河南省信阳市固始县桃花坞中学及分校2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试题（含答案）

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1. 已知一个三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边的长可能是( C )
A. 4B. 5C. 9D. 13
2. 将一个nn≥3边形变成n+2边形，内角和将( D )
A. 减少180∘B. 增加180∘C. 减少360∘D. 增加360∘
3. [2022秋许昌期末]如图,要使五边形木架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上( B )根木条．
第3题图
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 如图，已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线.若△ABC的面积为18，则△ABE的面积为( B )
第4题图
A. 5B. 4.5C. 4D. 9
5. 下列命题是真命题的是( B )
A. 五边形的内角和是720∘
B. 三角形的任意两边之和大于第三边
C. 三角形的外角大于任意一个内角
D. 三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
6. 三角形三个内角的度数之比为2:3:7，则这个三角形最大内角的度数是( C )
A. 75∘B. 90∘C. 105∘D. 120∘
7. 一个多边形的内角和是1800∘ ，则这个多边形的边数为( D )
A. 9B. 10C. 11D. 12
8. 一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角之间的关系是( A )
A. 相等或互补B. 互补C. 相等D. 无法确定
9. 一副直角三角板，按如图所示的方式叠放在一起，其中∠B=45∘ ，∠D=60∘ ，若EF//AB，则∠BGF=( C )
第9题图
A. 65∘B. 70∘C. 75∘D. 80∘
10. 如图，在竖直墙角AOB中，可伸长的绳子CD的端点C固定在OA上，另一端点D在OB上滑动，在保持绳子拉直的情况下，∠BDC的平分线DF与OE交于点E，∠BOE=30∘ ，∠DCO=α ，当CE⊥DE时，2∠OEC+α=( C )
第10题图
A. 120∘B. 135∘C. 150∘D. 152∘
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，化简a+b-c-b-a-c的结果是2b-2c.
12. 已知一个等腰三角形的周长为20cm，其中一边长为6cm，则底边长为6或8cm.
13. 如图1，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，则∠BAC=36​∘ .
14. 如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC=30∘ ，∠ECA=35∘ ，则∠ABO的度数为25∘.
第14题图
15. 如图，在△ABC中，∠A=80∘ ，延长BC到点D，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2……依此规律得∠An，则∠An=80∘2n．
第15题图
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （8分）如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠B=∠1，∠ADC=70∘ ，∠C=70∘ .
（1） 求∠B的度数.
解：∵∠ADC=∠1+∠B，∠B=∠1，
∴∠B=12∠ADC=12×70∘=35∘ .（4分）
（2） 求∠BAC的度数.
解：∵∠BAC+∠B+∠C=180∘ ，
∴∠BAC=180∘-∠B-∠C=180∘-35∘-70∘=75∘ .（8分）
17. （9分）已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080∘ ．
（1） 求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为n.
由题意，得n-2×180∘-360∘=1080∘ .（3分）
∴n=10，即这个多边形的边数为10．（5分）
（2） 求此多边形的对角线条数．
解：此多边形的对角线条数为12×10×10-3=35．（9分）
18. （9分）如图，在△ABC中，∠ADB=100∘ ，∠C=80∘ ,AD平分∠BAC,BE平分∠ABC，求∠BED的度数．
解：∵∠ADB=∠C+∠CAD=100∘ ，∠C=80∘ ,
∴∠CAD=20∘ .（2分）
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=20∘ .
∴∠ABC=180∘-∠ADB-∠BAD=60∘ .（5分）
∵BE平分∠ABC,∴∠DBE=12∠ABC=30∘ .
∴∠BED=180∘-∠ADB-∠EBD=50∘ ．（9分）
19. （9分）如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A=40∘ ，求∠BPC的度数.
解：∵∠A=40∘ ，∴∠ABC+∠ACB=180∘-40∘=140∘ .
∴∠EBC+∠FCB=360∘-∠ABC+∠ACB=360∘-140∘=220∘ .（3分）
∵BP，CP都是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC=12∠EBC，∠PCB=12∠FCB.
∴∠PBC+∠PCB=12∠EBC+∠FCB=110∘ .（7分）
∴∠BPC=180∘-∠PBC+∠PCB=70∘ .（9分）
20. （9分）如图，在△ABC中，∠B<∠C，AD平分∠BAC，E为边AD（不与点A，D重合）上一动点，EF⊥BC于点F．
（1） 若∠B=40∘ ，∠DEF=20∘ ，求∠C的度数．
解：∵EF⊥BC，∴∠EFD=90∘ .
