩的图形，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（　　）
A．面积相等的两个三角形成轴对称
B．两个等边三角形是全等图形
C．关于某条直线对称的两个三角形全等
D．成轴对称的两个三角形一定面积相等，且位于对称轴的两侧
3．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，4，6
4．在平面直角坐标系中，已知点M（2，﹣1）和点N（﹣2，﹣1），则M，N两点（　　）
A．关于x轴对称
B．在二、四象限的平分线上
C．关于y轴对称
D．在第一、三象限的平分线上
5．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM＝ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是（　　）

A．SSA B．HL C．ASA D．SSS
6．已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（　　）


A．76° B．60° C．54° D．50°
7．若一个多边形的内角和比它的外角和大540°，则该多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，BD与CE交于O，AE＝AD，添加一个条件，仍不能使△ABD≌△ACE的是（　　）

A．BE＝DC B．CE＝BD C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝∠ACB
9．如图：一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）

A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
10．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（　　）

A． B． C． D．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．分解因式：xy﹣x＝　 　．
12．如图，直线a∥直线b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，则∠ABC的大小为 　 　．

13．已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），则ab的值为　 　．
14．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，若∠CAE＝15°，那么∠DAC＝　 　．

15．如图，△ABC为等腰直角三角形AC＝BC，若A（﹣3，0），C（0，2），则点B的坐标为 　 　．

三.解答题（本大题共8小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．已知m2﹣4m﹣7＝0，求代数式（+1）÷的值．
17．一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和．
18．如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝3，求BD的长．

19．如图，已知港口东偏南10°方向有一处小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°航线出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B在北偏东60°方向．
（1）求此时货轮到小岛B的距离．
（2）在小岛周围36海里范围内是暗礁区，此时轮船向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由．

20．已知，如图，等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，AB⊥AC，AD⊥AE，AB＝AC，AD＝AE，CD交AE、BE分别于点M、F．
（1）求证：△DAC≌△EAB；
（2）求证：CD⊥BE．

21．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标；
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．

22．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．
（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
（2）若分式的值为整数，求x的整数值．
23．已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，按图1放置，使点E在AB上，取CE的中点F，连接DF，BF．我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．

（1）观察发现：图1中DF，BF的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　；
（2）探究证明：将图1中的△ADE绕点A顺时针转动45°，再连接CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；
（3）拓展延伸：将图1中的△ADE绕点A转动任意角度（转动角度在0°到90°之间），再连接CE，取CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．



参考答案
一.选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一项是正确的。
1．如图是2022年北京冬奥运会吉祥物冰墩墩的图形，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴去进行分析即可．
解：A，B，C三个选项中的图形都找不到一条直线能够使直线两旁的部分重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能够找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2．下列说法正确的是（　　）
A．面积相等的两个三角形成轴对称
B．两个等边三角形是全等图形
C．关于某条直线对称的两个三角形全等
D．成轴对称的两个三角形一定面积相等，且位于对称轴的两侧
【分析】分别根据轴对称图形的定义，全等三角形的判断方法，轴对称的性质逐一判断即可．
解：A．面积相等的两个三角形不一定成轴对称，原说法错误，故本选项不合题意；
B．边长相等的两个等边三角形是全等图形，原说法错误，故本选项不合题意；
C．关于某条直线对称的两个三角形全等，说法正确，故本选项符合题意；
D．成轴对称的两个三角形一定面积相等，但不一定位于对称轴的两侧，原说法错误，故本选项不合题意．
故选：C．
3．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，4，6
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
解：A、∵1+1＝2，
∴长度为1，1，2的三条线段不能组成三角形，本选项符合题意；
B、∵3+2＞4，
∴长度为2、3、4的三条线段能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵3+4＞5，
∴长度为3，4，5的三条线段能组成三角形，本选项不符合题意；
D、∵3+4＞6，
∴长度为3、4、6条线段能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：A．
4．在平面直角坐标系中，已知点M（2，﹣1）和点N（﹣2，﹣1），则M，N两点（　　）
A．关于x轴对称
B．在二、四象限的平分线上
C．关于y轴对称
D．在第一、三象限的平分线上
【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得答案．
解：因为点M（2，﹣1）和点N（﹣2，﹣1）的横坐标互为相反数，纵坐标相同，
所以M，N两点关于y轴对称．
故选：C．
5．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM＝ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是（　　）

A．SSA B．HL C．ASA D．SSS
【分析】由“HL”可证Rt△OMP≌Rt△ONP，可得∠MOP＝∠NOP，可证OP是∠AOB的平分线．
解：由题意得：∠OMP＝∠ONP＝90°，OM＝ON，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．
故选：B．
6．已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（　　）


