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2022-2023学年河南省信阳市固始县七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年河南省信阳市固始县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省信阳市固始县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．1的平方根是（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
2．我市2023年有51935名考生报名参加中考，为了解这51935名考生的数学成绩情况，市教育局从一次考试中抽取了1000名考生的数学成绩进行统计分析，有下列几种说法：
①这次调查采用了抽样调查的方式；
②51935名考生是总体；
③1000名考生是总体的一个样本；
④每名考生的数学成绩是个体；
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
4．如图是木匠师傅利用直尺和三角尺过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其直接理由是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行
5．某学校准备为七年级学生开设A，B，C，D，E，F共6门选修课，选取了若干学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）．
选修课
A
B
C
D
E
F
人数
40
60
100
下列说法不正确的是（ ）
A．这次被调查的学生人数为400人
B．E对应扇形的圆心角为80°
C．喜欢选修课F的人数为72人
D．喜欢选修课A的人数最少
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，点（a，b）位于第二象限，那么点（a，﹣b）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣2，2）
9．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（3，1），C（3，3），D（1，3），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AB﹣⋯⋯的路线运动，当运动到2023秒时，点P的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（3，1） C．（3，3） D．（1，3）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个大于1且小于2的无理数 ．
12．已知方程组，则x+y的值为 ．
13．将一张面值为50元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，有 种兑换方案．
14．如图，已知直线a∥b，Rt△ABC的顶点A在直线a上，∠C＝90°，∠BAC＝55°，若∠2＝35°，则∠1的度数是 ．
15．如图，在三角形ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上的一个动点，连接BD，把三角形BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C'处，当C′D平行于三角形ABC的边时，∠CDB的大小为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．解不等式组，请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）将不等式①和②的解集在数轴表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
17．如图，直线AB、CD被直线AE所截，CF平分∠DCE，∠1＝110°，∠2＝55°．求证：AB∥CD．
18．倡导经典诵读，传承中华文化，某校在4月23日世界读书日开展读书活动，为了解七年级学生每月借阅图书数量，随机抽取了40名学生进行调查．
【收集数据】
（1）下面的抽样方法中，最具代表性和广泛性的是 （填字母）；
A．抽取40名男生每月借阅图书数量组成样本
B．抽取40名成绩较好的学生每月借阅图书数量组成样本
C．按学号随机抽取40名学生每月借阅图书数量组成样本
【整理数据】
依据调查结果绘制了不完整的频数分布表：
本/月
频数
2≤t＜3
4
3≤t＜4
10
4≤t＜5
a
5≤t＜6
8
6≤t＜7
12
合计
【描述数据】
根据频数分布表中的数据绘制成不完整的频数分布直方图；
【分析数据】
（2）频数分布直方图中组距为 本；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若该校七年级共有600名学生，估计每月借阅图书数量至少有4本的学生为多少名．
19．已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）判断BE与CD的位置关系，并证明你的猜想．
20．顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为1个单位长度．
（1）在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1；
（2）连接AA1、BB1，则这两条线段之间的关系 ．
（3）在（1）中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积为 ．
21．学校要开展篮排球比赛，决定购买一批篮排球作为奖品．已知购买20个篮球，30个排球共需3600元；购买30个篮球，20个排球共需3900元．
（1）求篮球、排球的单价各是多少元？
（2）学校要求购买篮球、排球共60个，且篮球的数量不少于排球数量的，请设计最省钱的购买方案．
22．下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且10＜＜11，
∴设＝10+x，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S正方形＝102+2×10•x+x2，S正方形＝107
∴102+2×10•x+x2＝107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即≈10.35．
（1）的整数部分是 ；
（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
23．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）写出点C，D的坐标并求出四边形ABDC的面积．