∵∠DEF=20∘ ，∴∠EDF=90∘-∠DEF=70∘ .
∵∠EDF=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠EDF-∠B=70∘-40∘=30∘ .（2分）
∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=60∘ .
∴∠C=180∘-∠B-∠BAC=180∘-40∘-60∘=80∘ .（4分）
（2） 求证：∠C-∠B=2∠DEF．
证明：由（1），可知∠EDF=90∘-∠DEF=∠B+∠BAD，
∴∠DEF=90∘-∠B-∠BAD=90∘-∠B-12∠BAC=90∘-∠B-12180∘-∠C-∠B=12∠C-12∠B.
∴∠C-∠B=2∠DEF.（9分）
21. （10分）将一副三角尺叠放在一起.
（1） 如图1，若∠1=4∠2，求∠CAE的度数.
解：∵∠BAC=90∘ ，∴∠1+∠2=90∘ .
∵∠1=4∠2，
∴4∠2+∠2=90∘ ，即∠2=18∘ .（2分）
又∵∠DAE=90∘ ，∴∠1+∠CAE=∠2+∠1=90∘ .
∴∠CAE=∠2=18∘ .（5分）
（2） 如图2，若∠ACE=2∠BCD，求∠ACD的度数.
解：∵∠ACE+∠BCE=90∘ ，∠BCD+∠BCE=60∘ ，
∴∠ACE-∠BCD=30∘ .（7分）
又∵∠ACE=2∠BCD，
∴2∠BCD-∠BCD=30∘ ，即∠BCD=30∘ .
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=90∘+30∘=120∘ .（10分）
22. [2022青岛]（10分）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图1，在△ABC和△A'B'C'中，AD,A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD=A'D'，则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图1，用S△ABC，S△A'B'C'分别表示△ABC和△A'B'C'的面积．
则S△ABC=12BC⋅AD,S△A'B'C'=12B'C'⋅A'D'.
∵AD=A'D'
∴S△ABC:S△A'B'C'=BC:B'C'．
【性质应用】
（1） 如图2，D是△ABC的边BC上的一点．若BD=3,DC=4，则S△ABD:S△ADC=3:4（2分）.
（2） 如图3，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE:AB=1:2，CD:BC=1:3，S△ABC=1，则S△BEC=12，S△CDE=16（6分）.
【提示】∵△BEC 和△ABC 是等高三角形，∴S△BEC:S△ABC=BE:AB=1:2.∴S△BEC=12S△ABC=12×1=12 .∵△CDE 和△BEC 是等高三角形，∴S△CDE:S△BEC=CD:BC=1:3.∴S△CDE=13S△BEC=13×12=16 ．
（3） 如图3，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB=1:m，CD:BC=1:n，S△ABC=a，则S△CDE=amn（10分）．
【提示】∵△BEC 和△ABC 是等高三角形，∴S△BEC:S△ABC=BE:AB=1:m.∴S△BEC=1mS△ABC=1m×a=am .∵△CDE 和△BEC 是等高三角形，∴S△CDE:S△BEC=CD:BC=1:n.∴S△CDE=1nS△BEC=1n×am=amn ．
23. （11分）问题发现
（1） 由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角．
如图1，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．
∵ 四边形ABCD的内角和是360∘ ，
∴∠A+∠D+∠3+∠4=360∘ .
又∵∠1+∠3+∠2+∠4=360∘ ，
由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是∠1+∠2=∠A+∠D.（2分）．
知识应用
（2） 如图2，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线.若∠B+∠C=230∘ ，求∠E的度数．
解：由（1），可知∠MDA+∠NAD=∠B+∠C=230∘ .
∵AE，DE分别是∠NAD和∠MDA的平分线，
∴2∠EDA+2∠DAE=230∘ .
∴∠EDA+∠DAE=115∘ ．（5分）
∴∠E=180-∠EDA+∠DAE=65∘ ．（6分）
拓展提升
（3） 如图3，四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘ ，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP=14∠CDN，∠CBP=14∠CBM，求∠P的度数．
解：∵∠A=∠C=90∘ ，∴∠ABC+∠ADC=180∘ .
∴∠CBM+∠CDN=180∘ ．
∵∠CDP=14∠CDN，∠CBP=14∠CBM，
∴∠CDP+∠CBP=14∠CDN+∠CBM=45∘ .（8分）
∵∠ABP+∠ADP=∠ABC+∠CBP+∠ADC+∠CDP=180∘+45∘=225∘ ，
∴∠P=360∘-∠A-∠ABP+∠ADP=360∘-90∘-225∘=45∘ ．（11分）