A．76° B．60° C．54° D．50°
【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠1是b、c边的夹角，然后写出即可．
解：第一个三角形中b、c之间的夹角为180°﹣76°﹣54°＝50°，
∠1是b、c之间的夹角．
∵两个三角形全等，
∴∠1＝50°．
故选：D．
7．若一个多边形的内角和比它的外角和大540°，则该多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和与外角和可得（n﹣2）•180°＝360°+540°，然后进行计算即可解答．
解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：
（n﹣2）•180°＝360°+540°，
解得：n＝7，
故选：D．
8．如图，BD与CE交于O，AE＝AD，添加一个条件，仍不能使△ABD≌△ACE的是（　　）

A．BE＝DC B．CE＝BD C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝∠ACB
【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AE＝AD，∠A＝∠A，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
解：∵∠A＝∠A，AE＝AD，
∴当BE＝CD时，则AB＝AC，依据SAS即可得到△ABE≌△ACD；
当CE＝BD时，则△ABD和△ACE全等条件是SSA，不能判定△ABD≌△ACE；
当∠1＝∠2时，由于∠EOB＝∠DOC，则∠ABD＝∠ACE，依据ASA即可得到△ABE≌△ACD；
当∠ABC＝∠ACB时，则AB＝AC，依据SAS即可得到△ABE≌△ACD；
故选：B．
9．如图：一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）

A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【分析】根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．
解：如图所示：过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：B．

10．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据题意直接动手操作得出即可．
解：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：

故选：A．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．分解因式：xy﹣x＝　x（y﹣1）　．
【分析】直接提取公因式x，进而分解因式得出答案．
解：xy﹣x＝x（y﹣1）．
故答案为：x（y﹣1）．
12．如图，直线a∥直线b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，则∠ABC的大小为 　40°　．

【分析】如图，作CK∥a．证明∠ACB＝∠1+∠2即可解决问题．
解：如图，作CK∥a．

∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝18°+32°＝50°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
13．已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），则ab的值为　25　．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案．
解：∵点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），
∴，
解得：，
则ab的值为：（﹣5）2＝25．
故答案为：25．
14．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，若∠CAE＝15°，那么∠DAC＝　45°　．

【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝∠CAE＝15°，由等边三角形的性质可求解．
解：∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，
∴∠BAD＝∠CAE＝15°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝45°，
故答案为45°．
15．如图，△ABC为等腰直角三角形AC＝BC，若A（﹣3，0），C（0，2），则点B的坐标为 　（2，﹣1）　．

【分析】过点B作BT⊥y轴于点T．证明△AOC≌△CTB，得AO＝CT＝3，BT＝CO＝2，即可将问题．
解：如图，过点B作BT⊥y轴于点T．
∵A（﹣3，0），C（0，2），
∴OA＝3，OC＝2，
∵∠AOC＝∠ACB＝∠CTB＝90°，
∴∠ACO+∠BCT＝90°，∠BCT+∠CBT＝90°，
∴∠ACO＝∠CBT，
在△AOC和△CTB中，
，
∴△AOC≌△CTB（AAS），
∴AO＝CT＝3，BT＝CO＝2，
∴OT＝CT﹣CO＝1，
∴B（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．

三.解答题（本大题共8小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．已知m2﹣4m﹣7＝0，求代数式（+1）÷的值．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m2﹣4m＝7代入化简后的式子，进行计算即可解答．
解：（+1）÷
＝•
＝•
＝（m﹣1）（m﹣3）
＝m2﹣4m+3，
∵m2﹣4m﹣7＝0，
∴m2﹣4m＝7，
∴当m2﹣4m＝7时，原式＝7+3＝10．
17．一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和．
【分析】此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360°．
解：设多边形的一个内角为x度，则一个外角为x度，依题意得
x+x＝180°，
x＝180°，
x＝108°．
360°÷（×108°）＝5．
（5﹣2）×180°＝540°．
答：这个多边形的边数为5，内角和是540°．
18．如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝3，求BD的长．

【分析】（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
（2）解：∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝3．
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2．
19．如图，已知港口东偏南10°方向有一处小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°航线出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B在北偏东60°方向．
（1）求此时货轮到小岛B的距离．
（2）在小岛周围36海里范围内是暗礁区，此时轮船向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由．

【分析】（1）根据题意得到∠CAB＝∠B，根据等腰三角形的性质得到CB＝CA＝80，得到答案；
（2）作BD⊥CD于点D，求出∠BCD＝30°，根据直角三角形的性质计算即可．
解：（1）由题意得，∠CAB＝90°﹣40°﹣10°＝40°，
∠ACB＝40°+60°＝100°，
∴∠B＝180°﹣100°﹣40°＝40°，
∴∠CAB＝∠B，
∴CB＝CA＝80（海里），
答：此时货轮到小岛B的距离为80海里；
（2）轮船向正东方向航行没有触礁危险．
理由如下：如图，作BD⊥CD于点D，
∵∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝BC＝40，
∵40＞36，
∴轮船向正东方向航行没有触礁危险．