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是直线BD上一个动点，连接PC，PO，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠OPC与∠PCD，∠POB的数量关系．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．1的平方根是（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【分析】根据平方根的定义解答即可．
解：1的平方根是±1，
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的定义，能知道a（a≥0）的平方根是是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．
2．我市2023年有51935名考生报名参加中考，为了解这51935名考生的数学成绩情况，市教育局从一次考试中抽取了1000名考生的数学成绩进行统计分析，有下列几种说法：
①这次调查采用了抽样调查的方式；
②51935名考生是总体；
③1000名考生是总体的一个样本；
④每名考生的数学成绩是个体；
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查，逐一判断即可解答．
解：①这次调查采用了抽样调查的方式，故①正确；
②51935名考生的数学成绩是总体，故②不正确；
③1000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故③不正确；
④每名考生的数学成绩是个体，故④正确；
所以，上列几种说法，其中正确的有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
【分析】由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．
解：由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律是：横坐标﹣4，纵坐标+1，
∴点B的对应点B1的坐标（﹣1，0）．
故选：C．
【点评】本题运用了点的平移的坐标变化规律，关键是由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．
4．如图是木匠师傅利用直尺和三角尺过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其直接理由是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【分析】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
所以依据：同位角相等，两直线平行，即可得到所得的直线与已知直线平行．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
5．某学校准备为七年级学生开设A，B，C，D，E，F共6门选修课，选取了若干学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）．
选修课
A
B
C
D
E
F
人数
40
60
100
下列说法不正确的是（ ）
A．这次被调查的学生人数为400人
B．E对应扇形的圆心角为80°
C．喜欢选修课F的人数为72人
D．喜欢选修课A的人数最少
【分析】求出调查总人数，可以对A做出判断，求出E、F组的人数和所占圆心角调查即可对其它选项做出判断，调查答案．
解：60÷15%＝400人，因此选项A正确，
C对应的人数为400×12%＝48人，F对应的人数为400×18%＝72人，E对应的人数为400﹣40﹣60﹣100﹣48﹣72＝80人，因此C、D都正确；
360°×＝72°，因此B是错误的，
故选：B．
【点评】考查统计图表的意义和制作方法，从统计图表中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由2（x﹣1）＞x﹣3，得：x＞﹣1，
由3x≥5x﹣2，得：x≤1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．在平面直角坐标系中，点（a，b）位于第二象限，那么点（a，﹣b）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据平面直角坐标系中，点所在的象限与坐标的关系进行判断即可．
解：∵点（a，b）位于第二象限，
∴a＜0，b＞0，
∴﹣b＜0，
∴点（a，﹣b）位于第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查点的坐标，理解每个象限内点的坐标特征是正确判断的前提．
8．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣2，2）
【分析】根据已知两点的坐标确定符合条件的平面直角坐标系，然后确定其它点的坐标．
解：由棋子“车”的坐标为（﹣2，3）、棋子“马”的坐标为（1，3）可知，平面直角坐标系的原点为底边正中间的点，以底边为x轴，向右为正方向，以左右正中间的线为y轴，向上为正方向；
根据得出的坐标系可知，棋子“炮”的坐标为（3，2）．
故选：A．
【点评】此题考查了点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
9．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．
解：如图，过点F作FM∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FM，
∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，
∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．
∵CG∥EF，
∴∠EFA＝∠AGC＝80°．
∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．
∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（3，1），C（3，3），D（1，3），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AB﹣⋯⋯的路线运动，当运动到2023秒时，点P的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（3，1） C．（3，3） D．（1，3）
【分析】根据题意可得正方形ABCD的边长为2，周长为8，因为2023÷8＝252余7，由此即可解决问题．
解：由题意得：正方形ABCD的边长为2，周长为8，
∵2023÷8＝252……7，
∴P（1，2），
故选：A．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中的动点问题，解题的关键是求出正方形的边长，确定点P的位置．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个大于1且小于2的无理数 ．
【分析】由于所求无理数大于1且小于2，则该数的平方大于1小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．
解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
12．已知方程组，则x+y的值为 2 ．
【分析】将两方程相加后，再两边同除以3即可得到答案．
解：
①+②得，3x+3y＝6
∴x+y＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查的是解二元一次方程组，掌握其解法是解决此题关键．
13．将一张面值为50元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，有 3 种兑换方案．
【分析】设可以兑换成x张10元，y张20元的零钱，根据零钱的总面值为50元，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出共有3种兑换方案．
解：设可以兑换成x张10元，y张20元的零钱，
依题意得：10x+20y＝50，
∴x＝5﹣2y．
又∵x，y均为自然数，
∴或或，
∴共有3种兑换方案．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
14．如图，已知直线a∥b，Rt△ABC的顶点A在直线a上，∠C＝90°，∠BAC＝55°，若∠2＝35°，则∠1的度数是 70° ．
【分析】根据直角三角形的性质求出∠B，根据三角形的外角性质求出∠AED，再根据平行线的性质解答即可．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝55°，
则∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣55°＝35°，
∵∠2＝35°，
∴∠BDE＝35°，
∵∠AED是△BED的外角，
∴∠AED＝∠B+∠BDE＝70°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠AED＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
15．如图，在三角形ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上的一个动点，连接BD，把三角形BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C'处，当C′D平行于三角形ABC的边时，∠CDB的大小为 118°或67° ．
【分析】根据题意分两种情况讨论，当C′D∥AB时，根据平行线的性质求出∠ABC'的度数，在△ABC中根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，从而求出∠CBC'的度数，根据折叠的性质可求出∠CBD的度数，最后△BCD中根据三角形内角和定理即可求出∠CDB的度数；当C′D∥BC时，根据平行线的性质求出∠ADC'的度数，由折叠的性质可得∠CDB＝∠C'DB，从而求出∠CDB的度数．
解：当C′D∥AB时，如图，
由折叠的性质得∠C'＝∠C＝46°，∠CBD＝∠C'BD，
∵C′D∥AB，
∴∠ABC'＝∠C'＝46°，
在△ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣56°﹣46°＝78°，
∴∠CBC'＝∠ABC﹣∠ABC'＝78°﹣46°＝32°，
∴∠CBD＝∠C'BD＝16°，
在△BCD中，∠C＝46°，∠CBD＝16°，
∴∠CDB＝180°﹣∠CBD﹣∠C＝180°﹣16°﹣46°＝118°；
当C′D∥BC时，如图，
∴∠ADC'＝∠C＝46°，
由折叠的性质得∠CDB＝∠C'DB，
∴∠CDB＝（180°﹣46°）÷2＝67°；
综上，∠CDB的度数是118°或67°，
故答案为：118°或67°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．解不等式组，请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＞﹣2 ；
（Ⅲ）将不等式①和②的解集在数轴表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 x≥﹣1 ．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
解：，
（Ⅰ）解不等式①，得：x≥﹣1，
（Ⅱ）解不等式②，得：x＞﹣2，
（Ⅲ）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示：
（Ⅳ）原不等式组的解集为：x≥﹣1，
故答案为：（Ⅰ）x≥﹣1；
（Ⅱ）x＞﹣2；
（Ⅳ）x≥﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
17．如图，直线AB、CD被直线AE所截，CF平分∠DCE，∠1＝110°，∠2＝55°．求证：AB∥CD．
【分析】根据角平分线的定义和已知条件可得∠1＝∠DCE，再根据同位角相等，两直线平行即可求解．
【解答】证明：∵CF平分∠DCE，∠2＝55°，
∴∠DCE＝2∠2＝110°，
∵∠1＝110°，
∴∠1＝∠DCE，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行．
18．倡导经典诵读，传承中华文化，某校在4月23日世界读书日开展读书活动，为了解七年级学生每月借阅图书数量，随机抽取了40名学生进行调查．
【收集数据】
（1）下面的抽样方法中，最具代表性和广泛性的是 C （填字母）；
A．抽取40名男生每月借阅图书数量组成样本
B．抽取40名成绩较好的学生每月借阅图书数量组成样本
C．按学号随机抽取40名学生每月借阅图书数量组成样本
【整理数据】
依据调查结果绘制了不完整的频数分布表：
本/月
频数
2≤t＜3
4
3≤t＜4
10
4≤t＜5
a
5≤t＜6
8
6≤t＜7
12
合计
【描述数据】
根据频数分布表中的数据绘制成不完整的频数分布直方图；
【分析数据】
（2）频数分布直方图中组距为 1 本；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若该校七年级共有600名学生，估计每月借阅图书数量至少有4本的学生为多少名．
【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意；
（2）根据频数分布表中的数据可得答案；
（3）根据抽取了40名学生求出a的值，即可补全频数分布直方图；
（4）用总数乘以借阅图书数量至少有4本的比例即可得．
解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，抽取的样本最具代表性和广泛性的是C，
故答案为：C；
（2）根据频数分布表中的数据得：频数分布直方图中组距为1本，
故答案为：1；
（3）a＝40﹣4﹣10﹣8﹣12＝6，
补全数分布直方图如下：
（4）600×＝390（名）．
答：估计每月借阅图书数量至少有4本的学生约为390名．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答