20．已知，如图，等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，AB⊥AC，AD⊥AE，AB＝AC，AD＝AE，CD交AE、BE分别于点M、F．
（1）求证：△DAC≌△EAB；
（2）求证：CD⊥BE．

【分析】（1）证明∠DAC＝∠EAB，由SAS即可得出△DAC≌△EAB；
（2）由全等三角形的性质得出∠ACD＝∠ABE，由对顶角∠CGF＝∠AGB和三角形内角和定理得∠CFB＝∠BAC＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠DAE+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，
∴∠DAC＝∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
∴△DAC≌△EAB（SAS）；
（2）证明：如图所示：
∵△DAC≌△EAB，
∴∠ACD＝∠ABE，
∵∠CGF＝∠AGB，
∴由三角形内角和定理得：∠CFB＝∠BAC＝90°，
∴CD⊥BE．

21．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标；
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）依据关于x轴对称点的坐标特点求解即可；
（3）找出点A关于x轴的对称点A2，连接A2B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP并根据图象写出点P的坐标即可．
解：（1）△A1B1C1如图所示；

（2）△A2B2C2如图所示，A2（1，﹣1）B2（4，﹣2）C2（3，﹣4）；
（3）△PAB如图所示，P（2，0）．
22．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．
（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
（2）若分式的值为整数，求x的整数值．
【分析】（1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；
（2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．
解：（1）由题可得，＝＝2﹣；
（2）＝＝＝x﹣1+，
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴x+1＝±1，
∴x＝﹣2或0．
23．已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，按图1放置，使点E在AB上，取CE的中点F，连接DF，BF．我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．

（1）观察发现：图1中DF，BF的数量关系是 　DF＝BF　，位置关系是 　相互垂直　；
（2）探究证明：将图1中的△ADE绕点A顺时针转动45°，再连接CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；
（3）拓展延伸：将图1中的△ADE绕点A转动任意角度（转动角度在0°到90°之间），再连接CE，取CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．

【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF＝BF，根据∠DFE＝2∠DCF，∠BFE＝2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB＝2∠DCB＝90°，DF⊥BF．
（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE＝CG，DF＝FG，根据AD＝DE，AB＝BC，得到BD＝BG，又因为∠ABC＝90°，所以DF＝BF且DF⊥BF．
（3）延长BF至点G，使FG＝BF，连接DB，DG，GE，可证明△EFG≌△CFB，得到EG＝CB，∠EGF＝∠CBF，继而求得△DAB≌△DEG，得到DG＝DB，∠ADB＝∠EDG，所以∠BDG＝∠ADE＝90°，可得DF＝BF且DF⊥BF．
解：（1）∵∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，
∴∠CDE＝90°，∠AED＝∠ACB＝45°，
∵F为CE的中点，
∴DF＝EF＝CF＝BF，
∴DF＝BF，
∴∠DFE＝2∠DCF，∠BFE＝2∠BCF，
∴∠EFD+∠EFB＝2∠DCB＝90°，
即：∠DFB＝90°，
∴DF⊥BF．
故答案为：DF＝BF，相互垂直；
（2）仍然成立．
证明：如图2，延长DF交BC于点G，
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEF＝∠GCF，
又∵EF＝CF，∠DFE＝∠GFC，
∴△DEF≌△GCF，
∴DE＝CG，DF＝FG，
∵AD＝DE，AB＝BC，
∴AD＝CG，
∴BD＝BG，
又∵∠ABC＝90°，
∴DF＝BF且DF⊥BF．
（3）仍然成立．证明：如图3，延长BF至点G，使FG＝BF，连接DB、DG、GE，
在△EFG与△CFB中，
∵，
∴△EFG≌△CFB（SAS），
∴EG＝CB，∠EGF＝∠CBF，
∴EG∥CB，
∵AB＝BC，AB⊥CB，
∴EG＝AB，EG⊥AB，
∵∠ADE＝90°，EG⊥AB，
又∵∠AED＝∠DAE，
∴∠DAB＝∠DEG，
在△DAB和△DEG中，
∵
∴△DAB≌△DEG（SAS），
∴DG＝DB，∠ADB＝∠EDG，
∴∠BDG＝∠ADE＝90°，
∴△BGD为等腰直角三角形，
∴DF＝BF且DF⊥BF．