19．已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）判断BE与CD的位置关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠C的度数；
（2）根据AC∥DE，∠C＝∠E，即可得出∠C＝∠ABE，进而判定BE∥CD．
解：（1）∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝3∠C，
∴4∠C＝180°，
即∠C＝45°；
（2）BE∥CD，证明如下：
∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠E＝∠ABE，
又∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠ABE，
∴BE∥CD．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
20．顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为1个单位长度．
（1）在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1；
（2）连接AA1、BB1，则这两条线段之间的关系 平行且相等 ．
（3）在（1）中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积为 8 ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用平移变换的性质判断即可．
（3）利用平行四边形的面积公式求解即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）线段AA1、BB1之间的关系 是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
（3）边AC所扫过区域的面积为＝4×2＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的高，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
21．学校要开展篮排球比赛，决定购买一批篮排球作为奖品．已知购买20个篮球，30个排球共需3600元；购买30个篮球，20个排球共需3900元．
（1）求篮球、排球的单价各是多少元？
（2）学校要求购买篮球、排球共60个，且篮球的数量不少于排球数量的，请设计最省钱的购买方案．
【分析】（1）设篮球的单价为x元/个，排球的单价为y元/个，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设学校购买篮球m个，则购买排球（60﹣m）个，根据题意列不等式即可得到结论．
解：（1）设篮球的单价为x元/个，排球的单价为y元/个，
由题意，得，
解得，
答：篮球的单价为90元/个，排球的单价为60元/个．
（2）设学校购买篮球m个，则购买排球（60﹣m）个，
由题意，得m≥，
解得m≥24，
∵篮球的单价高，
∴购买篮球越少越省钱，
∵m为整数
∴m的最小值为24，则（60﹣m）＝60﹣24＝36（个），
答：最省钱的购买方案是篮球24个，排球36个．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
22．下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且10＜＜11，
∴设＝10+x，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S正方形＝102+2×10•x+x2，S正方形＝107
∴102+2×10•x+x2＝107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即≈10.35．
（1）的整数部分是 8 ；
（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【分析】（1）估算无理数的大小即可；
（2）根据题目所提供的解法进行计算即可．
解：（1）∵＜，即8＜＜9，
∴的整数部分为8，
故答案为：8；
（2）∵面积为76的正方形边长是，且8＜＜9，
∴设＝8+x，其中0＜x＜1，如图所示，
∵图中S正方形＝82+2×8•x+x2，S正方形＝76，
∴82+2×8•x+x2＝76，
当x2较小时，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，即≈8.75．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解题目所提供的解题方法是正确解答的前提．
23．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）写出点C，D的坐标并求出四边形ABDC的面积．
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是直线BD上一个动点，连接PC，PO，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠OPC与∠PCD，∠POB的数量关系．
【分析】（1）根据点的平移规律可得C、D的坐标以及四边形ABDC的面积；
（2）根据角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，得．即可求出点F的坐标；
（3）分三种情况，当点P在线段BD上运动时，当点P在线段BD的延长线上运动时，当点P在DB的延长线上运动时，分别画图得出答案．
解：（1）∵点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），
∴将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得C（0，2），D（4，2）；
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴四边形ABDC的面积为：AB⋅OC＝8；
（2）存在，∵C（0，2），D（4，2），
∴CD＝4，
∵三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，
∴．
∵点B的坐标为（3，0），
∴点F的坐标为（1，0）或（5，0）；
（3）当点P在线段BD上运动时，如图，延长CP交x轴于E点，
∵CD∥AB，
∴∠PCD＝∠CEO，
∴∠OPC＝∠POE+∠CEO，
∴∠OPC＝∠PCD+∠POB；
当点P在线段BD的延长线上运动时，如图，
∵AB∥CD，
∴∠POB＝∠CFO，
∵∠CFO＝∠PCD+∠OPC，
∴∠OPC＝∠POB﹣∠PCD；
当点P在DB的延长线上运动时，如图，
∵AB∥CD，
∴∠PCD＝∠OMC，
∵∠OMC＝∠POB+∠OPC，
∴∠OPC＝∠PCD﹣∠POB．
综上：当点P在线段BD上运动时，∠OPC＝∠PCD+∠POB；
当点P在线段BD的延长线上运动时，∠OPC＝∠POB﹣∠PCD；
当点P在DB的延长线上运动时，∠OPC＝∠PCD﹣∠POB．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，以及点的平移的规律，对点P的位置进行分类讨论是解题的关键．
2022-2023学年河南省信阳市固始县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．1的平方根是（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
2．我市2023年有51935名考生报名参加中考，为了解这51935名考生的数学成绩情况，市教育局从一次考试中抽取了1000名考生的数学成绩进行统计分析，有下列几种说法：
①这次调查采用了抽样调查的方式；
②51935名考生是总体；
③1000名考生是总体的一个样本；
④每名考生的数学成绩是个体；
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
4．如图是木匠师傅利用直尺和三角尺过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其直接理由是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行
5．某学校准备为七年级学生开设A，B，C，D，E，F共6门选修课，选取了若干学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）．
选修课
A
B
C
D
E
F
人数
40
60
100
下列说法不正确的是（ ）
A．这次被调查的学生人数为400人
B．E对应扇形的圆心角为80°
C．喜欢选修课F的人数为72人
D．喜欢选修课A的人数最少
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，点（a，b）位于第二象限，那么点（a，﹣b）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣2，2）
9．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（3，1），C（3，3），D（1，3），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AB﹣⋯⋯的路线运动，当运动到2023秒时，点P的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（3，1） C．（3，3） D．（1，3）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个大于1且小于2的无理数 ．
12．已知方程组，则x+y的值为 ．
13．将一张面值为50元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，有 种兑换方案．
14．如图，已知直线a∥b，Rt△ABC的顶点A在直线a上，∠C＝90°，∠BAC＝55°，若∠2＝35°，则∠1的度数是 ．
15．如图，在三角形ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上的一个动点，连接BD，把三角形BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C'处，当C′D平行于三角形ABC的边时，∠CDB的大小为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．解不等式组，请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）将不等式①和②的解集在数轴表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
17．如图，直线AB、CD被直线AE所截，CF平分∠DCE，∠1＝110°，∠2＝55°．求证：AB∥CD．
18．倡导经典诵读，传承中华文化，某校在4月23日世界读书日开展读书活动，为了解七年级学生每月借阅图书数量，随机抽取了40名学生进行调查．
【收集数据】
（1）下面的抽样方法中，最具代表性和广泛性的是 （填字母）；
A．抽取40名男生每月借阅图书数量组成样本
B．抽取40名成绩较好的学生每月借阅图书数量组成样本
C．按学号随机抽取40名学生每月借阅图书数量组成样本
【整理数据】
依据调查结果绘制了不完整的频数分布表：
本/月
频数
2≤t＜3
4
3≤t＜4
10
4≤t＜5
a
5≤t＜6
8
6≤t＜7
12
合计
【描述数据】
根据频数分布表中的数据绘制成不完整的频数分布直方图；
【分析数据】
（2）频数分布直方图中组距为 本；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若该校七年级共有600名学生，估计每月借阅图书数量至少有4本的学生为多少名．
19．已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）判断BE与CD的位置关系，并证明你的猜想．
20．顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为1个单位长度．
（1）在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1；
（2）连接AA1、BB1，则这两条线段之间的关系 ．
（3）在（1）中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积为 ．
21．学校要开展篮排球比赛，决定购买一批篮排球作为奖品．已知购买20个篮球，30个排球共需3600元；购买30个篮球，20个排球共需3900元．
（1）求篮球、排球的单价各是多少元？
（2）学校要求购买篮球、排球共60个，且篮球的数量不少于排球数量的，请设计最省钱的购买方案．
22．下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且10＜＜11，
∴设＝10+x，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S正方形＝102+2×10•x+x2，S正方形＝107
∴102+2×10•x+x2＝107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即≈10.35．
（1）的整数部分是 ；
（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
23．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）写出点C，D的坐标并求出四边形ABDC的面积．
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是直线BD上一个动点，连接PC，PO，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠OPC与∠PCD，∠POB的数量关系．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．1的平方根是（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【分析】根据平方根的定义解答即可．
解：1的平方根是±1，
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的定义，能知道a（a≥0）的平方根是是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．
2．我市2023年有51935名考生报名参加中考，为了解这51935名考生的数学成绩情况，市教育局从一次考试中抽取了1000名考生的数学成绩进行统计分析，有下列几种说法：
①这次调查采用了抽样调查的方式；
②51935名考生是总体；
③1000名考生是总体的一个样本；
④每名考生的数学成绩是个体；
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查，逐一判断即可解答．
解：①这次调查采用了抽样调查的方式，故①正确；
②51935名考生的数学成绩是总体，故②不正确；
③1000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故③不正确；
④每名考生的数学成绩是个体，故④正确；
所以，上列几种说法，其中正确的有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
【分析】由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．
解：由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律是：横坐标﹣4，纵坐标+1，
∴点B的对应点B1的坐标（﹣1，0）．
故选：C．
【点评】本题运用了点的平移的坐标变化规律，关键是由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．
4．如图是木匠师傅利用直尺和三角尺过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其直接理由是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【分析】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
所以依据：同位角相等，两直线平行，即可得到所得的直线与已知直线平行．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
5．某学校准备为七年级学生开设A，B，C，D，E，F共6门选修课，选取了若干学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）．
选修课
A
B
C
D
E
F
人数
40
60
100
下列说法不正确的是（ ）
A．这次被调查的学生人数为400人
B．E对应扇形的圆心角为80°
C．喜欢选修课F的人数为72人
D．喜欢选修课A的人数最少
【分析】求出调查总人数，可以对A做出判断，求出E、F组的人数和所占圆心角调查即可对其它选项做出判断，调查答案．
解：60÷15%＝400人，因此选项A正确，
C对应的人数为400×12%＝48人，F对应的人数为400×18%＝72人，E对应的人数为400﹣40﹣60﹣100﹣48﹣72＝80人，因此C、D都正确；
360°×＝72°，因此B是错误的，
故选：B．
【点评】考查统计图表的意义和制作方法，从统计图表中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由2（x﹣1）＞x﹣3，得：x＞﹣1，
由3x≥5x﹣2，得：x≤1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．在平面直角坐标系中，点（a，b）位于第二象限，那么点（a，﹣b）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据平面直角坐标系中，点所在的象限与坐标的关系进行判断即可．
解：∵点（a，b）位于第二象限，
∴a＜0，b＞0，
∴﹣b＜0，
∴点（a，﹣b）位于第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查点的坐标，理解每个象限内点的坐标特征是正确判断的前提．
8．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣2，2）
【分析】根据已知两点的坐标确定符合条件的平面直角坐标系，然后确定其它点的坐标．
解：由棋子“车”的坐标为（﹣2，3）、棋子“马”的坐标为（1，3）可知，平面直角坐标系的原点为底边正中间的点，以底边为x轴，向右为正方向，以左右正中间的线为y轴，向上为正方向；
根据得出的坐标系可知，棋子“炮”的坐标为（3，2）．
故选：A．
【点评】此题考查了点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
9．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．
解：如图，过点F作FM∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FM，
∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，
∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．
∵CG∥EF，
∴∠EFA＝∠AGC＝80°．
∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．
∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（3，1），C（3，3），D（1，3），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AB﹣⋯⋯的路线运动，当运动到2023秒时，点P的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（3，1） C．（3，3） D．（1，3）
【分析】根据题意可得正方形ABCD的边长为2，周长为8，因为2023÷8＝252余7，由此即可解决问题．
解：由题意得：正方形ABCD的边长为2，周长为8，
∵2023÷8＝252……7，
∴P（1，2），
故选：A．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中的动点问题，解题的关键是求出正方形的边长，确定点P的位置．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个大于1且小于2的无理数 ．
【分析】由于所求无理数大于1且小于2，则该数的平方大于1小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．
解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
12．已知方程组，则x+y的值为 2 ．
【分析】将两方程相加后，再两边同除以3即可得到答案．
解：
①+②得，3x+3y＝6
∴x+y＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查的是解二元一次方程组，掌握其解法是解决此题关键．
13．将一张面值为50元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，有 3 种兑换方案．
【分析】设可以兑换成x张10元，y张20元的零钱，根据零钱的总面值为50元，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出共有3种兑换方案．
解：设可以兑换成x张10元，y张20元的零钱，
依题意得：10x+20y＝50，
∴x＝5﹣2y．
又∵x，y均为自然数，
∴或或，
∴共有3种兑换方案．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
14．如图，已知直线a∥b，Rt△ABC的顶点A在直线a上，∠C＝90°，∠BAC＝55°，若∠2＝35°，则∠1的度数是 70° ．
【分析】根据直角三角形的性质求出∠B，根据三角形的外角性质求出∠AED，再根据平行线的性质解答即可．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝55°，
则∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣55°＝35°，
∵∠2＝35°，
∴∠BDE＝35°，
∵∠AED是△BED的外角，
∴∠AED＝∠B+∠BDE＝70°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠AED＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
15．如图，在三角形ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上的一个动点，连接BD，把三角形BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C'处，当C′D平行于三角形ABC的边时，∠CDB的大小为 118°或67° ．
【分析】根据题意分两种情况讨论，当C′D∥AB时，根据平行线的性质求出∠ABC'的度数，在△ABC中根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，从而求出∠CBC'的度数，根据折叠的性质可求出∠CBD的度数，最后△BCD中根据三角形内角和定理即可求出∠CDB的度数；当C′D∥BC时，根据平行线的性质求出∠ADC'的度数，由折叠的性质可得∠CDB＝∠C'DB，从而求出∠CDB的度数．
解：当C′D∥AB时，如图，
由折叠的性质得∠C'＝∠C＝46°，∠CBD＝∠C'BD，
∵C′D∥AB，
∴∠ABC'＝∠C'＝46°，
在△ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣56°﹣46°＝78°，
∴∠CBC'＝∠ABC﹣∠ABC'＝78°﹣46°＝32°，
∴∠CBD＝∠C'BD＝16°，
在△BCD中，∠C＝46°，∠CBD＝16°，
∴∠CDB＝180°﹣∠CBD﹣∠C＝180°﹣16°﹣46°＝118°；
当C′D∥BC时，如图，
∴∠ADC'＝∠C＝46°，
由折叠的性质得∠CDB＝∠C'DB，
∴∠CDB＝（180°﹣46°）÷2＝67°；
综上，∠CDB的度数是118°或67°，
故答案为：118°或67°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．解不等式组，请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＞﹣2 ；
（Ⅲ）将不等式①和②的解集在数轴表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 x≥﹣1 ．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
解：，
（Ⅰ）解不等式①，得：x≥﹣1，
（Ⅱ）解不等式②，得：x＞﹣2，
（Ⅲ）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示：
（Ⅳ）原不等式组的解集为：x≥﹣1，
故答案为：（Ⅰ）x≥﹣1；
（Ⅱ）x＞﹣2；
（Ⅳ）x≥﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
17．如图，直线AB、CD被直线AE所截，CF平分∠DCE，∠1＝110°，∠2＝55°．求证：AB∥CD．
【分析】根据角平分线的定义和已知条件可得∠1＝∠DCE，再根据同位角相等，两直线平行即可求解．
【解答】证明：∵CF平分∠DCE，∠2＝55°，
∴∠DCE＝2∠2＝110°，
∵∠1＝110°，
∴∠1＝∠DCE，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行．
18．倡导经典诵读，传承中华文化，某校在4月23日世界读书日开展读书活动，为了解七年级学生每月借阅图书数量，随机抽取了40名学生进行调查．
【收集数据】
（1）下面的抽样方法中，最具代表性和广泛性的是 C （填字母）；
A．抽取40名男生每月借阅图书数量组成样本
B．抽取40名成绩较好的学生每月借阅图书数量组成样本
C．按学号随机抽取40名学生每月借阅图书数量组成样本
【整理数据】
依据调查结果绘制了不完整的频数分布表：
本/月
频数
2≤t＜3
4
3≤t＜4
10
4≤t＜5
a
5≤t＜6
8
6≤t＜7
12
合计
【描述数据】
根据频数分布表中的数据绘制成不完整的频数分布直方图；
【分析数据】
（2）频数分布直方图中组距为 1 本；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若该校七年级共有600名学生，估计每月借阅图书数量至少有4本的学生为多少名．
【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意；
（2）根据频数分布表中的数据可得答案；
（3）根据抽取了40名学生求出a的值，即可补全频数分布直方图；
（4）用总数乘以借阅图书数量至少有4本的比例即可得．
解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，抽取的样本最具代表性和广泛性的是C，
故答案为：C；
（2）根据频数分布表中的数据得：频数分布直方图中组距为1本，
故答案为：1；
（3）a＝40﹣4﹣10﹣8﹣12＝6，
补全数分布直方图如下：
（4）600×＝390（名）．
答：估计每月借阅图书数量至少有4本的学生约为390名．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答
19．已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）判断BE与CD的位置关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠C的度数；
（2）根据AC∥DE，∠C＝∠E，即可得出∠C＝∠ABE，进而判定BE∥CD．
解：（1）∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝3∠C，
∴4∠C＝180°，
即∠C＝45°；
（2）BE∥CD，证明如下：
∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠E＝∠ABE，
又∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠ABE，
∴BE∥CD．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
20．顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为1个单位长度．
（1）在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1；
（2）连接AA1、BB1，则这两条线段之间的关系 平行且相等 ．
（3）在（1）中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积为 8 ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用平移变换的性质判断即可．
（3）利用平行四边形的面积公式求解即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）线段AA1、BB1之间的关系 是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
（3）边AC所扫过区域的面积为＝4×2＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的高，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
21．学校要开展篮排球比赛，决定购买一批篮排球作为奖品．已知购买20个篮球，30个排球共需3600元；购买30个篮球，20个排球共需3900元．
（1）求篮球、排球的单价各是多少元？
（2）学校要求购买篮球、排球共60个，且篮球的数量不少于排球数量的，请设计最省钱的购买方案．
【分析】（1）设篮球的单价为x元/个，排球的单价为y元/个，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设学校购买篮球m个，则购买排球（60﹣m）个，根据题意列不等式即可得到结论．
解：（1）设篮球的单价为x元/个，排球的单价为y元/个，
由题意，得，
解得，
答：篮球的单价为90元/个，排球的单价为60元/个．
（2）设学校购买篮球m个，则购买排球（60﹣m）个，
由题意，得m≥，
解得m≥24，
∵篮球的单价高，
∴购买篮球越少越省钱，
∵m为整数
∴m的最小值为24，则（60﹣m）＝60﹣24＝36（个），
答：最省钱的购买方案是篮球24个，排球36个．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
22．下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且10＜＜11，
∴设＝10+x，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S正方形＝102+2×10•x+x2，S正方形＝107
∴102+2×10•x+x2＝107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即≈10.35．
（1）的整数部分是 8 ；
（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【分析】（1）估算无理数的大小即可；
（2）根据题目所提供的解法进行计算即可．
解：（1）∵＜，即8＜＜9，
∴的整数部分为8，
故答案为：8；
（2）∵面积为76的正方形边长是，且8＜＜9，
∴设＝8+x，其中0＜x＜1，如图所示，
∵图中S正方形＝82+2×8•x+x2，S正方形＝76，
∴82+2×8•x+x2＝76，
当x2较小时，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，即≈8.75．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解题目所提供的解题方法是正确解答的前提．
23．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）写出点C，D的坐标并求出四边形ABDC的面积．
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是直线BD上一个动点，连接PC，PO，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠OPC与∠PCD，∠POB的数量关系．
【分析】（1）根据点的平移规律可得C、D的坐标以及四边形ABDC的面积；
（2）根据角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，得．即可求出点F的坐标；
（3）分三种情况，当点P在线段BD上运动时，当点P在线段BD的延长线上运动时，当点P在DB的延长线上运动时，分别画图得出答案．
解：（1）∵点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），
∴将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得C（0，2），D（4，2）；
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴四边形ABDC的面积为：AB⋅OC＝8；
（2）存在，∵C（0，2），D（4，2），
∴CD＝4，
∵三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，
∴．
∵点B的坐标为（3，0），
∴点F的坐标为（1，0）或（5，0）；
（3）当点P在线段BD上运动时，如图，延长CP交x轴于E点，
∵CD∥AB，
∴∠PCD＝∠CEO，
∴∠OPC＝∠POE+∠CEO，
∴∠OPC＝∠PCD+∠POB；
当点P在线段BD的延长线上运动时，如图，
∵AB∥CD，
∴∠POB＝∠CFO，
∵∠CFO＝∠PCD+∠OPC，
∴∠OPC＝∠POB﹣∠PCD；
当点P在DB的延长线上运动时，如图，
∵AB∥CD，
∴∠PCD＝∠OMC，
∵∠OMC＝∠POB+∠OPC，
∴∠OPC＝∠PCD﹣∠POB．
综上：当点P在线段BD上运动时，∠OPC＝∠PCD+∠POB；
当点P在线段BD的延长线上运动时，∠OPC＝∠POB﹣∠PCD；
当点P在DB的延长线上运动时，∠OPC＝∠PCD﹣∠POB．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，以及点的平移的规律，对点P的位置进行分类讨论是解题的关键．
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